安徽大學(xué)大學(xué)物理第七章

1、第七章：用分離變量法求解偏微分方程 前言：對(duì)自然界中物理現(xiàn)象的研究就是掌握相應(yīng)的物理量在空間某個(gè)區(qū)域的分布情況和隨時(shí)間的變化規(guī)律，在數(shù)學(xué)上往往用與空間三維坐標(biāo)和時(shí)間有關(guān)的偏微分方程表達(dá)出來(lái)，稱為數(shù)學(xué)物理方程。作為對(duì)同一類物理現(xiàn)象的共性進(jìn)行描述的數(shù)學(xué)物理方程本身稱為泛定方程。研究具體的物理過(guò)程必須考慮周圍環(huán)境的影響，這種影響體現(xiàn)于研究對(duì)象的邊界所處的物理狀態(tài)，對(duì)它的數(shù)學(xué)描述就是邊界條件；還必須考慮特定的歷史條件，體現(xiàn)在研究對(duì)象在初始時(shí)刻的狀態(tài)，對(duì)它的數(shù)學(xué)描述就是初始條件。對(duì)于泛定方程，加上邊界條件和初始條件可求出某一物理量在具體情況下的解，因此稱邊界條件和初始條件為定解條件。泛定方程和定解條件構(gòu)

2、成的特定問(wèn)題稱為定解問(wèn)題。物理過(guò)程研究的一般步驟：數(shù)學(xué)物理方程的建立+定解條件求解方程證明解的合理性并做出物理解釋。1 數(shù)學(xué)物理的定解問(wèn)題 數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出均勻弦的微小橫振動(dòng)方程弦在繃緊以后，相鄰小段之間有拉力，這種拉力稱為張力，張力沿著弦的切線方向。由于張力的作用，弦中一個(gè)小段的振動(dòng)必然傳播到整根弦，形成波動(dòng)。圖7-1如圖7-1，繃緊的弦在沒(méi)有振動(dòng)時(shí)是一根直線，取這根直線為軸，把振動(dòng)時(shí)弦上各點(diǎn)的橫向位移記作，顯然它是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，表示為。把整根弦細(xì)分為許多極小的小段，每一小段可以抽象為質(zhì)點(diǎn)。如圖7-1，任取在區(qū)間上的一小段弦，長(zhǎng)度為。設(shè)弦的質(zhì)量線密度為，則小段弦的質(zhì)量為，其橫向加速度為

3、，由牛頓第二定律可得： （1）弦上的每小段都沒(méi)有縱向（沿軸方向）的運(yùn)動(dòng)，所以作用于小段上的縱向合力應(yīng)為零，則可得： （2）對(duì)于弦的微小振動(dòng)，弦的橫向位移很小，弦的切線與軸的夾角為小量，可以忽略關(guān)于的二階和二階以上的高階小量，則可得到： 根據(jù)以上討論由方程(2)可得：，則方程(1)可化為： （3）在(3)式兩邊同除以并取的極限，則可得： （4）由(4)式可得均勻弦的微小橫振動(dòng)方程： （5）其中：，后面將會(huì)看到為振動(dòng)在弦上傳播的速度。討論： 考慮到弦的重量通常只有張力的幾萬(wàn)分之一，所以跟張力相比，弦的重量可以忽略不計(jì)，則(5)式可改寫為： 如果在弦的單位長(zhǎng)度上還有橫向外力作用，則（5）式可改寫為

4、其中：傳輸線方程(微波技術(shù)基礎(chǔ))對(duì)于一段高頻的傳輸線，在理論研究中?？醋鍪蔷哂蟹植紖?shù)的導(dǎo)線，其等效電路模型如圖7-2所示。傳輸線上的電壓和電流沿著距傳輸線始端的距離變化，且通常還是時(shí)間的函數(shù)，所以傳輸線上的電壓和電流可表示為和。圖7-2設(shè)：傳輸線兩導(dǎo)體上存在有耗電阻，傳輸線兩導(dǎo)體上單位長(zhǎng)度的電阻用表示。兩導(dǎo)體之間存在漏電導(dǎo)，傳輸線單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)用表示。傳輸線本身存在自感，傳輸線單位長(zhǎng)度的電感用表示。傳輸線的兩導(dǎo)體之間存在電容，傳輸線單位長(zhǎng)度的電容用表示。在傳輸線上任取一小段進(jìn)行分析：由基爾霍夫電壓定理可得： （6）由基爾霍夫電流定理可得： （7）在(6)，(7)兩邊除以，并取的極限，可得：

5、 （6a） 設(shè)，即，關(guān)于是連續(xù)的，則上式可化為： (7a)在（6a）式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，(7a)式兩邊乘以再對(duì)求偏導(dǎo)，并聯(lián)立可得：兩式相減，并把（7a）式代入可得：同理可得： 以上兩式為傳輸線方程（電報(bào)方程）。當(dāng)傳輸線為無(wú)耗線時(shí)，傳輸線方程變?yōu)椋簜鬏斁€方程與均勻弦的微小橫振動(dòng)方程具有類似的數(shù)學(xué)形式。熱傳導(dǎo)方程由于溫度不均，熱量將從溫度高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象叫做熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。支配熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的定律為能量守恒定律和傅立葉定律。傅立葉定律：熱流強(qiáng)度矢量（單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱量）其中： 為導(dǎo)熱系數(shù)，由物體的材料決定；為溫度，為溫度梯度。熱傳導(dǎo)方程的建立求在任意時(shí)刻，物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度應(yīng)滿足的偏

6、微分方程。根據(jù)傅立葉定律可得在小段時(shí)間內(nèi)，通過(guò)閉合曲面流入體積內(nèi)的熱量為： 其中：，為面元沿外法線方向的單位矢量。小段時(shí)間內(nèi)，體積內(nèi)熱源釋放的熱量為： 其中為熱源強(qiáng)度（單位體積、單位時(shí)間內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量）。小段時(shí)間內(nèi)，體積內(nèi)由于溫度的變化所需的熱量為：其中：為物體比熱，為物體密度（吸收熱量的公式)根據(jù)能量守恒定律，即可得：考慮到高斯定理，令，則由上式可得：所以有：，其中：，此式即為三維熱傳導(dǎo)方程。若物體內(nèi)無(wú)熱源，即熱源強(qiáng)度，則上式可以寫為：在直角坐標(biāo)系下靜電場(chǎng)滿足的泊松（Poisson）方程已知在介電常數(shù)為的介質(zhì)中，電荷分布為（電荷體密度），求靜電場(chǎng)的靜電勢(shì)滿足的偏微分方程。靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度滿

7、足的方程： 考慮旋度方程可得：，其中為靜電勢(shì)。再考慮散度方程可得：稱為泊松（Poisson）方程。特別地，當(dāng)沒(méi)有電荷分布時(shí)，靜電場(chǎng)滿足拉普拉斯（Laplace）方程。 定解條件 初始條件: 說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)。例如：對(duì)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題，已知所研究的物理量溫度的初始分布，即：其中為已知函數(shù)。例如：對(duì)于弦的振動(dòng)問(wèn)題，由于出現(xiàn)橫向位移的二階偏導(dǎo)數(shù)，則需要兩個(gè)初始條件，即橫向位移及橫向初速度：對(duì)于描述靜電勢(shì)的泊松方程及拉普拉斯方程則沒(méi)有初始條件。注意：初始條件應(yīng)當(dāng)給出的是整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而不僅是系統(tǒng)中個(gè)別地點(diǎn)的初始狀態(tài)。例如：如圖7-3所示，一根長(zhǎng)為的兩端固定的弦，用手將它的中點(diǎn)橫向拉開距

8、離為，然后放手任其自由振動(dòng)，則寫出它的初始條件為：圖7-3， 邊界條件：描述系統(tǒng)在邊界上的物理狀態(tài)。從數(shù)學(xué)上歸納為常見的三類邊界條件：(1) 第一類邊界條件(Dirichlet)：給出了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值。例如：弦的兩端固定，其邊界條件為，(2) 第二類邊界條件(Neumann)：給出了所研究的物理量在邊界外法線方向上的方向?qū)?shù)的數(shù)值。例如：如圖7-4，考慮細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，圖7-4若細(xì)桿的某個(gè)端點(diǎn)處有熱量沿該端點(diǎn)外法線流出，則根據(jù)熱傳導(dǎo)的傅立葉定律可知其邊界條件為；若端點(diǎn)處絕熱，則有邊界條件 (3) 第三類邊界條件(Robin)：給出了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值及其外法向?qū)?shù)值之

9、間的線性關(guān)系：其中：為常數(shù)系數(shù)。例如：在細(xì)桿的導(dǎo)熱問(wèn)題中，若細(xì)桿的某個(gè)端點(diǎn)處自由冷卻，則根據(jù)熱傳導(dǎo)的傅立葉定律可得從細(xì)桿流出的熱流強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位橫截面積的熱量）和細(xì)桿與周圍媒質(zhì)溫度差之間的關(guān)系為：其中：為周圍介質(zhì)的溫度，為細(xì)桿的導(dǎo)熱系數(shù)，為細(xì)桿跟周圍媒質(zhì)的熱交換系數(shù)。邊界條件還會(huì)遇到銜接邊界條件；定解條件還有有限性條件；周期性條件。數(shù)學(xué)物理方程本身（泛定方程）和定解條件構(gòu)成的特定問(wèn)題稱為定解問(wèn)題。定解問(wèn)題常見的三種提法：(1).初值問(wèn)題：只有初始條件沒(méi)有邊界條件的定解問(wèn)題。(2).邊值問(wèn)題：只有邊界條件沒(méi)有初始條件的定解問(wèn)題(3).混合問(wèn)題：既有初始條件又有邊界條件的定解問(wèn)題例題7.

10、1 寫出均勻弦的微小橫振動(dòng)方程的定解問(wèn)題。如圖7-1，已知弦長(zhǎng)為，兩端固定，初始時(shí)刻時(shí)，在處由于受到一沖量的作用而使此處具有初速度解：均勻弦的微小橫振動(dòng)方程為： 邊界條件為：初始條件為：初始位移；初始速度所以定解問(wèn)題為：定解問(wèn)題的適定性(1).解的存在性；(2).解的唯一性；(3).解的穩(wěn)定性（如果定解條件的數(shù)值有微小的改變，解的數(shù)值也只作微小的改變）如果一個(gè)問(wèn)題的解是存在，唯一且穩(wěn)定的，則稱此問(wèn)題是適定的。 數(shù)學(xué)物理方程的基本概念和分類偏微分方程的階：一個(gè)偏微分方程所含偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。例如：熱傳導(dǎo)方程為二階偏微分方程。在偏微分方程中不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，如上式熱傳導(dǎo)方程中的稱為自由項(xiàng)，

11、自由項(xiàng)為零的偏微分方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。線性方程和非線性方程：偏微分方程對(duì)于未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都是一次方的，稱為線性方程，否則稱為非線性方程。偏微分方程的解：某個(gè)函數(shù)代入偏微分方程后，方程稱為恒等式，則此函數(shù)就是方程的一個(gè)解。通解：包含任意獨(dú)立函數(shù)的方程的解，且獨(dú)立函數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的階數(shù)特解: 不含任意獨(dú)立函數(shù)的方程的解線性二階偏微分方程的分類：許多常見的偏微分方程都是線性二階偏微分方程，按其最后能夠化成的標(biāo)準(zhǔn)形式通常分為：雙曲型方程；拋物型方程；橢圓型方程。雙曲型方程：以弦的微小橫振動(dòng)方程為代表，多見于描述彈性體的振動(dòng)、聲波、電磁波的傳播規(guī)律等。拋物型方程：以熱傳導(dǎo)方程為代

12、表，多見于描述擴(kuò)散過(guò)程（物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象叫擴(kuò)散）、熱傳導(dǎo)過(guò)程等滿足的規(guī)律。橢圓型方程：以泊松（Poisson）方程為代表。注：定解條件也有齊次和非齊次,線性和非線性之分，其定義如微分方程的齊次和非齊次，線性和非線性的定義一致。二階線性偏微分算子：二階線性偏微分算子作用在一函數(shù)上時(shí)可表示為：二階線性偏微分算子滿足：其中，為任意常數(shù)。線性二階偏微分方程的疊加原理：若是的一個(gè)解，級(jí)數(shù)收斂，并且能夠逐項(xiàng)微分兩次，其中為任意常數(shù)，則一定是方程的解。特別的，若是齊次方程的解，一定也是的解。注：如果泛定方程和定解條件都是線性的，可以把定解問(wèn)題的解看成幾個(gè)部分的線性疊加，只要這些部分

13、各自滿足的泛定方程和定解條件的線性疊加正好是原來(lái)的泛定方程和定解條件即可。2 定解問(wèn)題的分離變量法（傅里葉級(jí)數(shù)法）常系數(shù)線性二階偏微分方程可應(yīng)用分離變量法求解，相應(yīng)的邊界條件(第一類、第二類及第三類邊界條件)也為齊次的，或可化為齊次的。應(yīng)用分離變量法時(shí)，需要根據(jù)邊界條件選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系(二維)，柱坐標(biāo)系以及球坐標(biāo)系等。例1 以長(zhǎng)為，兩端固定的均勻弦的微小橫向自由振動(dòng)的定解問(wèn)題為例，闡述分離變量法的基本思路和一般步驟。泛定方程：邊界條件：初始條件：解：第一步：分離變量將分離變量形式的試探解代入齊次泛定方程和齊次邊界條件，導(dǎo)出獨(dú)立變量，滿足的常微分方程的定解問(wèn)題。注意到，為

14、獨(dú)立的自變量，則由泛定方程可得： 由上式可得兩個(gè)常微分方程： 把代入齊次邊界條件可得：第二步：求解本征值問(wèn)題：分，三種情形分別討論 當(dāng)時(shí)，可得，代入邊界條件可得，則有，不符合題意，應(yīng)舍去。 當(dāng)時(shí)，可得，代入邊界條件可得：則有，不符合題意，應(yīng)舍去。當(dāng)時(shí)，設(shè)，可得，代入邊界條件可得：此時(shí)若，則有，不合題意，所以應(yīng)當(dāng)有：則可得本征值為：與對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)為：注：分離變量過(guò)程中引入的常數(shù)只能取這種特定數(shù)值，才可以得到有意義的解。稱為本征值，相應(yīng)的解稱為本征函數(shù)。求解過(guò)程成為求本征值問(wèn)題。第三步：求解滿足的常微分方程的通解將代入方程中，則可得：其中，為待定常數(shù)。第四步：作本征解的線性疊加根據(jù)以上分析，可以

15、得到原問(wèn)題的本征解為：由于本征解滿足齊次泛定方程和齊次邊界條件，所以線性疊加后的解：仍然滿足。其中系數(shù)，由初始條件確定。第五步：由初始條件確定系數(shù)，代入初始條件可得：利用正弦函數(shù)的正交性：用乘以上式兩邊后，對(duì)從到積分，可得： 解的物理意義：看級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)：式中，上式表示一駐波，角頻率為，振幅分離變量法解題的一般步驟(1) 代入試探解，將偏微分方程的定解問(wèn)題通過(guò)分離變量轉(zhuǎn)化 為常微分方程的定解問(wèn)題。(2) 依據(jù)齊次邊界條件，確定本征值和本征函數(shù)。(3) 求解關(guān)于的常微分方程的通解，把得到的通解與本征函數(shù)相乘得到本征解，這時(shí)本征解中還包含著任意常數(shù)。(4) 利用疊加原理，求出定解問(wèn)題的解。(5)

16、應(yīng)用本征函數(shù)的正交性以及初始條件確定任意常數(shù)。下表為常見邊值問(wèn)題的本征函數(shù)：類型定解問(wèn)題中的邊界條件分離變量后的邊界條件本征函數(shù)系IIIIIIIV例2. 第三類齊次邊界條件的定解問(wèn)題為：解：第一步：分離變量，令，將其代入泛定方程可得：把代入齊次邊界條件可得：第二步：求解本征值問(wèn)題。常微分方程的定解問(wèn)題為：分，三種情形分別討論 當(dāng)時(shí)，可得，代入邊界條件可得；則有：，不符合題意，應(yīng)舍去。 當(dāng)時(shí)，可得，常數(shù)，由邊界條件確定：則有：，不符合題意，應(yīng)舍去。 當(dāng)時(shí)，令，可得：代入邊界條件可得：所以有：求解超越方程可用圖解法圖7-5如圖7-5，正切函數(shù)與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則可得解為：，有無(wú)窮多個(gè)，本征值。

17、相應(yīng)的本征函數(shù)：第三步：將本征值代入中，可得：第四步：作本征解的線性疊加根據(jù)以上分析，可以得到原問(wèn)題的本征解為：泛定方程與邊界條件均為線性和齊次的，線性疊加后的解滿足泛定方程和邊界條件，其中系數(shù)由初始條件確定。第五步：由初始條件確定系數(shù)證明的正交性如下：已知第三類邊界條件：所以可得：當(dāng)時(shí)已知第三類邊界條件，可得：已知方程的解為，代入初始條件可得：考慮的正交性可得展開系數(shù)：所以定解問(wèn)題的解為：例3. 直角坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的狄利克萊問(wèn)題，已知定解問(wèn)題為：圖7-6解：分離變量法，令，并代入拉普拉斯方程可得：把代入邊界條件可得： 所以可得兩個(gè)常微分方程的定解問(wèn)題： 定解問(wèn)題的本征值為，相應(yīng)的本征函

18、數(shù)為： 把代入定解問(wèn)題可得：則可以得到原問(wèn)題的本征解為：線性疊加后的解為：其中系數(shù)由定解問(wèn)題的邊界條件確定如下：由的正交性可求出待定系數(shù)（參考例1）：對(duì)于如下拉普拉斯方程的狄利克萊問(wèn)題的一般提法：由于泛定方程與邊界條件均為線性的，所以由疊加原理可把上述定解問(wèn)題作為如下四個(gè)定解問(wèn)題的和：原問(wèn)題的解為，顯然既滿足泛定方程又滿足邊界條件。例4. 圓域內(nèi)拉普拉斯方程的狄利克萊問(wèn)題，已知定解問(wèn)題為：圖7-7解：泛定方程：邊界條件：有限性條件：因?yàn)榘l(fā)散解在物理上沒(méi)有意義，所以定解問(wèn)題應(yīng)當(dāng)加上有限性條件周期性條件：從物理上講同一點(diǎn)的物理狀態(tài)總是相同的，在數(shù)學(xué)上即是解在同一點(diǎn)的值必須相等，可表示為周期性條件：

19、上面的泛定方程，邊界條件，有限性條件和周期性條件構(gòu)成本例的定解問(wèn)題。分離變量法，令，代入泛定方程可得：由上式，考慮有限性條件和周期性條件可得兩個(gè)常微分方程的定解問(wèn)題如下： 容易驗(yàn)證定解問(wèn)題中的本征值為，有相應(yīng)的本征解為：把特征值代入，可得：上式為歐拉型方程，求解可令，則有：代入方程可化為：把代入上式可得：考慮到的有限性條件，即可得，則有由以上討論可得本征解為：滿足有限性和周期性條件的解為：其中系數(shù)，由邊界條件確定如下：上式可看作以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開，可求出展開系數(shù)為：， 把，和的表達(dá)式代入級(jí)數(shù)解，并交換積分和求和的順序可得：已知級(jí)數(shù)，令，則有：在上式兩邊取實(shí)部可得：所以有：最后可得：

20、 用本征函數(shù)展開法求解非齊次方程齊次邊界條件和零初始條件（齊次定解條件）下的非齊次方程的定解問(wèn)題例5設(shè)有如下定解問(wèn)題則用本征函數(shù)展開法求解的步驟如下：第一步. 求解相應(yīng)齊次邊界條件的齊次方程的本征解由分離變量法（參考例1）可得本征解系第二步. 設(shè)非齊次方程的本征解為，非齊次方程的解可表示為本征解的線性疊加：第三步. 把非齊次方程中的自由項(xiàng)用本征解系展開其中展開系數(shù)由本征解的正交性求出如下第四步. 把非齊次方程的解和代入到定解問(wèn)題中的泛定方程可得：考慮到本征解的正交性，由上式可得：同理，把非齊次方程的解代入到初始條件可得：則可得關(guān)于的定解問(wèn)題：上式可由拉普拉斯變換來(lái)求解，所得的解如下：第五步. 把代入得