一輪大題專(zhuān)練11—導(dǎo)數(shù)（有解問(wèn)題1）-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

1、1 / 7 一輪大題專(zhuān)練一輪大題專(zhuān)練 11導(dǎo)數(shù)（有解問(wèn)題導(dǎo)數(shù)（有解問(wèn)題 1） 1已知函數(shù)2( )2| 28f xxln xaxa=+，其中0a （1）當(dāng)0a =時(shí)，求函數(shù)( )f x的最值； （2）若存在唯一整數(shù)0 x，使得0() 0f x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解：（1）當(dāng)0a =時(shí)，2222,0( )2|2 (),0 xlnx xf xxln xxlnx x=， 22,0( )22,0 xxxfxxxx=，且( )f x為定義在(，0)(0，)+上的偶函數(shù)， 令( )0fx=，解得1x = ，且當(dāng)(x ，1)(0，1)時(shí)，( )0fx，當(dāng)( 1x ，0)(1，)+時(shí)，( )0fx， ( )m

2、inf xf=（1）( 1)12 11fln= =，無(wú)最大值； （2）0() 0f x即200002|822 (4)xln xaaxax=， 令2( )2|g xxln x=，( )2 (4)h xax=，作出函數(shù)( )g x與( )h x的大致圖象如下， 易知( )h x恒過(guò)點(diǎn)(4,0)，且101101,143145acabkk= = ， 由 圖 象 可 知 ， 要 使 存 在 唯 一 整 數(shù)0 x， 使 得0() 0f x， 則2acabka k ， 即11235a ，解得11106a 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為1 1, )10 6 2已知函數(shù)1( )alnxf xx+= （1）當(dāng)1a =時(shí)，判

3、斷函數(shù)( )f x在區(qū)間(0,2)內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)； 2 / 7 （2）當(dāng)32a 時(shí)，證明：方程11( )12f xxax=+ 在區(qū)間3(0, )2上有唯一解 解：（1）當(dāng)1a =時(shí)，1( )lnxf xx+=，2( )lnxfxx=， 當(dāng)(0,1)x時(shí)，( )0fx，( )f x單調(diào)遞增； 當(dāng)(1,)x+時(shí)，( )0fx，( )f x單調(diào)遞減， 所以函數(shù)( )f x在區(qū)間(0,2)內(nèi)有且僅有 1 個(gè)極值點(diǎn)1x = （2）方程11( )12f xxax=+ ，即為方程21(1)2alnxxa x=+， 即為方程21(1)02xalnxa x+=， 令21( )(1)2g xxalnxa x=+，

4、0 x ， 則22(1)()(1)( )1axa xaxa xg xxaxxx+=+ =， 又32a ，所以( )0g x在3(0, )2x上恒成立， 所以( )g x在3(0, )2上單調(diào)遞減， 又因?yàn)間（1）131022aa=+ =， (0,1)x時(shí)，222111( )(1)(1)(1)22222g xxalnxa xxaxa xxaxaxaxax=+=+ +， 令20axax+=，可得21axa=， 所以()021aga， 所以存在0(21axa，1)，使0()0g x=， 即方程11( )12f xxax=+ 在區(qū)間3(0, )2上有唯一解 3記( )( )fxfx=，( )fx為(

5、)f x的導(dǎo)函數(shù)若對(duì)xd ，( )0fx，則稱(chēng)函數(shù)( )yf x=為d上的“凸函數(shù)”已知函數(shù)32( )1f xlnxxaxx=+ar （1）若函數(shù)( )f x為1，)+上的凸函數(shù)，求a的取值范圍； （2）若方程3( )yf xxa=在1，)+上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍 解：（1）21( )321fxxaxx=+，21( )62fxxax= +， 3 / 7 若( )f x為1，)+上的凸函數(shù)，則21620 xax+對(duì)1x恒成立， 即2126axx對(duì)1x恒成立，而216yxx=在1，)+單調(diào)遞增， 21(6)5minxx=，25a，解得：52a ，故a的取值范圍是5(, )2 （2）由

6、3( )f xxa=得210lnxaxxa+ =，令2( )1h xlnxaxxa=+，h（1）0=， 2121( )21axxh xaxxx+=+ =， 當(dāng)0a時(shí)，( )0h x對(duì)1x恒成立，( )h x在1，)+上單調(diào)遞增， 又h（1）0=，( )h x在1，)+上有且只有 1 個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意， 當(dāng)0a 時(shí)，令2210axx+ =得111804axa+=，211804axa+=， 若21x即1a時(shí)，( )0h x對(duì)1x恒成立，( )h x在1，)+單調(diào)遞減， ( )h x在1，)+上有且只有 1 個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意， 若21x 即01a時(shí)，( )h x在1，2)x遞增，在2x，)+遞減

7、， 1x ，1lnxx+，2( )2h xaxxa +， 故存在01x ，0()0h x，即( )h x在1，)+上有 2 個(gè)零點(diǎn)， 綜上，a的取值范圍是(，01，)+ 4已知函數(shù)( )f xlnxaxa=+ （）求函數(shù)( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間； （）若1x =是函數(shù)( )f x的極值點(diǎn)，且關(guān)于x的方程( )xmf xxem=+有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 解：（）( )f xlnxaxa=+，0 x ，1( )fxax =， 當(dāng)0a時(shí)，( )0fx，函數(shù)( )f x在(0,)+單調(diào)遞增， 當(dāng)0a 時(shí)，令( )0fx=，解得：1xa=， 當(dāng)10 xa時(shí)，( )0fx，函數(shù)( )f x在1(

8、0,)a遞增； 綜上：當(dāng)0a時(shí)，函數(shù)( )f x的遞增區(qū)間是(0,)+， 4 / 7 當(dāng)0a 時(shí)，函數(shù)( )f x的遞增區(qū)間是1(0,)a （）1( )fxax=，1x =是函數(shù)( )f x的極值點(diǎn)， f （1）10a= =，解得：1a =， ( )1f xlnxx=+， 方程( )xmf xxem=+即()xm lnxxxe=， 設(shè)( )h xlnxx=，則1( )1h xx=， 故( )h x在(0,1)遞增，在(1,)+遞減， 故( )h xh（1）0=， lnxx，xxemlnxx=， 設(shè)( )xxem xlnxx=，則2(1)(1)( )()xex lnxxm xlnxx=， 1ln

9、xxx+， 故函數(shù)( )m x在(0,1)遞減，在(1,)+遞增， 故( )m xm（1）1e= ， 又當(dāng)x無(wú)限增大或無(wú)限接近 0 時(shí)，( )m x都趨近于 0， 故1( )0m xe， 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是1(e，0) 5已知函數(shù)(1)( )1k xf xlnxx=+ （1）當(dāng)2k =時(shí)，求曲線(xiàn)( )f x在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線(xiàn)方程； （2）當(dāng)1x 時(shí)，函數(shù)( )f x有兩個(gè)零點(diǎn)，求正整數(shù)k的最小值 解：（1）2k =時(shí)，2(1)2( )11xf xlnxlnxxx=+ =+，0 x ， 22( )xfxx=，f（1）1=，f （1）1=， 故切線(xiàn)方程是1(1)yx = ，即20 xy

10、+=； （2）2( )xkfxx=，當(dāng)0k 時(shí)，由( )0fx=可得xk=， 由( )0fx得xk，由( )0fx，得xk， 5 / 7 若1k時(shí)，( )f x在(1,)+上單調(diào)遞增，至多 1 個(gè)零點(diǎn)，不合題意， 若1k 時(shí)，函數(shù)( )f x在(1, )k上單調(diào)遞減，在( ,)k +上單調(diào)遞減， f（1）1=，故若函數(shù)( )f x有 2 個(gè)零點(diǎn)，則( )( )20minf xf klnkk=+， 令( )2g xlnxx=+，(1)x ，則1( )0 xg xx=，( )g x在(1,)+遞減， 又g（2）20ln=，g（3）310ln= ，g（4）420ln=， 故存在0(3,4)x 使得0

11、()0g x=，則( )0g x 的解集是0(x，)+， 綜上，k的取值范圍是0(x，)+，0(3,4)x ， 故正整數(shù)k的最小值是 4 6已知函數(shù)( )(1)f xx lnx= （1）設(shè)曲線(xiàn)( )yf x=在1xe=處的切線(xiàn)方程為( )yg x=，求證：( )( )f xg x； （2）若方程( )f xa=有兩個(gè)根1x，2x，求證：121| 2xxaee+ 證明：（1）( )(1)f xx lnx=，則( )fxlnx=， 故12( )fee= ，1( )1fe= ， 故切線(xiàn)方程是：21()yxee+= ，即1( )g xxe= ， 令1( )( )( )(1)h xf xg xx lnx

12、xe=+，則( )1h xlnx=+， 令( )0h x，解得：1xe，令( )0h x，解得：10 xe， 故( )h x在1(0, )e遞減，在1(e，)+遞增， 故1( )( )0h xhe=，即( )( )f xg x； （2）不妨設(shè)12xx，直線(xiàn)1yxe= 與ya=相交于點(diǎn)0(x，)a 又由（1）知：( )( )f xg x，則011111()()axf xg xxee= = ， 從而101xxae= ，當(dāng)且僅當(dāng)01xe=，2ae= 時(shí)取“=”， 下面證明：2xae+， 由于2()af x=，故222()xaexf xe+，即證22()0f xxe+， 令( )( )2xf xxex

13、lnxxe=+=+，則( )1xlnx=， 6 / 7 令( )0 x，解得：xe，令( )0 x，解得：0 xe， 故( )x在(0, ) e遞減，在( ,)e +遞增， 故( )x（e）0=，即2xae+成立，當(dāng)且僅當(dāng)2xe=，0a =時(shí)取“=”， 由于等號(hào)成立的條件不同時(shí)滿(mǎn)足， 故122111|()()2xxxxaeaaeee=+ =+ 7已知函數(shù)( )(1) (1)(1)f xxln xxm lnx=+ 的導(dǎo)函數(shù)為( )fx （1）當(dāng)0m=時(shí)，求證：( )0fx； （2）若( )f x只有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍 解：111( )(1)(1)mmfxln xlnxlnxxx=+=+，

14、（1）證明：當(dāng)0m=時(shí)，111( )(1)(1)fxln xlnxlnxxx=+=+， 設(shè)( )(1)g tlntt=+，則1( )111tg ttt= = +， 故( )g t在( 1,0)單調(diào)遞增，在(0,)+單調(diào)遞減， 又由于(0)0g=，故( ) 0g t，由于10 x， 故11(1)0lnxx+，即( )0fx； （2）注意到f（1）220ln=， 若0m，1111( )(1)0mmmfxlnxxxxx=+=， 故( )f x在(0,)+上單調(diào)遞減，取221mxe=， 則2222222211()(1) (1)20 xf xxlnmlnxmlnxmlnxxx+=+=， 故存在a使得f（a）0=，即( )f x在(0,)+上只有 1 個(gè)零點(diǎn)， 若01m，當(dāng)01x時(shí)，0lnx，而10 xm+ ，故( )0f x ， 當(dāng)1