函數(shù)的單調(diào)性與極值82457實用教案_第1頁
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文檔簡介

1、2021-11-30一、函數(shù)(hnsh)的單調(diào)性從幾何圖形上來(shngli)分析abxyo)(xfy ),(ba都是銳角,即斜率 0)(tanxf是上升的 。),(ba如果曲線 在 內(nèi)所有切線的傾斜角 時,那么曲線在第1頁/共26頁第一頁,共27頁。2021-11-30可見(kjin),函數(shù)的單調(diào)性可以用導(dǎo)數(shù)的符號來判定。aboyx同樣,當(dāng) 時,曲線在 內(nèi)是下降。 ),( ba0 )(tanxf我們有如下(rxi)定理:第2頁/共26頁第二頁,共27頁。2021-11-30定理1 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù),在區(qū)間),(ba)(xfy ba,內(nèi)可導(dǎo),(1)如果在 內(nèi) ,則 在),(ba0)( xf)

2、(xfba,上單調(diào)增加;),(ba0)( xf)(xf上單調(diào)減少。(2)如果在 內(nèi) ,則 在注意(zh y): (1)將定理中的閉區(qū)間 換成其他各種區(qū)間定理的結(jié)論(jiln)仍成立。第3頁/共26頁第三頁,共27頁。2021-11-30單調(diào)增加的充分條件,而不是必要條件。(2)在 內(nèi), 只是 在 上),(ba0)( xf)(xf考察函數(shù) 3)(xxf,但等號只在個別處成立,(3)如果在區(qū)間 內(nèi)0)( xf(或0)( xf)仍是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的。則函數(shù) 在 上考察函數(shù) 3)(xxf第4頁/共26頁第四頁,共27頁。2021-11-30例1 判定函數(shù) 的單調(diào)性。xxxf arctan)(解

3、 的定義域是 。 ),(在區(qū)間 和 都有 ,只有當(dāng)), 0(0)( xf0 x時, ,所以 在 內(nèi)單調(diào)減少。0)0( f),(例2 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。xxxf3)(3解 的定義域是 ),(第5頁/共26頁第五頁,共27頁。2021-11-30令 ,得 ,0)( xf1, 1xx它們將定義域),(當(dāng) 時,)1 , 1(x0)( xf當(dāng) 時, 。) 1,(), 1 (x0)( xf所以 的單調(diào)增加區(qū)間是 和 ;單調(diào)遞減區(qū)間是) 1,()1 ,1(例3 確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。23352353)(xxxf解 的定義域是),()1,(),(11 分成三個區(qū)間 第6頁/共26頁第六頁,共27頁。2021

4、-11-30令 ,得 ,又 處導(dǎo)數(shù)不存在,0)( xf1x0 x1x, 這兩點將 分成三個區(qū)間,0 x),(列表分析 在各個區(qū)間的符號:)(xf 由表可知, 的單調(diào)增加區(qū)間為 和,單調(diào)減少區(qū)間為 。第7頁/共26頁第七頁,共27頁。2021-11-30二、函數(shù)(hnsh)的極值設(shè)函數(shù) 在點 的某鄰域內(nèi)有定義,0 x1 定義(dngy)(1)如果對該領(lǐng)域內(nèi)的任意點 ,都有)(xxx)()(0 xfxf,則稱 是 的極大值,稱 是)(0 xf)(xf的極大值點。)(xf (2)如果對該領(lǐng)域內(nèi)的任意點 ,都有)(xxx)()(0 xfxf,則稱 是 的極小值,稱)(0 xf)(xf是 的極小值點。)

5、(xf第8頁/共26頁第八頁,共27頁。2021-11-30函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱(tngchng)為極值,極大值點和極小(j xio)致點統(tǒng)稱為極值點。注意:極值是局部性的。因而,函數(shù)可以有許多個極大值和極小值,并且極大值不一定大于極小值。oxyab第9頁/共26頁第九頁,共27頁。2021-11-302 極值存在(cnzi)的必要條件和充分條件定理2(極值的必要條件) 如果函數(shù) 在點)(xf 處可導(dǎo),且在點 取得極值,則 。0)(0 xf定理2指出:可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定(bdng)是駐點。0)(0 xf)(xf使 的點 稱為函數(shù) 得駐點。反過來,駐點不一定是極值點。3)(xxf考察函數(shù)另

6、一方面,函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是極值點。0 xxxf,)(考察函數(shù)第10頁/共26頁第十頁,共27頁。2021-11-30定理(dngl)3(極值的第一充分條件) 設(shè)函數(shù))(xf在點 連續(xù)(linx),且在點 的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。 (1)如果在 內(nèi) ,在),(00 xx0)( xf),(00 xx內(nèi) ,則函數(shù) 在點 處取極大值 ;0)( xf)(xf)(0 xf(2)如果在 內(nèi) ,在),(00 xx0)( xf),(00 xx內(nèi) ,則函數(shù) 在點 處取極小值 ;0)( xf)(xf)(0 xf(3)如果 在 和 內(nèi)不變 )(xf ),(00 xx),(00 xx號,則 在 處無極值。 )(xf第

7、11頁/共26頁第十一頁,共27頁。2021-11-30定理3即:設(shè) 在點 的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo),)(xf當(dāng) 有小增大經(jīng)過 時,如果 由正變負(fù),x)(xf 則 是極大值點;如果 由負(fù)變正,)(xf 極小值點;如果則 是)(xf 不變號,則 不是極值點。例4 求函數(shù) 的極值。1093)(23xxxxf 解 的定義域是)(xf),(令 ,得駐點 。0)( xf3, 121xx當(dāng) 時,11x0)( xf當(dāng) 時,31x0)( xf第12頁/共26頁第十二頁,共27頁。2021-11-30當(dāng) 時, 。3x0)( xf)(xf3x在 處取得極小值17)3(f例5 求函數(shù) 的極值。123)(32xxxf 解

8、 的定義域是)(xf),(令 ,得駐點 ,而 時 不存在。0)( xf1x0 x)(xf 由定理3知, 在 處取得極大值 。 )(xf11x15) 1(f第13頁/共26頁第十三頁,共27頁。2021-11-30因此函數(shù)只可能在這兩點取得(qd)極值,列表討論如下:不存在(cnzi)由表可知, 在 處取得極大值 , )(xf0 x1)0(f在 處取得極小值 。1x21)(xf函數(shù) 的圖形如圖123)(32xxxf第14頁/共26頁第十四頁,共27頁。2021-11-30 函數(shù)在駐點處二階導(dǎo)數(shù)(do sh)存在時,還可以用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(do sh)判定函數(shù)是否有極值。01x121y 定理4(極

9、值的第二充分條件) 設(shè)函數(shù) 在點處有二階導(dǎo)數(shù),且 , ,則0)(0 xf0)(0 xf(1)如果 ,則 在 取得極大值;0)(0 xf(2)如果 ,則 在 取得極小值。0)(0 xf第15頁/共26頁第十五頁,共27頁。2021-11-30例6 求函數(shù) 的極值。22ln)(xxxf解 的定義域是),(),( 00 令 ,得到兩個駐點 。0)( xf1, 121xx由定理4 可知, 都是 的極小值點,1, 121xx1) 1 () 1(ff為函數(shù) 的極小值。又第16頁/共26頁第十六頁,共27頁。2021-11-30 函數(shù)(hnsh)的極值是局部性概念,而最值是一個全局性概念。 可以由駐點及導(dǎo)數(shù)

10、不存在的點與區(qū)間端點的函數(shù)值相比較,其中最大的就是函數(shù) 在 上的最大值,ba,ba,最小的就是函數(shù) 在 上的最小值。注意下述三種(sn zhn)情況:(1)如果 在 上是單調(diào)函數(shù);ba,三、函數(shù)的最值1 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)第17頁/共26頁第十七頁,共27頁。2021-11-30(2)如果連續(xù)函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)只有一個極大)(xf(?。┲担鵁o極?。ù螅┲担唬?)在實際問題中,由問題的實際意義可知,確實存在最大值或最小值,又若函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)只有一個可能的極值點,則該點處的函數(shù)值一定是最大值或最小值。例7 求函數(shù) 在區(qū)間41232)(23xxxxf4 , 3 上的最大值與最小值。解第1

11、8頁/共26頁第十八頁,共27頁。2021-11-30比較可知, 在 上最大值為 ,最小值)(xf4 , 3132)4(f為3) 1 (f例9 將邊長為a的一塊正方形鐵皮,四角各截去一各大小相同的小正方形,然后將四邊折起做成一個無蓋的方盒。問截去的小正方形邊長為多大時,所得方盒的容積最大?解 如圖設(shè)小正方形的邊長為x,則盒底的邊長為)2(xa 0)( xf得駐點 : 令 ,.,1221 xx第19頁/共26頁第十九頁,共27頁。2021-11-30令 ,得 (舍去)。又0 v2,621axax所以函數(shù) 在 處取得唯一極大值,此極大值就是最大值。因此,當(dāng)截去的正方形的邊長等于所給正方形鐵皮邊長的

12、 時,所做的方盒容積最大。v6ax 61ax方盒的容積(rngj)為:第20頁/共26頁第二十頁,共27頁。2021-11-30例10 制作一個容積為 的圓柱形密閉容器,V怎樣設(shè)計才能使所用材料最?。?解 如圖,設(shè)容器(rngq)的底面半徑為 ,高為 ,則表面積為rhrS222所以(suy)令0S , 得駐點 32Vr hrhrV2由已知得故第21頁/共26頁第二十一頁,共27頁。2021-11-30所以,所做容器的高和底直徑相等(xingdng)時,所用材料最省。 例11 一工廠A與鐵路的垂直距離為 ,垂足 akm B到火車站C的鐵路長為 ,要在BC段上選)(abbkm一點M向工廠修一條公路

13、,已知鐵路與公路每公里運費之比為3:5,問M 選在離C多少公里處,才能使從A到C的運費最少?S有唯一(wi y)駐點,而實際容器存在最小表面積,因此求得的駐點為最小值點,此時第22頁/共26頁第二十二頁,共27頁。2021-11-30解 設(shè) , 則xMC 設(shè)鐵路、公路上每公里運費分別為 從A到,5 ,3kkC需要的總運費為 ,則y令 ,0 y得 (舍去)。因為abxabx43,4321第23頁/共26頁第二十三頁,共27頁。2021-11-301x是在區(qū)間0, b上的唯一駐點,而實際問題中存在最小值,因而 是最小值點,因此,M選在abx431離C點距離為 處時總運費最省。)(43kmab 例12工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,當(dāng)年產(chǎn)量為x(單位:百臺)時,總成本(單位:萬元)為C(x)=3+x,其銷售收入 (單位:萬元)為 ,問年產(chǎn)量x為25 . 05)(xxxR多少時,總利潤L最大?解 利潤(lrn)為第24頁/共26頁第二十四頁,共27頁。2021-11-30令 ,得駐點 。0)( xL4x的唯一極大值點,于是 (萬元)是最大值,5)4(L即每年(minin)生產(chǎn)400臺時,總利潤最大,最大利潤為5萬元。01)4( L4x)(xL因為 ,所以 是函數(shù) 第25頁/共26頁第二十五頁,共27頁。感謝您的觀看(gunkn)!第26頁/共26頁第二十

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