一輪大題專練1—導數（恒成立問題1））-2022屆高三數學一輪復習

1、1 / 6 一輪大題專練一輪大題專練 1導數（恒成立問題導數（恒成立問題 1） 1已知函數2( )3f xxax= +，( )g xxlnx=，ar （1）當0 x 時，2 ( )( )g xf x，求a的取值范圍； （2）證明：當0 x 時，2( )xxg xee 解：（1）當0 x 時，2 ( )( )g xf x，即223xlnxxax+，即22332xlnxxalnxxxx+=+， 設3( )2(0)h xlnxxxx=+，則2223(3)(1)( )1xxh xxxx+=+ =， 當(0,1)x時，( )0h x，( )h x在(0,1)單調遞減，當(1,)x+時，( )0h x，(

2、 )h x在(1,)+單調遞增， ( )minh xh=（1）4=，則4a 實數a的取值范圍為(，4； （2）證明：( )g xxlnx=， ( )1g xlnx = +， 易知函數( )g x在1(0, )e上單調遞減，在1( ,)e+上單調遞增， 當0 x 時，11( )( )ming xgee= ， 令2( )xxxee=，則1( )xxxe=， 易知( )x在(0,1)單調遞增，在(1,)+單調遞減， 1( )(1)maxxe= ， 又兩個等號不同時成立，故當0 x 時，2( )xxg xee 2已知函數( )cos1xf xxex=+（其中0)x，( )fx為( )f x的導數 （1

3、）求函數( )f x在0 x =處的切線方程； （2）若不等式( )f xax恒成立，求a的取值范圍 解：（1）( )(1)sinxfxxex=+，則(0)1f =， 又(0)0f=， 函數( )f x在0 x =處的切線方程為yx=； 2 / 6 （2）令( )cos1xh xxexax=+ ，則( )(1)sinxh xxexa=+， ( )(2)cos0(0)xh xxexx=+， ( )h x 在0，)+上單增， 當1a時，( ) 10h xa， ( )h x為增函數，則( )(0)0h xh=恒成立，符合題意； 當1a 時 ， 由( )h x在0，)+上 單 增 ， 且(0)10ha

4、= ，()sin()sin()sin()0h lnaalnaalnaaalnalnalnalna=+=， 故存在唯一0(0,)x +，使得0()0h x=，則當0(0,)xx時，( )0h x，( )h x單減，( )(0)0h xh=，此時與( ) 0h x矛盾，不合題意 綜上所述，實數a的取值范圍為(，1 3已知函數2( )f xxalnx= （）當2a =時，試判斷函數( )f x的單調性； （）當0a 時，若對任意的1(xe，)+，2( )xf xxea+恒成立，求a的取值范圍 解：（）2a =時，2( )2f xxlnx=，( )f x的定義域是(0,)+， 22(1)(1)( )2

5、xxfxxxx+=， 令( )0fx，解得：1x ，令( )0fx，解得：01x， 故( )f x在(0,1)遞減，在(1,)+遞增； （）2( )xf xxea+恒成立，即(1)xealnx+， 1(xe，)+，10lnx +， 故當0a 時，對任意1(xe，)+，1xealnx+恒成立， 令( )1xeg xlnx=+，則2(1)( )(1)xexxlnxg xxlnx+=+， 令( )1h xxxlnx=+，則( )2h xlnx=+， 1(xe，)+，20lnx +，函數( )h x在1(e，)+上單調遞增， 顯然h（1）0=，故當11xe時，( )0g x，當1x 時，( )0g x

6、， 3 / 6 故函數( )g x在1(e，1)遞減，在(1,)+遞增， 故( )g xg（1）e=，故0ae，故a的取值范圍是(0, ) e 4已知函數( )2(1)x af xeax=+，0 x，)+ （1）若0a =，證明：2( ) 2f xxx+； （2）若2( ) 2(1)1f xxax+，求a的取值范圍 解 ： （ 1 ） 證 明 ： 若0a =， 則( )2xf xex=， 即 證222xexxx+， 只 需 證2112xexx+， 設21( )1,02xg xexxx= ，則( )1xg xex= ，( )1xgxe=， 顯然( ) 0gx在0，)+上恒成立， ( )g x 在

7、0，)+上單增， ( )(0)0g xg =， ( )g x在0，)+上單增， ( )(0)0g xg=， 21102xexx ，即得證； （2）令2( )2(1)2(1)1x axeaxxax=+， 依題意，對任意0 x，)+，( ) 0 x恒成立，則(0)22 0ae=，解得0a， 又2(1)1 0 xax+在0 x，)+上恒成立，0 x =顯然成立， 1(1)axx+在(0,)x+上恒成立，即(1) 2a+，解得3a， 故30a； 下面證明：當30a時，( ) 0 x在0 x，)+上恒成立， 令2( )2(1)2(1)1, 3,0 x at aeaxxaxa=+ ， 則2( )2(1)1

8、x axt aexxax= +， 0 x，t （a）0， t（a）在 3，0上單減，則2( )(0)221xt atexxx=+， 4 / 6 由（1）知，2112xexx+， 故222221221 2(1)21(11)02xexxxxxxxxxx+=+ ， 當 且 僅 當0 x =時，取等號， 故( ) 0 x在0 x，)+上恒成立， 綜上，實數a的取值范圍為 3，0 5已知函數( )1()xf xeaxlnxar=，2( )xg xxex= （）當1a =時，求證：( )f x在(0,)+上單調遞增； （）當1x時，( )( )f xg x，求a的取值范圍 解：（）證明：當1a =時，(

9、)1xf xeaxlnx=，(0,)x+， 則( )1xfxelnx=，又1( )xfxex=在(0,)+上單調遞增，且1( )202fe=，且f （1）10e= ， 01(2x，1)，使得0001()0 xfxex=， 當0(0,)xx時，( )0fx，當0(xx，)+時，( )0fx， ( )fx 在0(0,)x上單調遞減，在0(x，)+上單調遞增， 000( )()1xfxfxelnx =， 0010 xex=， 001xex=，00lnxx= ， 001( )10fxxx =+ ， ( )f x在(0,)+上單調遞增； （）當1x時，( )( )f xg x，問題等價于2(1)1 0

10、xxexaxlnx+（記為*)在1，)+上恒成立， 令2( )(1)1xg xxexaxlnx=+， ( )(2)(1)xg xx ea lnx=+， g（1）0=，要使(*)式在1x，)+上恒成立，則必須g（1）20ea=+，2ae， 5 / 6 下面證明當2ae時，( )(0)g xg在1x，)+上恒成立 1x，10lnx+ ，( )(2)(2)(1)xg xx ee lnx +， 又1lnxx+， ( )(2)(2)() 0 xxg xx ee xx ex +=， 當2ae時，( )g x在1，)+上單調遞增， ( )g xg（1）0=，即(*)式在1x，)+上恒成立， 故a的取值范圍為

11、2e，)+日期：2021/5/21 12:43:07；用戶：尹麗娜；郵箱：3603210371zz.；學號：19839377 6已知函數1( )()xf xeaxa ar+=+ （1）討論( )f x的單調性； （2）當0 x時，(1)(1) 1f xln x+，求實數a的取值范圍 解：（1）1)( )xf xeaxa+=+的定義域是r， 1( )xfxea+=+， 當0a時，( )0fx在r上恒成立，故( )f x在r上單調遞增；.2分 當0a 時 ， 令( )0fx=， 得()1xlna=， 在(，()1)lna上 有( )0fx， 在( ()1lna，)+上有( )0fx， ( )f x

12、在(，()1)lna上是減函數，在( ()1lna，)+上是增函數.4分 （2）當0 x時，(1)(1) 1f xln x+，即(1)1 0(*)xeaxln x+ 令( )(1)1(0)xg xeaxln xx=+，則1( )(0)1xg xeaxx=+， 若2a，由（1）知，當1a = 時，1( )1xf xex+=在( 1,) +上是增函數， 故有1 1( )( 1)1 11f xfe +=+ =，即1( )1 1xf xex+=，得11 1xex+ +， 故有1xex +（由（1）可判斷，此不等式為常見不等式，熟記更利于解題） 111( )(1)2 (1)20111xg xeaxaxaaxxx=+=+（當且僅當111xx+ =+，即0 x =，且2a =時取等號） 函數( )g x在0，)+單調遞增，( )(0)0g xg=，(*)式成立.9分 若2a ，令1( )(0)1xxea xx=+ 6 / 6 則2221(1)1( )0(1)(1)xxxexexx+=