高等數(shù)學(xué)課件：12.1 二重積分的概念

1、第十二章第十二章 重積分重積分12.1 二重積分的概念二重積分的概念1 二重積分的概念與背景二重積分的概念與背景問題一：問題一：曲頂柱體體積的計算曲頂柱體體積的計算zyx設(shè)設(shè) z = f (x , y) 在在 D 上連續(xù)上連續(xù) , 為頂?shù)臑轫數(shù)?“ 曲頂柱體曲頂柱體 ” V 的體積的體積計算以計算以 D 為底為底 , 以曲面以曲面 z = f (x , y) ),(yxfz Dzyx),(yxfz i (1) 劃分劃分: 將曲頂柱體劃分成將曲頂柱體劃分成n 個小曲頂柱體個小曲頂柱體:n i Vi,21 則有則有 niiVV1若記若記 在在 xoy 平面上的投影區(qū)域為平面上的投影區(qū)域為 Vi i

2、 則有則有niiD1 (2) 近似近似:當(dāng)當(dāng) 充分小時充分小時 ( 此時此時 也充分小也充分小) i Vi z = f (x , y) 在在 i 上近似于不變上近似于不變 ( 即近似于常數(shù)即近似于常數(shù) ) n i V fiiii,),(21 fVV niiiinii 11 ),(3) 精確化精確化:當(dāng)當(dāng) 時時 01 )(maxinid fV niiii 10 ),(lim任取任取n i iii,),(21 問題二：問題二：變密度平面薄片的質(zhì)量計算變密度平面薄片的質(zhì)量計算設(shè)平面薄片設(shè)平面薄片 D 置于置于 xoy 平面上平面上 , 形成一有界形成一有界閉區(qū)域閉區(qū)域 , 在點在點 (x , y)

3、D 處的密度函數(shù)為處的密度函數(shù)為= (x , y) ,計算計算 D 的質(zhì)量的質(zhì)量y0 xDi (1) 劃分劃分:將將 D 劃分成劃分成 n 個子區(qū)域個子區(qū)域: n i i,21 若記若記 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 mi i 則有則有 niimm1(2) 近似近似:當(dāng)當(dāng) 充分小時充分小時 i = (x , y) 在在 i 上近似于不變上近似于不變 ( 即近似于常數(shù)即近似于常數(shù) ) n i m iiii,),(21 mm niiiinii 11 ),(任取任取n i iii,),(21 (3) 精確化精確化:當(dāng)當(dāng) 時時 01 )(maxinid m niiii 10 ),(lim定義定義: 設(shè)設(shè) z =

4、f (x , y) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上有定義上有定義 , 將將 D 任意劃分成任意劃分成 n 個除邊界外沒有公共部分的個除邊界外沒有公共部分的子區(qū)域子區(qū)域 i ( 其面積也記其面積也記 i ) ,niiD1 任取任取 , 作和式作和式n i iii,),(21 fniiii 1 ),( 積分和積分和 )記記 d (i ) 為子區(qū)域為子區(qū)域 i 的直徑的直徑 , )(maxinid 1若極限若極限 A fniiii 10 ),(lim( 其值其值 A 與劃分無關(guān)與劃分無關(guān) , 與與 (i ,i ) i 的選取無關(guān)的選取無關(guān) )則稱則稱 f (x , y) 在在 D 上上可積可積 ;

5、 極限值極限值 A 稱為稱為 f (x , y)在在 D 上的二重積分上的二重積分 , 記為記為 , 即即 Ddyx,f )( niiiiD fdyxf10 ),(lim),( f (x , y) 稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù) ; f (x , y) d 稱為稱為被積表達(dá)式被積表達(dá)式 ; x , y 稱為稱為積分變量積分變量 ; D 稱為稱為積分區(qū)域積分區(qū)域 ; d 稱為稱為 面積元素面積元素說明說明: (1) 若若 f (x , y) 在在 D 上可積上可積 , 則積分和的極限則積分和的極限 與劃分無關(guān)與劃分無關(guān) 現(xiàn)如果用一組平行與坐標(biāo)軸的直線劃分現(xiàn)如果用一組平行與坐標(biāo)軸的直線劃分 D , 則則

6、iiiyx 即即 d = dxdy niiiiD fdyxf10 ),(lim),( Ddxdyyxf),(2) DdyxfV ),( Ddyxm ),(3) 二重積分值與積分變量名稱無關(guān)二重積分值與積分變量名稱無關(guān) DDdsdttsfdxdyyxf),(),(4) 二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義: (a) 若若 f (x , y) 0 , (x , y) D , 則則 Ddxdyyxf),(表示以表示以 D 為底為底 , 曲面曲面 z = f (x , y) 為頂?shù)那敒轫數(shù)那?柱體的體積柱體的體積(b) 若若 f (x , y) 0 , (x , y) D , 則則 f (x ,

7、y) 0 , (x , y) D niiiiD fdyxfV10 ),(lim),( Dniiiidyxf f ),(),(lim10Vdyxf D ),( Ddxdyyxf),(即即 表示由表示由 D 與與 z = f (x , y) 所成所成曲頂柱體體積的負(fù)值曲頂柱體體積的負(fù)值(c) 對于一般的函數(shù)對于一般的函數(shù) f (x , y) , 表示這表示這 Ddyxf ),(些部分區(qū)域上的曲頂柱體體積的代數(shù)和些部分區(qū)域上的曲頂柱體體積的代數(shù)和 ( xoy平面上方的取正值平面上方的取正值 , xoy 平面下方的取負(fù)值平面下方的取負(fù)值 ) 2 二重積分的存在性與基本性質(zhì)二重積分的存在性與基本性質(zhì)定理

8、定理 ( 二重積分的存在性二重積分的存在性 )若若 z = f (x , y) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)上連續(xù) , 則則 f (x , y) 在在 D 上可積上可積二重積分的基本性質(zhì)二重積分的基本性質(zhì)(1) 線性運算性質(zhì)線性運算性質(zhì)設(shè)設(shè) f , g 在在 D 上可積上可積 , 則對任意實數(shù)則對任意實數(shù) k1 , k2 ,k1 f + k2 g 在在 D 上也可積上也可積 , 且且 DDDd gkd fkdgkfk 2121)( 設(shè)設(shè) f 在在 D1 , D2 上可積上可積 ( D1 , D2 除邊界外無除邊界外無公共部分公共部分 ) , 則則 f 在在 D = D1 D2 上可積上

9、可積 , 且且 21DDDd fd fd f (2) 區(qū)域可加性區(qū)域可加性 (3) 保序性保序性 設(shè)設(shè) f 在在 D 上可積上可積 , 且且 f (x , y) g (x , y) , (x , y) D , 則則 DDd yxgd yxf ),(),(特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(Dyxfd),(4) 估值定理估值定理 設(shè)設(shè) f 在在 D 上可積上可積 , 且且 m f (x , y) M , (x , y) D , 則則DMd f DmD (5) 中值定理中值定理 設(shè)設(shè) f 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)上連續(xù) , 則存在則存在( , ) D 使使D

10、fd yxfD),(),( 證明證明 由由 f 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)上連續(xù) , 根據(jù)最值定理根據(jù)最值定理存在存在 ( 1 , 1 ) D , ( 2 , 2 ) D 使使myxffDyx ),(min),(),(11 MyxffDyx ),(max),(),(22 Dyx Myxfm ),(,),(DMd f Dm D Md fDm D 1存在存在 ( , ) D 使使 Dd yxfDf ),(),(1Dfd yxf D),(),( 例例估計積分估計積分 的值的值 , 其中其中 Dd yx )(9422422 yx D:解解先求先求 在在 D 上的最值上的最值9422 yxyx

11、f),(02 xyxfx),(04 yyxfy),( 穩(wěn)定點穩(wěn)定點 : (0 , 0) , 且且 f (0 , 0) = 9在在 上上 , 422 yx D:23132 y , yyxf),(2513 ),(yxf 9 ),(min),(yxfmDyx25 ),(max),(yxfM Dyx又又 , 所以所以 4 D 100943622 Dd yx)(解解0 Dd f 例例 設(shè)設(shè) f 在區(qū)域在區(qū)域 D 上連續(xù)上連續(xù) , 且在且在 D 的任一子區(qū)域的任一子區(qū)域 D* 上有上有 , 證明證明: 在在 D 上上 f 0 反證法反證法 假設(shè)在假設(shè)在D 上上 f 0 , 則存在則存在 P0 = (x0

12、, y0) D 使使 000 ),(yxf( 不妨設(shè)不妨設(shè) )000 ),(yxf由于由于 f 在在 P0 處連續(xù)處連續(xù) , 200),(yxf 對于對于 , 20000),(),(),(yxfyxfyxf 存在存在 , 使當(dāng)使當(dāng) , 有有 DPN ),( 0),(),( 0PNyx 0200 ),(),(yxfyxf ),(),( 0PNyx 取取 , 則有則有 ),( 0PND 0 Dd f 矛盾矛盾所以結(jié)論成立所以結(jié)論成立例例. 比較下列積分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 積分域 D 的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2

13、(22yx它與 x 軸交于點 (1,0) ,.1相切與直線 yx而域 D 位, 1 yx從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方, 故在 D 上 1y2xo1D例例. 判斷積分yxyxyxdd1432222的正負(fù)號.解解: 分積分域為,321DDD則原式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜想結(jié)果為負(fù) 但不好估計 .舍去此項220yx 0)ln(22 yx例例. 判斷的正負(fù).)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx當(dāng)時，故0)ln(22 yx又當(dāng)時，1 yx于是2)(yx 10dd)ln(122yxyxyx1111xyoD例例. 估計下列積分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解