復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法

1、復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法一：有限電阻網(wǎng)絡(luò)原則上講解決復(fù)雜電路的一般方法，使用基爾霍夫方程組即可。它包含的兩類方程出自于兩個(gè)自然的結(jié)論：（ 1）對(duì)電路中任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)，流出的電流之和等于流入的電流之和。電路中任何一個(gè)閉合回路，都符合閉合電歐姆定律。下面我介紹幾種常用的其它的方法。1：對(duì)稱性簡(jiǎn)化所謂的對(duì)稱性簡(jiǎn)化，就是利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中可能存在的對(duì)稱性簡(jiǎn)化等效電阻的計(jì)算。它的效果是使計(jì)算得以簡(jiǎn)化，計(jì)算最后結(jié)果必須根據(jù)電阻的串、并聯(lián)公式；電流分布法；極限法等來(lái)完成。在一個(gè)復(fù)雜的電路中，如果能找到一些完全對(duì)稱的點(diǎn)，那么當(dāng)在這個(gè)電路兩端加上電壓時(shí)，這些點(diǎn)的電勢(shì)一定是相等的，即使用導(dǎo)線把這些點(diǎn)連接起來(lái)也不會(huì)有電流（

2、或把連接這些點(diǎn)的導(dǎo)線去掉也不會(huì)對(duì)電路構(gòu)成影響），充分的利用這一點(diǎn)我們就可以使電路大為簡(jiǎn)化。例（ 1）如圖 1 所示的四面體框架由電阻都為R 的 6 根電阻絲連接而成，求兩頂點(diǎn)A、 B 間的等效電阻。DC圖 2圖 1分析 :假設(shè)在 A 、 B 兩點(diǎn)之間加上電壓，并且電流從A 電流入、 B 點(diǎn)流處。因?yàn)閷?duì)稱性，圖中CD 兩點(diǎn)等CCD 間的電阻實(shí)際上不起作用，可以拆去。原網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)單電勢(shì)，或者說(shuō) C、D 間的電壓為零。因此，的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，使問(wèn)題迎刃而解。ABA解： 根據(jù)以上分析原網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)化成如圖2 所示的簡(jiǎn)單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，由串、并聯(lián)規(guī)律得BRAB =R/2D例（ 2）三個(gè)相同的金屬圈兩兩正交地連

3、成如圖所示的形狀，若每一個(gè)金屬圈的原長(zhǎng)電阻為R，試求圖中A 、 B 兩點(diǎn)之間的等效電阻。rAArr圖 3圖 4rr / 2圖 5r / 2r / 2Ar / 2AB 的電流流入、流出方式上具有上下對(duì)稱性，因此可上分析 ：從圖 3 中可以看出，整個(gè)電阻網(wǎng)絡(luò)相對(duì)于BABBr / 2Ar / 24A 點(diǎn)流到 O電流與從 O點(diǎn)到 B下壓縮成如圖所時(shí)的等效減化網(wǎng)絡(luò)。從如圖所示的網(wǎng)絡(luò)中可以看出，從O電流必相同；從1點(diǎn)流到r / 2點(diǎn)到r1r / 2O 點(diǎn)斷開，等效成如圖 5 所示AO 電流與從 OB電流必相同。據(jù)此可以將rrr的簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)，使問(wèn)題得以求解。BB解：根據(jù)以上分析求得RAB =5R/48例（ 3

4、）如圖 6 所示的立方體型電路，每條邊的電阻都是R。求 A 、 G 之間的電阻是多少？分析 : 假設(shè)在 A 、 G 兩點(diǎn)之間加上電壓時(shí)，顯然由于對(duì)稱性D、 B、 E 的電勢(shì)是相等的，C、F、H 的電勢(shì)也是相等的，把這些點(diǎn)各自連起來(lái)，原電路就變成了如圖7 所示的簡(jiǎn)單電路。DCABBC解 :由簡(jiǎn)化電路，根據(jù)串、并聯(lián)規(guī)律解得RAG =5R/6（同學(xué)們想一想，若求A 、 F 或 A 、 E 之間的電阻又應(yīng)當(dāng)如何簡(jiǎn)化？）FGADG例（ 4）在如圖R，試求RAB 。8 所示的網(wǎng)格形網(wǎng)絡(luò)中，每一小段電阻均為A 、B 之間的等效電阻H45EF3H D圖8圖6D4圖E95R / 23D圖7O圖 10B20圖 1

5、1BR / 4R / 229 所示的等效網(wǎng)絡(luò)。而后根據(jù)等電分析 :由于網(wǎng)絡(luò)具有相對(duì)于過(guò)A 、 B對(duì)角線的對(duì)稱性，可以折疊成如圖R / 4R / 2OB勢(shì)點(diǎn)之間可以拆開也可以合并的思想簡(jiǎn)化電路即可。1AOB1AA解法 (a) ：簡(jiǎn)化為如圖9 所示的網(wǎng)絡(luò)以后， 將 3、O兩個(gè)等勢(shì)點(diǎn)短接， 在去掉斜角部位不起作用的兩段電阻，R / 2R / 210 所示的簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)。最后不難算得使之等效變換為如圖CCCARAO=ROB=5R/14R / 2RAB = RAO +ROB=5R/7解法 (b)：簡(jiǎn)化為如圖所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將圖中的O 點(diǎn)上下斷開，如圖11 所示，最后不難算得.RAB =5R/72：電流分布法

6、設(shè)定電流I 從網(wǎng)絡(luò) A 電流入， B 電流出。應(yīng)用電流分流思想和網(wǎng)絡(luò)中任意兩點(diǎn)之間不同路徑等電壓的思想，建立以網(wǎng)絡(luò)中的各電阻的電流為未知量的方程組，解出各電流I 的比例關(guān)系，然后選取A到B的某一路經(jīng)計(jì)算 A 、B 間的電壓，再由RAB =UAB /I AB 即可算出 RAB例： 有如圖 12 所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，求A 、 B 之間的電阻 RAB分析 ：要求 A 、 B 之間的電阻RAB 按照電流分布法的思想，只要設(shè)上電流以后，求得A 、B 間的電壓即可。OI 12 R圖12RI 4解：設(shè)電流由 A 流入， B 流出，各支路上的電流如圖所示。根據(jù)分流思想可得I 3RI 2=I-I 1A I 2R2R

7、I5BI 3=I 2-I 1=I-2I 1CA 、 O 間的電壓，不論是從 AO 看，還是從 ACO 看，都應(yīng)該是一樣的，因此 I 1(2R)=(I-I 1)R+(I-2I 1)R解得 I1=2I/5取 AOB 路徑，可得AB 間的電壓AUAB =I 1 *2R+I 4*R根據(jù)對(duì)稱性I 4=I 2=I-I 1=3I/5所以 U AB =2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5 BRAB =U AB /I=7R/5這種電流分布法事實(shí)上已經(jīng)引進(jìn)了基爾霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。3： Y變換復(fù)雜電路經(jīng)過(guò) Y變換，可以變成簡(jiǎn)單電路。如圖13 和 14 所示分別為網(wǎng)絡(luò)和 Y 網(wǎng)絡(luò)，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中得

8、6 個(gè)電阻滿足怎樣的關(guān)系才能使這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)完全等效呢?所謂完全等效，就是要求ARABBabUab=Uab,Ubc=U bc,U ca=UcaI AI BI aI bI a=I A, Ib=I B,I c=I CRaRb在 Y 網(wǎng)絡(luò)中有RCARBCRcI aRa-I bRb=U abI cRc-I aRa=U caI CI ccI a+I b+I c=0C圖 13圖 14解得 Ia=RcU ab/(R aRb+RbRc+RcRa)+ R bUca/(RaRb+RbRc+RcRa)在網(wǎng)絡(luò)中有IAB =U AB /RABICA=U CA/RCAIA=I AB -ICA解得 IA = （U AB /RA

9、B ）-（ U CA/RCA ）因?yàn)橐驣 a=I A ，所以RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbU ca/(RaRb+RbRc+R cRa)= （ UAB /RAB ） -（ U CA /RCA ）又因?yàn)橐?U ab= U AB ， Uca= U CA所以要求上示中對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，即RAB =(R aRb+RbRc+RcRa)/ R c -（ 1）RCA =(RaRb+RbRc+RcRa)/ R b-（ 2）用類似的方法可以解得.RBC =(R aRb+R bRc+RcRa)/ R a-(3)(1) 、（ 2）、（ 3）三式是將 Y 網(wǎng)絡(luò)變換到 網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。在(1)

10、、（ 2）、（ 3）三式中將 RAB 、RBC 、 RCA 作為已知量解出Ra=RAB *R CA /(R AB +RBC +RCA )- （ 4）Rb=R AB *R BC /(R AB +RBC +RCA )- （ 5）Rc=RBC *R CA /(R AB +RBC +R CA )- （ 6）(4) 、（ 5）、（ 6）三式是將網(wǎng)絡(luò)變換到 Y 網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。例（ 1）求如圖 15 所示雙 T 橋網(wǎng)絡(luò)的等效電阻 RAB 。11Ra、 Rb、 Rc 即可得到52圖 15圖 16A8AT 橋網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)小的Y 網(wǎng)絡(luò)元變換成兩個(gè)小的網(wǎng)分析 ：此題無(wú)法直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解，需要將雙224412

11、22絡(luò)元，再直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解即可。55B16 所示的網(wǎng)絡(luò)，由此可以算得解 :原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖BRAB =118/93 例（ 2）有 7 個(gè)電阻同為 R 的網(wǎng)絡(luò)如圖17 所示，試求 A 、 B 間的等效電阻 RAB 。B5R5BR圖 17218 所示5R圖 18解： 將 Y 網(wǎng)絡(luò) O-ABC 變換成 網(wǎng)絡(luò)如圖2 R其中 RAB =(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc=5RARCARBC =(R aRb+RbRc+RcRa)/ R a=5R/2BRCA =(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rb=5RI 3I 4這樣就是一個(gè)簡(jiǎn)單電路了，很容易算得R3R4RAB =7R/5A4：電橋平衡法

12、G圖 19C如圖 19 所示的電路稱為惠斯通電橋，圖中R1 、R2、R3I、1I 2R4 分別叫電橋的臂， G 是靈敏電流計(jì)。當(dāng)電橋平R1R2衡（即靈敏電流計(jì)的示數(shù)為零）的時(shí)候，我們稱之為電橋平衡。這時(shí)有I1=I 2, I3=I 4, I1RI=I 3R3 , I2R2=I 4R4D有這些關(guān)系可以得到R1/R2 =R3/R 4上式稱之為電橋平衡條件，利用此式簡(jiǎn)化對(duì)稱性不明顯的電路，十分方便。例 :有 n 個(gè)接線柱，任意兩個(gè)接線柱之間都接有一個(gè)電阻R 求任意兩個(gè)接線柱之間的電阻。E圖 20分析 ：粗看本題根本無(wú)法求解，但是能充分利用電橋平衡的知識(shí)，則能十分方便得求解。解：如圖 20 所示， 設(shè)想

13、本題求兩接線柱 D A 、B 之間的等效電阻，根據(jù)對(duì)稱性易知，其余的接線柱CDE-中，任意兩個(gè)接線柱之間的電阻無(wú)電流通過(guò)，故這些電阻都可以刪除，這樣電路簡(jiǎn)化為 :A 、B 之間連有電阻 R，其余（ n-2）個(gè)接線柱之間僅有電阻分別與A 、 B 兩點(diǎn)相連，它們之間沒(méi)有電阻相連。即1/R AB =1/R+1/2R/(n-2)C所以ARAB =2R/nB二：無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò)無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò)分為線型無(wú)限網(wǎng)絡(luò)和面型無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，下面我們就這兩個(gè)方面展開討論1：線型無(wú)限網(wǎng)絡(luò)所謂“線型”就是一字排開的無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，既然研究對(duì)象是無(wú)限的，就可以利用“無(wú)限”這個(gè)條件，再結(jié)合我們以上講的求電阻的方法就可以解決這類問(wèn)題。例（ 1）

14、如圖所示的電路是一個(gè)單邊的線型無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)電阻的阻值都是R，求 A 、 B 之間的等效電阻CA.BRAB .圖 21解：因?yàn)槭?“無(wú)限” 的，所以去掉一個(gè)單元或增加一個(gè)單元不影響等效電阻即RAB 應(yīng)該等于從 CD 往右看的電阻 RCDRAB =2R+R*R CD/(R+R CD)=RCD整理得RCD2-2RR CD -2R2=0解得： RCD =（ 1+31/2）R= R AB例（ 2）一兩端無(wú)窮的電路如圖22 所示，其中每個(gè)電阻均為r 求 a、 b 兩點(diǎn)之間的電阻。ababr圖 22圖 23R xR x解： 此電路屬于兩端無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)，整個(gè)電路可以看作是由三個(gè)部分組成的，如圖所示，則Rab=(

15、2R x+r)r/(2R x+2r)rabab即是無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)，bb1 之間的電阻仍為Rx則Rx=（31/2 -1）r1/2） *r/6代入上式中解得Rab=（ 6-3例（ 3）電阻絲無(wú)限網(wǎng)絡(luò)如圖24 所示，每一段金屬絲的電阻均為r，求 A 、B 之間的等效電阻RAB .rrA圖 24rrAD2F2圖 25圖 26222rr各點(diǎn)3等勢(shì)，3故可以刪去這根電阻絲，這樣原網(wǎng)絡(luò)解 :根據(jù)對(duì)稱性可知，網(wǎng)絡(luò)中背面那根無(wú)限長(zhǎng)的電阻絲中rrr等效為如圖333CrEr26 所示的網(wǎng)絡(luò)，25 所示的網(wǎng)絡(luò)。又因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)相對(duì)AB 連線具有左右對(duì)稱性， 故可以折疊成如圖rBrB22再利用例（ 1）的方法可得RCD =REF=

16、Rx即 Rx=r/2+r/2+(R x *r/3)/(R x +r/3) 解得： Rx=(3+211/2 )r/6RAB =(2r*R x/3)/(2r/3+R x )=2(21) 1/2r/212：面型無(wú)限網(wǎng)絡(luò)解線性無(wú)限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)性，而解面型無(wú)限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用四個(gè)方向的對(duì)稱性。例（ 1）如圖 27 所示是一個(gè)無(wú)窮方格電阻絲網(wǎng)絡(luò)的一部分，其中每一小段電阻絲的阻值都是R 求相鄰的兩個(gè)結(jié)點(diǎn) A 、 B 之間的等效電阻。分析 ：假設(shè)電流 I 從 A 點(diǎn)流入，向四面八方流到無(wú)窮遠(yuǎn)處，根據(jù)對(duì)稱性，有I/4 電流由 A 點(diǎn)流到ABB 點(diǎn)。假設(shè)電流 I 經(jīng)過(guò)無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定后再由四面八方匯集到 B 點(diǎn)后流出，根據(jù)對(duì)稱性，同樣有I/4電流經(jīng) A 點(diǎn)流到 B 點(diǎn)。圖 27解:從以上分析看出，AB 段的電流便由兩個(gè)I/4 疊加而成，為I/2 因此UAB =(I/2)*rA 、 B 之間的等效電阻RAB =U AB /I=r/2例（ 2）有一無(wú)限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六邊型網(wǎng)眼組成，如圖28 所示。所有正六邊型每邊的電阻均為 R0，求間位結(jié)點(diǎn)a、b 間的電阻。分析