最全高中三角函數(shù)總結(jié)

1、三角函數(shù)做題技巧與方法總結(jié)知識點(diǎn)梳理1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像2、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sin（2k+）=sin sin（+）=sin sin（）=sincos（2k+）=cos cos（+）=cos cos（）=costan（2k+）=tan tan（+）=tan tan（）=tansin（）=sin sin（/2+）=cos sin（/2）=coscos（）=cos cos（/2+）=sin cos（/2）=sintan（）=tan tan（/2+）=cot tan（/2）=cotsin2()+

2、cos2()=14、兩角和差公式 5、 二倍角的正弦、余弦和正切公式sin（+）=sincos+cossin sin2=2sincos sin（）=sincoscossin cos2=cos2()sin2()=2cos2()1=12sin2()cos（+）=coscossinsin tan2=2tan/(1tan2()cos（）=coscos+sinsin tan（+）=(tan+tan )/(1tan ·tan) tan（）=(tantan)/(1+tan ·tan) 6、半角公式：； ； 7、函數(shù)最大值是，最小值是，周期是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都

3、是該圖象的對稱中心8、由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0）平移個單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?0)，便得ysin(x)的圖象途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。先將ysinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?0)，再沿x軸向左(0)或向右(0平移個單位，便得ys

4、in(x)的圖象。9、對稱軸與對稱中心：的對稱軸為，對稱中心為；的對稱軸為，對稱中心為；對于和來說，對稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。10、求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；11、求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。12、經(jīng)常使用的公式 升（降）冪公式： 、 、 ； 輔助角公式： （由具體的值確定）；2、 典型例題 弦切互化例1已知，求（1）；解：（1）；練習(xí)：的值. 解： .說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，

5、通過構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會使解題過程簡化。函數(shù)的定義域問題例2、求函數(shù)的定義域。解：由題意知需，也即需在一周期上符合的角為,由此可得到函數(shù)的定義域?yàn)檎f明：確定三角函數(shù)的定義域的依據(jù)：（1）正、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域。（2）若函數(shù)是分式函數(shù)，則分母不能為零。（3）若函數(shù)是偶函數(shù)，則被開方式不能為負(fù)。（4）若函數(shù)是形如的函數(shù)，則其定義域由確定。（5）當(dāng)函數(shù)是有實(shí)際問題確定時，其定義域不僅要使解析式有意義同時還要使實(shí)際問題有意義。函數(shù)值域及最大值，最小值（1） 求函數(shù)的值域 一般函數(shù)的值域求法有：觀察法，配方法判別式法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合

6、三角函數(shù)本身的性質(zhì)罷了。例3、求下列函數(shù)的值域（1） （2）分析：利用與進(jìn)行求解。解：（1）（2）說明：練習(xí)：求函數(shù)的值域。解：設(shè)，則原函數(shù)可化為，因?yàn)?，所以?dāng)時，當(dāng)時， 所以，函數(shù)的值域?yàn)?。?） 函數(shù)的最大值與最小值。求值域或最大值，最小值的問題，一般的依據(jù)是：（1）sinx,cosx的有界性；（2） tanx的值可取一切實(shí)數(shù)；（3） 連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在最大值和最小值。例4、求下列函數(shù)的最大值與最小值（1） （2） （3）分析：（1）可利用sinx,cosx的值域求解求解過程要注意自變量的去值范圍（2）（3）可利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值得方法。解：(1) (2) 當(dāng)，即時，有最小值；

7、當(dāng)，即，有最大值1。（3）函數(shù)的周期性例5、求下列函數(shù)的周期 分析：該例的兩個函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過變量的替換，將它們歸結(jié)為基本三角函數(shù)去處理。（1）把看成是一個新的變量，那么的最小正周期是，就是說，當(dāng)且必須增加到時，函數(shù)的值重復(fù)出現(xiàn)，而所以當(dāng)自變量增加到且必須增加到時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此，的周期是。（2） 即 的周期是。說明：由上面的例題我們看到函數(shù)周期的變化僅與自變量的系數(shù)有關(guān)。一般地，函數(shù)或（其中為常數(shù)，的周期。例6、已知函數(shù)。求的最小正周期、的最大值及此時x的集合；解： 所以的最小正周期，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時，最大值為；函數(shù)的奇偶性例7、判斷下列函數(shù)的奇偶性 分析：可利用函數(shù)

8、奇偶性定義予以判斷。解：（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱 （2） 函數(shù)應(yīng)滿足 函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱。函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。評注：判斷函數(shù)奇偶性時，必須先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，如果是，再驗(yàn)證是否等于或，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性，如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)。練習(xí)：已知函數(shù)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域.解： 函數(shù)的單調(diào)性例8、下列函數(shù)，在上是增函數(shù)的是（ ） 分析：解：與在上都是減函數(shù)，排除， 知在內(nèi)不具有單調(diào)性，又可排除，應(yīng)選。例9、已知函數(shù) （）求f(x)的最小正周期； （）求f(x)的遞增區(qū)間.解：（） 最小正周期T= （）由題意，解不等式 得 的遞增區(qū)間是

9、 小結(jié)：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：三角函數(shù)思想方法歸納解析一、 數(shù)形結(jié)合思想oxy圖1y1y2由數(shù)想形，以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，有利于加深同學(xué)們對知識的識記和理解；在解答數(shù)學(xué)題時，數(shù)形結(jié)合，有利于分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。 例1求不等式在上的解集。 解析：設(shè)，在同一坐標(biāo)系中作出在上兩函數(shù)圖像(如圖1)，在上解得的解為或，故由圖像得要使得，即，由于，在上為偶函數(shù)，故在上的解為，得原不等式的解集為二、 分類討論思想分類是根據(jù)對象

10、的本質(zhì)屬性的異同將其劃分為不同種類，即根據(jù)對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類討論是數(shù)學(xué)解題的重要手段，如果對學(xué)過的知識恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。例2設(shè)，且恒成立，求的取值范圍。解析：令令，由，得，則，在上恒成立，在上恒成立。由二次函數(shù)圖像分類討論得，1） 當(dāng)時，需得；2） 當(dāng)時，需，得；3） 當(dāng)時，需得綜上所述，得三、 整體思想整體思想方法是一種常見的數(shù)學(xué)方法，它把研究對象的某一部分（或全部）看成一個整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的有機(jī)聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。往往能起到化繁為簡，化難為易的效果。 例3求

11、函數(shù)的最大、最小值。 解析：由條件和問題聯(lián)想到公式，可實(shí)施整體代換求最值。令，則，故當(dāng)時，有最大值，且為；當(dāng)時，有最小值，且為四、 方程思想方程是研究數(shù)量關(guān)系的重要工具。我們把所要研究的問題中的已知與未知量之間的相等關(guān)系，通過建立方程或方程組，并求出未知量的值，從而使問題得到解決的思想方法稱為方程思想。例4已知，求的值解：令，則，故解得，解得，五、 化歸轉(zhuǎn)化思想化歸轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。處理數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)就是實(shí)現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化、未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化、抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化等。 例5若，試確定的大小。解析：當(dāng)一個問題直接難以入手或相對比較困難時

12、，我們可以等價轉(zhuǎn)化為我們熟知或容易解答的題型。要比較的大小可轉(zhuǎn)化為與比較大小就容易多了。，又，故，六、 函數(shù)思想函數(shù)思想就是在解決問題的過程中，把變量之間的關(guān)系抽象成函數(shù)關(guān)系，把具體問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)相應(yīng)問題的解決，達(dá)到解決變量之間具體問題的目的。例6已知，求證：解析：由得，構(gòu)造函數(shù)：顯然，故，即得七、 逆向思想逆向思想通常是指從問題的反向進(jìn)行思考，運(yùn)用于正面考慮繁瑣或難以進(jìn)行時的一種解題思維策略，正確使用這種策略，往往能問題絕處逢生，找到求解的新途徑。例7將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再作關(guān)于軸的對稱變換，得到函數(shù)的圖像，求的解析式。解析：我們可以采用倒推的方法，即將整個變化過程

13、逆過來考慮。關(guān)于軸的對稱變換為，然后再向左平移個單位得，對照比較原函數(shù)得，商業(yè)策劃書 項(xiàng)目可行性報告 可行性研究報告 招股說三角函數(shù)常見題型一、運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半等公式進(jìn)行化簡求值類。例1 已知向量。（1）若，求的取值范圍；（2）函數(shù)，若對任意，恒有,求的取值范圍。解：（1），即。（2）。，又二、運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)解題，通常考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值、對稱軸及對稱中心。例2 若，在函數(shù)的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為，且當(dāng)時，的最大值為1。（1）求函數(shù)的解析式； （2）若，求實(shí)數(shù)的值。解：由題意得，（1）對稱中心到對稱軸的最小距離為，的最小正周期，

14、。當(dāng)時，。（2）由，得，由，得。故。例3 已知向量, ，, ， （1）求的值； （2）設(shè)函數(shù)，求x為何值時，取得最大值，最大值是多少，并求的單調(diào)增區(qū)間。解：（1），,，,，.（2）,，,當(dāng)時，,要使單調(diào)遞增，,又，的單調(diào)增區(qū)間為.例4 設(shè)向量. （）求； （）若函數(shù)，求的最小值、最大值.解：（I） （II）由（I）得：令。時，三、解三角形問題，判斷三角形形狀，正余弦定理的應(yīng)用。例5 已知函數(shù).（I）將寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；（II）如果ABC的三邊a,b,c滿足b2= a c，且邊b所對的角為，試求的范圍及此時函數(shù)的值域.解：（I）f(x) =+(1+)=+=sin(+)+.由

15、sin(+)= 0，即+=k(kZ)，得x=(kZ)，即對稱中心的橫坐標(biāo)為，(kZ). （II）由已知b2=ac，得cosx=.cosx1，0x.+.，sinsin(+)1. +<sin(+)+,即f(x)的值域?yàn)椋ǎ?）. 例6 在中,角A,B ,的對邊分別為a,c已知向量,且（1）求角的大??； （2）若,求角A的值。解: （1）由得；整理得即，又又因?yàn)?所以 （2）因?yàn)椋? 故 由即,所以即因?yàn)?，所?故或,或 三角函數(shù)的小題涉及三角函數(shù)的所有知識點(diǎn)，因此，熟練掌握公式和性質(zhì)是解好小題的必要條件，在日常訓(xùn)練中一定要改掉學(xué)生邊做題邊看公式的壞習(xí)慣。再者，填空題答案書寫的規(guī)范也需反復(fù)

16、強(qiáng)調(diào)。明書引用 三、練習(xí)1. 函數(shù)的定義域?yàn)椋?）2. 函數(shù)，的值域是( )3. 函數(shù)的周期為，則=-.4. 下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（ ）5. 下列函數(shù)中，奇函數(shù)的個數(shù)為（ ）（1）（2）（3）（4）6. 在區(qū)間上，下列函數(shù)為增函數(shù)的是（ ）7. 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ ）8. 如果，則函數(shù)的最小值是9. 函數(shù)的值域?yàn)椋?）10、求函數(shù) 的周期和單調(diào)增區(qū)間解 函數(shù)的周期 當(dāng) ，即 x (kZ) 時函數(shù)單調(diào)增加，即函數(shù)的增區(qū)間是 ， (kZ) 答案：B B 3 C C D B B1已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的值域。2.已知函數(shù)的最小正周期為.（）求的值；（）求函數(shù)f(x)在

17、區(qū)間0，上的取值范圍.3.（本小題滿分12分）已知向量,且()求tanA的值；()求函數(shù)R)的值域.4.（本小題滿分13分）已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點(diǎn)（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值5. 已知函數(shù)（）將函數(shù)化簡成的形式，并指出的周期；（）求函數(shù)上的最大值和最小值6.已知函數(shù).（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）當(dāng)且時，求的值。7已知，（1）求的值；（2）求函數(shù)的最大值8.已知函數(shù)（，）為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為（）求的值；（）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間9.已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期及最值；（）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明

18、理由10.求函數(shù)的最大值與最小值（17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）的最小值正周期是（）求的值；（）求函數(shù)的最大值，并且求使取得最大值的的集合11.已知函數(shù)f(x)=sin2x，g(x)=cos，直線與函數(shù)的圖像分別交于M、N兩點(diǎn)（1）當(dāng)時，求MN的值；（2）求MN在時的最大值12已知函數(shù)，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍13已知函數(shù)求：（I）函數(shù)的最小正周期；（II）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間14.設(shè)函數(shù).其中向量.（）求實(shí)數(shù)的值;（）求函數(shù)的最小值.1、如圖，ACD是等邊三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，BD交AC于E，AB=2（1）求cosCBE的值；（2）求AE。2.在ABC中，內(nèi)角，對邊的邊長分別是.已知.（）若ABC的面積等于，求; （）若，求ABC的面積.3.設(shè)的內(nèi)角所對的邊長分別為，且，（）求邊長； （）若的面積，求的周長4.在中， （）求的值； （）設(shè)，求的面積5.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知，求：（）A的大小; （）的值.6.在ABC中，tanA=,tanB=.(I)求角C的大小; (II)若AB邊的長為，求BC邊的長7.已知ABC三個頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分