第1章 1.1.1　空間向量及其運(yùn)算高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)講義

1、1 / 14 1.1 空間向量及其運(yùn)算 1.1.1 空間向量及其運(yùn)算 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念(重點(diǎn)) 2會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，掌握數(shù)乘向量運(yùn)算的意義及運(yùn)算律(重點(diǎn)、易混點(diǎn)) 3掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及運(yùn)算律(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)) 1通過(guò)空間向量有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng) 2借助于空間向量的線性運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng) 3借助于空間向量的數(shù)量積，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 國(guó)慶節(jié)期間，某游客從上海世博園(o)游覽結(jié)束后乘車到外灘(a)觀賞黃浦江，然后抵達(dá)東方明珠(b)游玩，如圖 1

2、，游客的實(shí)際位移是什么？可以用什么數(shù)學(xué)概念來(lái)表示這個(gè)過(guò)程？如果游客還要登上東方明珠頂端(d)俯瞰上海美麗的夜景，如圖 2，那實(shí)際發(fā)生的位移是什么？又如何表示呢？ 圖 1 圖 2 1空間向量 2 / 14 (1)定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量 (2)模(或長(zhǎng)度)：向量的大小 (3)表示方法： 幾何表示法：可以用有向線段來(lái)直觀的表示向量，如始點(diǎn)為 a 終點(diǎn)為 b的向量，記為ab，模為|ab| 字母表示法：可以用字母 a，b，c，表示，模為|a|，|b|，|c|， 2幾類特殊的向量 (1)零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量，記作 0 (2)單位向量：模等于 1 的向量稱為單位向量

3、(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量 (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量稱為相反向量 (5)平行向量：方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量互相平行，此時(shí)表示這兩個(gè)非零向量的有向線段所在的直線平行或重合通常規(guī)定零向量與任意向量平行 (6)共面向量：一般地，空間中的多個(gè)向量，如果表示它們的有向線段通過(guò)平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面 思考：空間中任意兩個(gè)向量共面嗎？空間中任意三個(gè)向量呢？ 提示 空間中任意兩個(gè)向量都是共面的，但空間中任意三個(gè)向量不一定共面 3空間向量的線性運(yùn)算 類似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算 圖 1 圖 2 (1)如圖 1，oboa

4、abab，caoaocab (2)如圖 2，dadcdd1db1 3 / 14 即三個(gè)不共面向量的和，等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量 (3)給定一個(gè)實(shí)數(shù) 與任意一個(gè)空間向量 a，則實(shí)數(shù) 與空間向量 a 相乘的運(yùn)算稱為數(shù)乘向量，記作 a其中： 當(dāng) 0 且 a0 時(shí)，a 的模為|a|，而且 a 的方向： ()當(dāng) 0時(shí)，與 a 的方向相同； ()當(dāng) 0時(shí)，與 a 的方向相反 當(dāng) 0 或 a0 時(shí)，a0 (4)空間向量的線性運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律： 對(duì)于實(shí)數(shù) 與 ，向量 a 與 b，有aa()a；(ab)ab 4空間向量的數(shù)量積 (1)空間向量的夾角 如果

5、a，b2，那么向量 a，b 互相垂直，記作 ab (2)空間向量數(shù)量積的定義： 已知兩個(gè)非零向量 a，b，則|a|b|cosa，b叫做 a，b 的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作 a b (3)數(shù)量積的幾何意義 向量的投影 如圖所示， 過(guò)向量 a 的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別向 b 所在的直線作垂線，即可得到向量 a 在向量 b 上的投影 a. 4 / 14 數(shù)量積的幾何意義： a 與 b 的數(shù)量積等于 a 在 b 上的投影 a的數(shù)量與 b的長(zhǎng)度的乘積，特別地，a 與單位向量 e 的數(shù)量積等于 a 在 e 上的投影 a的數(shù)量規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為 0. (4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： aba b0； a a|

6、a|2a2； |a b|a|b|； (a) b(a b)； a bb a(交換律)； (ab) ca cb c(分配律) 1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小 ( ) (2)兩個(gè)相反向量的和為零向量 ( ) (3)只有零向量的模等于 0 ( ) (4)空間中任意兩個(gè)單位向量必相等 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 提示 大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的兩個(gè)向量稱為相反向量；任意兩個(gè)單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等 2下列命題中正確的是( ) a(a b)2a2 b2 b|a b

7、|a|b| c(a b) ca (b c) d若 a(bc)，則 a ba c0 b 對(duì)于 a項(xiàng)，左邊|a|2|b|2cos2a，b，右邊|a|2|b|2， 5 / 14 左邊右邊，故 a錯(cuò)誤 對(duì)于 c 項(xiàng)，數(shù)量積不滿足結(jié)合律，c 錯(cuò)誤 在 d 中，a (bc)0，a ba c0，a ba c，但 a b 與 a c 不一定等于零，故 d錯(cuò)誤 對(duì)于 b 項(xiàng)，a b|a|b|cosa，b，1cosa，b1， |a b|a|b|，故 b 正確 3(教材 p11練習(xí) a改編)化簡(jiǎn)： (1)12(a2b3c)523a12b23c _； (2)(abcd)(acbd)_ (1)236a32b116c (

8、2)0 (1)原式12ab32c103a52b103c236a32b116c (2)原式abaccdbd cbbdcd cdcd 0 4如圖所示，在正方體 abcd- a1b1c1d1中，則 (1)ab，a1c1_； (2)ab，c1a1_； (3)ab，a1d1_ (1)45 (2)135 (3)90 (1)因?yàn)閍1c1ac，所以ab，a1c1ab，ac 6 / 14 又cab45 ，所以ab，a1c145 (2)ab，c1a1180 ab，a1c1135 (3)ab，a1d190 空間向量的概念及簡(jiǎn)單應(yīng)用 【例 1】 (1)下列說(shuō)法中正確的是 ( ) a若|a|b|，則 a，b 的長(zhǎng)度相同

9、，方向相同或相反 b若向量 a 是向量 b的相反向量，則|a|b| c空間向量的減法滿足結(jié)合律 d在四邊形 abcd中，一定有abadac b |a|b|，說(shuō)明 a 與 b 模長(zhǎng)相等，但方向不確定對(duì)于 a 的相反向量 ba，故|a|b|，從而 b 正確只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律；一般的四邊形不具有abadac，只有平行四邊形才能成立故 a、c、d 均不正確 (2)如圖所示，以長(zhǎng)方體 abcd- a1b1c1d1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中： 試寫出與ab是相等向量的所有向量； 試寫出aa1的相反向量； 若 abad2，aa11，求向量ac1的模 解 與向量ab是相等向量的(

10、除它自身之外)有a1b1，dc及d1c1，共 3個(gè) 向量aa1的相反向量為a1a，b1b，c1c，d1d 7 / 14 |ac1|ab|2|ad|2|aa1|2 222212 93 1兩個(gè)向量的模相等，則它們的長(zhǎng)度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量(非零向量)的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件 2熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運(yùn)算法則及向量加法的運(yùn)算律是解決好這類問(wèn)題的關(guān)鍵 跟進(jìn)訓(xùn)練 1給出以下結(jié)論： 兩個(gè)空間向量相等，則它們的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同； 在正方體 abcd- a1b1c1d1中，必有aca1c1； 若空間向量 m，n，p 滿足 mn，np，則 mp其中不正確的個(gè)數(shù)是(

11、) a0 b1 c2 d3 b 兩個(gè)空間向量相等，它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)不一定相同，故不正確；在正方體 abcd- a1b1c1d1中，必有aca1c1成立，故正確；顯然正確故選b 2在平行六面體 abcd- a1b1c1d1中，下列四對(duì)向量：ab與c1d1；ac1與bd1；ad1與c1b；a1d與b1c其中互為相反向量的有 n 對(duì)，則 n等于( ) a1 b2 c3 d4 8 / 14 b 對(duì)于ab與c1d1，ad1與c1b長(zhǎng)度相等，方向相反，互為相反向量；對(duì)于ac1與bd1長(zhǎng)度相等，方向不相反；對(duì)于a1d與b1c長(zhǎng)度相等，方向相同故互為相反向量的有 2對(duì) 空間向量的線性運(yùn)算 【例 2】 (1)如

12、圖所示，在三棱柱 abc- a1b1c1中，n 是 a1b的中點(diǎn)，若caa，cbb，cc1c，則cn( ) a12(abc) b12(abc) cab12c da12(bc) (2)如圖，已知長(zhǎng)方體 abcd- abcd，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量 aacb； aaabbc (1)b 若 ab中點(diǎn)為 d，cncddn12(abc)，故選 b 9 / 14 (2)解 aacbaadaaaadad aaabbc(aaab)bcabbcac 向量ad、ac如圖所示： 1首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即a1a2a2a3a3a4an1ana

13、1an 2首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為 0如圖，obbccddeeffgghho0 跟進(jìn)訓(xùn)練 3如圖所示，在平行六面體 abcd- a1b1c1d1中，設(shè)aa1a，abb，adc，m，n，p 分別是 aa1，bc，c1d1的中點(diǎn)，試用 a，b，c 表示以下各向量： 10 / 14 (1)ap；(2)a1n；(3)mpnc1 解 (1)p是 c1d1的中點(diǎn)， apaa1a1d1d1paad12d1c1ac12abac12b (2)n 是 bc 的中點(diǎn)， a1na1aabbnab12bcab12adab12c (3)m是 aa1的中點(diǎn)， mpmaap12a1aap 12a

14、ac12b 12a12bc 又nc1nccc112bcaa1 12adaa112ca， mpnc112a12bc a12c 32a12b32c 數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用 探究問(wèn)題 1空間兩個(gè)向量夾角定義的要點(diǎn)是什么？ 提示 (1)任意兩個(gè)空間向量都是共面的，故空間向量夾角的定義與平面向量夾角的定義一樣 (2)作空間兩個(gè)向量夾角時(shí)要把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起 (3)兩個(gè)空間向量的夾角是唯一的，且a，bb，a 2聯(lián)想空間向量數(shù)量積的定義，如何求兩個(gè)向量 a，b 的夾角？如何求|ab|? 提示 借助 cosa，ba b|a| |b|，求向量 a，b 的夾角借助|ab|(ab)2 a22a bb2求模 【例

15、3】 如圖所示，已知正四面體 oabc 的棱長(zhǎng)為 1，點(diǎn) e，f 分別是11 / 14 oa，oc 的中點(diǎn)求下列向量的數(shù)量積： (1)oa ob； (2)ef cb； (3)(oaob) (cacb) 思路探究 根據(jù)數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算，求出每組向量中每個(gè)向量的模以及兩向量的夾角，注意充分結(jié)合正四面體的特征 解 (1)正四面體的棱長(zhǎng)為 1，則|oa|ob|1oab 為等邊三角形，aob60 ，于是： oa ob|oa|ob|cosoa，ob |oa|ob|cosaob11cos 60 12 (2)由于 e，f分別是 oa，oc 的中點(diǎn)， 所以 ef12ac， 于是ef cb|ef|cb|cos

16、ef，cb 12|ca| |cb|cosac，cb 1211cosac，cb 1211cos 120 14 (3)(oaob) (cacb) (oaob) (oaocoboc) (oaob) (oaob2oc) oa2oa ob2oa ocob oaob22ob oc 12 / 14 1122121212121 1(變條件，變結(jié)論)若 h為 bc 的中點(diǎn)，其他條件不變，求 eh 的長(zhǎng) 解 由題意知oh 12(oboc)，oe12oa， ehohoe 12(obocoa)， |eh|214(ob2oc2oa22ob oc2ob oa2oc oa)， 又|ob|oc|oa|1且ob，oc60 ，o

17、b，oa60 ，oc，oa60 ob oc12，ob oa12，oc oa12 |eh|21411121221221212， 即|eh|22，所以 eh的長(zhǎng)為22 2(變結(jié)論)求異面直線 oh與 be所成角的余弦值 解 在aob 及boc 中，易知 beoh32， 又be12oaob，oh12(oboc)， be oh14oa ob14oa oc12ob212ob oc 1412141212121212 13 / 14 cosbe，ohbe oh|be|oh|23， 又異面直線所成角的范圍為0，2，故異面直線 oh 與 be 所成角的余弦值為23 1在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟 (1)首

18、先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式； (2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積； (3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模； (4)代入公式 a b|a| |b| cosa，b求解 2非零向量 a 與 b 共線的條件是 a b |a| |b| 提醒：在求兩個(gè)向量夾角時(shí)，要注意向量的方向如本例中ef，cbac，cb120 ，易錯(cuò)寫成 60 ，為避免出錯(cuò)，應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算 一、知識(shí)必備 1空間向量的基本概念，特別注意單位向量和零向量單位向量的長(zhǎng)度為1，方向任意零向量的方向是任意的，與任意向量平行，零向量與任意向量的數(shù)量積為 0 2向量的線性運(yùn)算包括向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算加減法運(yùn)算遵循平行四邊形法則和三角形法則，向量的數(shù)量積運(yùn)算要注意兩個(gè)向量的夾角 二、方法必備 1數(shù)形結(jié)合法：求兩向量夾角時(shí)，一定要結(jié)合圖形確定角的位置 2轉(zhuǎn)化法：在求異面直線所成的角時(shí)要轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的夾角，結(jié)合異面直線所成角的范圍確定 14 / 14 1在正方體 abcd- a1b1c1d1中，下列各對(duì)向量夾角為 45 的是( ) aab與a1c1 bab與ca cab與a1d1 dab與b1a1 a a、b、c、d 四個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)向量