一輪大題專練6—導(dǎo)數(shù)（零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題2）-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)

1、1 / 8 一輪大題專練一輪大題專練 6導(dǎo)數(shù)（零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題導(dǎo)數(shù)（零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 2） 1已知函數(shù)27( )()2sin4f xxax=+ （1）證明：( )f x有唯一極值點(diǎn)； （2）討論( )f x的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 解：（1）( )2()2cosfxxax=+ 設(shè)( )( )g xfx=，則( )22sin0g xx=，故( )fx單調(diào)遞增 又(2)42cos(2)0faa= +，(2)42cos(2)0faa+=+ 故存在唯一0(2,2)xaa+，使得0()0fx= 當(dāng)0 xx時(shí)，( )0fx，( )f x單調(diào)遞減；當(dāng)0 xx時(shí)，( )0fx，( )f x單調(diào)遞增 故0 x是( )f x的唯一極值

2、點(diǎn)； （2）由（1）0 x是( )f x的極小值點(diǎn)，且滿足00cos0 xax+= 又2000077(3)( 3cos)2sin(3)42sin(3)044f xxxx= +； 同理2000077(3)(3cos)2sin(3)42sin(3)044f xxxx+=+ 故0()0f x時(shí)，( )f x有兩個(gè)零點(diǎn)；0()0f x=時(shí)，( )f x有一個(gè)零點(diǎn)；0()0f x時(shí)，( )f x無(wú)零點(diǎn) 又2200000007331()( cos)2sinsin2sin(sin)(sin)4422f xxxxxxx= += += 令0()0f x，解得01sin2x ，即0722()66kxkkz+ 令(

3、 )cosh xxx=+，( )1sin0h xx= 此時(shí)00cosaxx=+關(guān)于0 x單調(diào)遞增，故73322()6262kakkz+ 令0()0f x=，解得01sin2x =，即()0072266xkxkkz=+或 此時(shí)00cosaxx=+，故()337226262akakkz=+或 令0()0f x，解得01sin2x ，即0522()66kxkkz+ 此時(shí)00cosaxx=+關(guān)于0 x單調(diào)遞增，故35322()6262kakkz+ 綜上所述：當(dāng)73322()6262kakkz+時(shí)，( )f x有兩個(gè)零點(diǎn)； 2 / 8 當(dāng)()337226262akakkz=+或時(shí)，( )f x有一個(gè)零點(diǎn)

4、； 當(dāng)35322()6262kakkz+時(shí)，( )f x無(wú)零點(diǎn) 2已知函數(shù)( )xxf xxee=+ （1）求函數(shù)( )f x的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）畫出函數(shù)( )f x的大致圖象，并說(shuō)明理由； （3）求函數(shù)( )( )()g xf xa ar=的零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 解：（1）函數(shù)( )xxf xxee=+，定義域?yàn)閞，則( )(2)xfxxe=+， 令( )0fx=，解得2x =， 當(dāng)2x 時(shí)，( )0fx，則( )f x單調(diào)遞減，當(dāng)2x 時(shí)，( )0fx，則( )f x單調(diào)遞增， 故當(dāng)2x =時(shí)，函數(shù)( )f x有極小值21( 2)fe= ， 所以( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間為( 2,)+，單調(diào)遞

5、減區(qū)間為(, 2) ，有極小值21e，無(wú)極大值； （2）令( )0f x =，解得1x = ，當(dāng)1x 時(shí)，( )0f x ，當(dāng)1x 時(shí)，( )0f x ， 所以( )f x的圖象經(jīng)過(guò)特殊點(diǎn)21( 2,)ae，( 1,0)b ，(0,1)c， 當(dāng)x時(shí)，與一次函數(shù)相比，指數(shù)函數(shù)xye=呈爆炸式增長(zhǎng)，增長(zhǎng)速度更快， 結(jié)合（1）中的單調(diào)性與極值情況，作出函數(shù)( )f x的圖象如圖所示： （3）函數(shù)( )( )()g xf xa ar=的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為函數(shù)( )yf x=的圖象與直線ya=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)， 由（1）以及（2）的圖象可知，當(dāng)2x =時(shí)，( )f x有極小值21( 2)fe= ， 結(jié)合函數(shù)( )f

6、 x的圖象，所以關(guān)于函數(shù)( )( )g xf xa=的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)如下： 當(dāng)21ae 時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 0個(gè)； 當(dāng)21ae= 或0a時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 1 個(gè)； 當(dāng)210ae時(shí)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 2個(gè) 3 / 8 3已知函數(shù)2( )1()xf xaxare=+ （1）若函數(shù)( )f x在區(qū)間(1,)+上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）當(dāng)0a 時(shí)，討論函數(shù)( )( )3g xf xa=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給予證明 解：（1）2( )xfxae=， 由題意得( ) 0fx，即2xae在區(qū)間(1,)+上恒成立， 當(dāng)(1,)x+時(shí)，22(0, )xee，所以2ae， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是2e，)+ （2）由已

7、知得2( )2xg xaxae=+，則22( )xxxaeg xaee=， 當(dāng)0a 時(shí)，( )0g x，函數(shù)( )g x單調(diào)遞減， 又(0)0ga= ，g（1）220e=，故函數(shù)( )g x有且只有一個(gè)零點(diǎn) 當(dāng)0a 時(shí)，令( )0g x，得2xlna，函數(shù)( )g x單調(diào)遞減； 令( )0g x，得2xlna，函數(shù)( )g x單調(diào)遞增， 而222()()0g lna lnaaa=，222()0(aaaglnxxae+=在(0,)+上恒成立）， 由于xlnx，所以222alnaaa+， 所以( )g x在2(lna，2)aa+上存在一個(gè)零點(diǎn)， 又2222()()22aag lna alnaa+=

8、+，且2222lnlnaaa+， 設(shè)h（a）222aaaln+=，h（a）2222111022aaaaaaa+= =+在(0,)+恒成立， 故h（a）在(0,)+上單調(diào)遞增， 4 / 8 而(0)0h=，所以h（a）0在(0,)+上恒成立，所以22()02g lnaa+， 所以( )g x在22(2lnaa+，2)lna上存在一個(gè)零點(diǎn) 綜上所述，當(dāng)0a 時(shí)，函數(shù)( )g x有且只有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)0a 時(shí)，( )g x有兩個(gè)零點(diǎn) 4已知函數(shù)( )sinf xlnxaxx=+，其中(0 x， （1）當(dāng)0a =時(shí)，求曲線( )yf x=在點(diǎn)(2，()2f處的切線方程； （2）判斷函數(shù)( )f x是否

9、存在極值，若存在，請(qǐng)判斷是極大值還是極小值；若不存在，說(shuō)明理由； （3）討論函數(shù)( )f x在2，上零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 解：（1）0a =時(shí)，( )sinf xlnxx=+，(0 x， 1( )cosfxxx=+，()122fln= +，2()2f=， 故切線方程是：22yxln=+； （2）1( )cosfxaxx=+， 設(shè)1( )cosg xaxx=+，21( )sin0g xxx= ， 故( )fx遞減，1( )( )1minfxfa=+， 又0 x 時(shí)，( )fx +， 若( )0f，即11a 時(shí)，0(0, )x使0()0fx=， 當(dāng)0(0,)xx時(shí)，( )0fx，( )f x遞增， 當(dāng)0(x

10、x，)時(shí)，( )0fx，( )f x遞減， ( )f x在0 x處取極大值，不存在極小值， 若( ) 0f，即11a，( )0fx， ( )f x在(0，遞增，此時(shí)( )f x無(wú)極值， （3）由（2）可知： ( ) i若11a時(shí)，由上問(wèn)可知： 5 / 8 11( )()(1)10222222minf xflnln=+ =+， 即11a時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)， ( )ii若11a 時(shí)，(0 x，0 x時(shí)，( )f x遞增， 0(xx，時(shí)，( )f x遞減， 由0()0fx=得001cos0axx+=，從而001cosaxx= ， 再設(shè)1( )cosh xxx= ，則21( )sin0h xxx=+從而a

11、關(guān)于0 x遞增， 若0(0 x ，2，此時(shí)(a ，2， 若() ( )02ff得2(1)2aln +或lna ， 2(1)2aln +時(shí)無(wú)零點(diǎn)， () ( )02ff得2(1)2lnlna+ ， 22(1)2lna+時(shí)有 1 個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng)2(1)2aln= +時(shí)，()02f=，( )0f，有 1 個(gè)零點(diǎn)， 因此2(1)2aln +時(shí)無(wú)零點(diǎn)，22(1)2lna+時(shí)有 1個(gè)零點(diǎn)； 0(2x，此時(shí)2(a ，11， ()10222flna=+ ，( )flna=+， 0000000( )()sinsincos1maxf xf xlnxaxxlnxxxx=+=+， 設(shè)( )sincos1m xlnxxx

12、x=+，則1( )sin0m xxxx=+， 故( )()022maxf xmln=， 若( )0f即lna ，即11lna 時(shí)無(wú)零點(diǎn)， 若( ) 0f即lna，即2lna時(shí)有 1 個(gè)零點(diǎn)， 綜上，(a ，2(1)(2lnln+，)+時(shí)無(wú)零點(diǎn)， 2(1)2aln +，ln時(shí)有 1 個(gè)零點(diǎn) 6 / 8 5設(shè)( )sincosf xxxx=+，2( )4g xx=+ （1）討論( )f x在，上的單調(diào)性； （2）令( )( )4 ( )h xg xf x=，試判斷( )h x在r上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明 解：（1）( )sincossincosfxxxxxxx=+=， 令( )0fx=，則0 x

13、=，或2x= ， (? ,?)2x時(shí)，( )0fx，( )f x單調(diào)遞增， (?2x，0)時(shí)，( )0fx，( )f x單調(diào)遞減， (0,)2x時(shí)，( )0fx，( )f x單調(diào)遞增， (2x，)時(shí)，( )0fx，( )f x單調(diào)遞減， 綜上，( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間為(? ,?)2和(0,)2， 單調(diào)遞減區(qū)間為(?2，0)和(2，) （2）( )h x在r上有 3 個(gè)零點(diǎn)，證明如下： 2( )44( sincos )h xxxxx=+，則(0)0h=， 故0 x =是( )h x的一個(gè)零點(diǎn)， 22()()44sin()cos()44( sincos )( )hxxxxxxxxxh x= +

14、=+=， ( )h x是偶函數(shù)， 要確定( )h x在r上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需確定0 x 時(shí)，( )h x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可， 當(dāng)503x時(shí)，( )2 (12cos )h xxx=， 令( )0h x=，即1cos2x =，23xk=， (0,)3x時(shí)，( )0h x，( )h x單調(diào)遞減，()03h， (3x，5)3時(shí)，( )0h x，( )h x單調(diào)遞增，252510 3()20393h=+， ( )h x在5(0,)3有唯一零點(diǎn) 當(dāng)53x時(shí)，由于sin1x，cos1x，222( )44 sin4cos4444( )h xxxxx xxxt x=+=， 7 / 8 而( )t x在5(3，)+單調(diào)

15、遞增，5( )()03t xt，故( )0h x ， 故( )h x在5(3，)+無(wú)零點(diǎn)， ( )h x在(0,)+有一個(gè)零點(diǎn)， 由于( )h x是偶函數(shù)，( )h x在(,0)有一個(gè)零點(diǎn)，而(0)0h=， 故( )h x在r上有且僅有 3 個(gè)零點(diǎn) 6已知函數(shù)( )f xalnxbx=+的圖象在點(diǎn)(1, 3)處的切線方程為21yx= （1）若對(duì)任意1 ,)3x+有( )f xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2）若函數(shù)2( )( )2g xf xxk=+在區(qū)間(0,)+內(nèi)有 3 個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的范圍 解：（1）( )afxbx=+，(0)x 函數(shù)( )f x的圖象在點(diǎn)(1, 3)處的切線的方程為21yx= f （1）2=，f（1）3= ， 23abb+= = ，解得3b = ，1a = ( )3f xlnxx= 13()13( )3xfxxx=， 1 ,)3x+，( ) 0fx 當(dāng)13x =時(shí)，函數(shù)( )f x取得最大值，1( )3 13fln= 對(duì)任意1 ,)3x+有( )f xm恒成立( )maxm f x，1 ,)3x+ 31mln 實(shí)數(shù)m的取值范圍是31ln，)+ （2）由（1）可得： 2( )32g xlnxxxk=+， 1(21)(1)( )23xxg xxxx=+=， 令( )0g x=，