2.2.2用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征（課堂PPT）

1、.2.2 .2.2 用樣本的用樣本的數(shù)字特征數(shù)字特征 估計總體的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 第二課時第二課時 知識探究（二）：標準差知識探究（二）：標準差 樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的示樣本數(shù)據(jù)的“中心值中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息. . 平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大的數(shù)據(jù)對平均數(shù)

2、的影響也越大. .當樣本數(shù)據(jù)質量當樣本數(shù)據(jù)質量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實際情況產生較大的誤差，的中心位置，可能與實際情況產生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實際狀況，因此，我們需要難以反映樣本數(shù)據(jù)的實際狀況，因此，我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度. . 思考思考1 1：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運動員各射擊各射擊1010次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 47 8 7 9 5 4

3、 9 10 7 4乙：乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 79 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？77乙甲， xx77乙甲， xx思考思考2 2：甲、乙兩人射擊的平均成績相等，觀察兩甲、乙兩人射擊的平均成績相等，觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？在那里嗎？環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)頻率頻率0.40.40.30.30.20.20.10.14 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 O O（甲）（甲）環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)頻率頻率0.40.40.30.30.2

4、0.20.10.14 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 O O（乙）（乙）甲的成績比較分散，極差較大，乙的成績相對集中，甲的成績比較分散，極差較大，乙的成績相對集中，比較穩(wěn)定比較穩(wěn)定. .思考思考3 3：對于樣本數(shù)據(jù)對于樣本數(shù)據(jù)x x1 1，x x2 2，x xn n，設想通過各，設想通過各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來反映樣本數(shù)據(jù)的分散數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，那么這個平均距離如何計算？程度，那么這個平均距離如何計算？ 12| |nxxxxxxn-+-+-L思考思考4 4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)

5、計量是標準差，一般用統(tǒng)計量是標準差，一般用s s表示表示. .假設樣本數(shù)據(jù)假設樣本數(shù)據(jù)x x1 1，x x2 2，x xn n的平均數(shù)為，則標準差的計算公式是：的平均數(shù)為，則標準差的計算公式是：22212()()()nxxxxxxsn-+-+-=L 那么標準差的取值范圍是什么？標準差為那么標準差的取值范圍是什么？標準差為0 0的樣的樣本數(shù)據(jù)有何特點？本數(shù)據(jù)有何特點？ s0s0，標準差為，標準差為0 0的樣本數(shù)據(jù)都相等的樣本數(shù)據(jù)都相等. . 思考思考5 5：對于一個容量為對于一個容量為2 2的樣本：的樣本：x x1 1，x x2 2(x(x1 1x x2 2) )，則，則 , , 在數(shù)軸上，這兩

6、個統(tǒng)計數(shù)據(jù)有什么幾何意義？在數(shù)軸上，這兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)有什么幾何意義？由此說明標準差的大小對數(shù)據(jù)的離散程度有何影由此說明標準差的大小對數(shù)據(jù)的離散程度有何影響？響？ 122xxx+=212xxs-= 標準差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標準標準差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標準差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍圍. . 知識補充知識補充1.1.標準差的平方標準差的平方ss稱為方差，有時用方差代替標稱為方差，有時用方差代替標準差測量樣本數(shù)據(jù)的離散度準差測量樣本數(shù)據(jù)的離散度. .方差與標準差的測量方差與標準差的測量效果是一致的，在實際應用中一般多采用標準

7、差效果是一致的，在實際應用中一般多采用標準差. .2.2.現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往很多，總體現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往很多，總體的平均數(shù)與標準差是未知的，我們通常用樣本的的平均數(shù)與標準差是未知的，我們通常用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差，平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差，但要求樣本有較好的代表性但要求樣本有較好的代表性. .3.3.對于城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)，其平對于城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)均數(shù) ，標準差標準差s=0.868s=0.868. .在這在這100100個數(shù)據(jù)中，個數(shù)據(jù)中，落在區(qū)間落在區(qū)間（ -s-s， +s+s）=1.105=1.1

8、05，2.8412.841外的有外的有2828個；個；落在區(qū)間落在區(qū)間（ -2s-2s， +2s+2s）=0.237=0.237，3.7093.709外的外的只有只有4 4個；個；落在區(qū)間落在區(qū)間（ -3s-3s， +3s+3s）=-0.631=-0.631，4.5774.577外的外的有有0 0個個. .1. 973x=xxxxxx 一般地，對于一個正態(tài)總體，數(shù)據(jù)落在區(qū)一般地，對于一個正態(tài)總體，數(shù)據(jù)落在區(qū)間（間（ -s-s， +s+s）、（）、（ -2s-2s， +2s+2s）、）、（ -3s-3s， +3s+3s）內的百分比分別為）內的百分比分別為68.3%68.3%、95.4%95.4%

9、、99.7%99.7%，這個原理在產品質量控制中這個原理在產品質量控制中有著廣泛的應用（參考教材有著廣泛的應用（參考教材P79“P79“閱讀與思閱讀與思考考”）. . xxxxxx例題分析例題分析例例1 1 畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點說明他們的異同點. .(1) 5(1) 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5；(2) 4(2) 4，4 4，4 4，5 5，5 5，5 5，6 6，6 6，6 6；O O頻率頻率1.00.80.60.40.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 （1）50 xs

10、=O O頻率頻率1.00.80.60.40.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 （2）50. 82xs=(3) 3(3) 3，3 3，4 4，4 4，5 5，6 6，6 6，7 7，7 7；(4) 2(4) 2，2 2，2 2，2 2，5 5，8 8，8 8，8 8，8.8.頻率頻率1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 O O（3 3）51. 49xs=1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2（4 4）頻率頻率1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6

11、7 8 O O52. 83xs=例例2 2 甲、乙兩人同時生產內徑為甲、乙兩人同時生產內徑為25.40mm25.40mm的一種零件，的一種零件，為了對兩人的生產質量進行評比，從他們生產的零件為了對兩人的生產質量進行評比，從他們生產的零件中各隨機抽取中各隨機抽取2020件，量得其內徑尺寸如下（單位：件，量得其內徑尺寸如下（單位：mmmm）：）：甲甲 ：25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.4

12、0 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.3925.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39乙：乙：25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25

13、.32 25.32 25.32 25.4825.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48從生產零件內徑的尺寸看，誰生產的零件質量較高？從生產零件內徑的尺寸看，誰生產的零件質量較高？ 25. 401x甲25. 406x乙0. 037s甲0. 068s乙 甲生產的零件內徑更接近內徑標準，且穩(wěn)定程度甲生產的零件內徑更接近內徑標準，且穩(wěn)定程度較高，故甲生產的零件質量較高較高，故甲生產的零件質量較高. . 說明：說明：1.1.生產質量可以從總體的平均數(shù)與標準差兩生產質量可以從總體的平均數(shù)與標準差兩個角度來衡量，但甲、乙兩個總體的平均數(shù)與標準個角度來衡量，但甲、乙兩個總體的平均數(shù)與

14、標準差都是不知道的，我們就用樣本的平均數(shù)與標準差差都是不知道的，我們就用樣本的平均數(shù)與標準差估計總體的平均數(shù)與標準差估計總體的平均數(shù)與標準差. . 2. 2.問題中問題中25.40mm25.40mm是內徑的標準值，而不是是內徑的標準值，而不是總體的平均數(shù)總體的平均數(shù). .例例3 3 以往招生統(tǒng)計顯示，某所大學錄取的新生高以往招生統(tǒng)計顯示，某所大學錄取的新生高考總分的中位數(shù)基本穩(wěn)定在考總分的中位數(shù)基本穩(wěn)定在550550分，若某同學今年分，若某同學今年高考得了高考得了520520分，他想報考這所大學還需收集哪些分，他想報考這所大學還需收集哪些信息？信息？要點：（要點：（1 1）查往年錄取的新生的平

15、均分數(shù)）查往年錄取的新生的平均分數(shù). .若平若平均數(shù)小于中位數(shù)很多，說明最低錄取線較低，可均數(shù)小于中位數(shù)很多，說明最低錄取線較低，可以報考；以報考； （2 2）查往年錄取的新生高考總分的標準差）查往年錄取的新生高考總分的標準差. .若標準差較大，說明新生的錄取分數(shù)較分散，最若標準差較大，說明新生的錄取分數(shù)較分散，最低錄取線可能較低，可以考慮報考低錄取線可能較低，可以考慮報考. .例例4 4 在去年的足球甲在去年的足球甲A A聯(lián)賽中，甲隊每場比賽平均聯(lián)賽中，甲隊每場比賽平均失球數(shù)是失球數(shù)是1.51.5，全年比賽失球個數(shù)的標準差為，全年比賽失球個數(shù)的標準差為1.11.1；乙隊每場比賽平均失球數(shù)是乙

16、隊每場比賽平均失球數(shù)是2.12.1，全年比賽失球個，全年比賽失球個數(shù)的標準差為數(shù)的標準差為0.4.0.4.你認為下列說法是否正確，為你認為下列說法是否正確，為什么？什么？ （1 1）平均來說甲隊比乙隊防守技術好；）平均來說甲隊比乙隊防守技術好；（2 2）乙隊比甲隊技術水平更穩(wěn)定；）乙隊比甲隊技術水平更穩(wěn)定；（3 3）甲隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好；）甲隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好；（4 4）乙隊很少不失球）乙隊很少不失球. .例例5 5 有有2020種不同的零食，它們的熱量含量如下：種不同的零食，它們的熱量含量如下：110 120 123 165 432 190 174 110 120

17、 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140210 120 123 120 150 140（1 1）以上）以上2020個數(shù)據(jù)組成總體，求總體平均數(shù)與總個數(shù)據(jù)組成總體，求總體平均數(shù)與總體標準差；體標準差；（2 2）設計一個適當?shù)碾S機抽樣方法，從總體中抽）設計一個適當?shù)碾S機抽樣方法，從總體中抽取一個容量為取一個容量為7 7的樣本，計算樣本的平均數(shù)和標準的樣本，計算樣本的平均數(shù)和標準差差. .（1 1）總體平均數(shù)為）總體平均數(shù)為199.75199

18、.75，總體標準差為，總體標準差為95.26.95.26.（1 1）以上）以上2020個數(shù)據(jù)組成總體，求總體平均數(shù)與個數(shù)據(jù)組成總體，求總體平均數(shù)與總體標準差；總體標準差；（2 2）設計一個適當?shù)碾S機抽樣方法，從總體中）設計一個適當?shù)碾S機抽樣方法，從總體中抽取一個容量為抽取一個容量為7 7的樣本，計算樣本的平均數(shù)和的樣本，計算樣本的平均數(shù)和標準差標準差. .（2 2）可以用抽簽法抽取樣本，樣本的平均數(shù)和）可以用抽簽法抽取樣本，樣本的平均數(shù)和標準差與抽取的樣本有關標準差與抽取的樣本有關. . 小小 結結1.1.對同一個總體，可以抽取不同的樣本，相對同一個總體，可以抽取不同的樣本，相應的平均數(shù)與標準差都會發(fā)生改變應的平均數(shù)與標準差都會發(fā)生改變. .如果樣如果樣本的代表性差，則對總體所作的估計就會產本的代表性差，則對總體所作的估計就會產生偏差；如果樣本沒有代表性，則對總體作生偏差；如果樣本沒有代表性，則對總體作出錯誤估計的可能性就非常大，由此可見抽出錯誤估計的可能性就非常大，由此可見抽樣方法的重要性樣方法的重要性. .2. 2.在抽樣過程中，抽取的樣本是具有隨機性的，在抽樣過程中，抽取的樣本是具有隨機性的，如從一個包含如從一個包含6 6個個體的總體中抽取一個容量為個個體的總體中抽取