高中數(shù)學(xué)必修二專題強化練7空間角和距離 (2)

1、1 / 13 專題強化練 7 空間角和距離 一、選擇題 1.(2020 四川資陽高二上期末,)一個正方體的平面展開圖如圖所示,在該正方體中,給出如下 3 個命題: afcg;ag與 mn 是異面直線且夾角為 60 ;bg與平面abcd所成的角為 45 .其中真命題的個數(shù)是( ) a.0 b.1 c.2 d.3 2.(2020 四川成都七中高三二模,)如圖所示,三棱錐 p-abc的底面abc是等腰直角三角形,acb=90 ,且 pa=pb=ab=2,pc=3,則點c到平面 pab的距離等于( ) a.13 b.63 c.33 d.23 3.(2020 湖南長沙明德中學(xué)高一上月考,)在正方體 ab

2、cd-a1b1c1d1中,e 是棱 cc1的中點,f 是側(cè)面 bcc1b1內(nèi)的動點,且 a1f平面 d1ae,則 a1f與平面 bcc1b1所成角的正切值 t 構(gòu)成的集合是( ) 2 / 13 a.|255 t 23 b.|255 t 2 c.t|2t23 d.t|2t22 4.(多選)(2020 海南海口高三模擬,)如圖,在直三棱柱 abc-a1b1c1中,aa1=ac=23ab=2,abac,d,e 分別是線段 bc,b1c上的動點(不含端點),且1c=.則下列說法正確的是( ) a.ed平面 acc1 b.該三棱柱的外接球的表面積為 68 c.異面直線 b1c與 aa1所成角的正切值為3

3、2 d.二面角 a-ec-d的余弦值為413 二、填空題 5.(2020 浙江杭州學(xué)軍中學(xué)高二上期中,)如圖,已知三棱錐 a-bcd的所有棱長均相等,點 e 滿足 =3 ,點 p在棱 ab上運動,設(shè) ep與平面 bcd所成的角為 ,則 sin 的最大值為 . 3 / 13 6.(2020 浙江寧波九校高二上期末聯(lián)考,)邊長為 2 的等邊abc和直角abc1所在半平面構(gòu)成 60 的二面角,當ac1b=90 ,c1ab=30 時,線段 cc1的長度為 . 三、解答題 7.(2020 黑龍江哈爾濱三中高三上期末,)如圖,直三棱柱 abc-a1b1c1中,bac=90 ,ab=ac,d、e 分別為 a

4、a1、b1c的中點. (1)證明:de平面 bcc1b1; (2)若 ab=2,直線 b1b與直線 cd 所成的角為 45 ,求點 b到平面b1cd的距離. 4 / 13 8.(2020 福建寧德高三上期末,)如圖,平面 abcd平面 ebc,四邊形 abcd 為矩形,ab=1,ebc=3,且 m、n 分別為 ab、ce 的中點. (1)證明:mn平面 aed; (2)若 bc=be=2,求二面角 e-ad-b的大小. 9.(2020 天津?qū)嶒炛袑W(xué)高一上期末,)如圖,在四棱錐 p-abcd中,ad平面 pdc,adbc,pdpb,ad=1,bc=3,cd=4,pd=2, (1)求證:pd平面

5、pbc; (2)求直線 ab與平面 pbc所成角的正弦值. 5 / 13 10.(2020 湖北武漢武昌高二月考,)如圖,直三棱柱 abc-a1b1c1中,底面是邊長為 2 的正三角形,側(cè)棱長為 a,e為 ab的中點. (1)若 a=1,證明 b1e平面 a1ec; (2)若 a=2,求直線 b1e 與平面 a1ec所成角的正弦值. 答案全解全析答案全解全析 一、選擇題 1.c 將平面展開圖還原成正方體,如圖所示: 6 / 13 對于,連接 mb,易知 mbcg,mbaf,afcg,正確; 對于,連接 ac,易知 mnac,gac 是異面直線 ag與 mn所成的角, 易知gac 為等邊三角形,

6、gac=60 ,正確; 對于,連接 bd,易知gbd為 bg與平面 abcd所成的角,gbd45 ,錯誤. 故選 c. 2.c 取 ab 的中點 g,連接 pg、cg,作 chpg,垂足為 h,如圖所示, pa=pb=ab=2, pab 為等邊三角形. g為 ab 的中點,pgab, abc 為等腰直角三角形,acb=90 ,cgab, 又 pgcg=g, ab平面 pcg, 又 ch平面 pcg,abch. 又 chpg,pgab=g,ch平面 pab, 即 ch就是點 c 到平面 pab 的距離. 在等邊三角形 pab 中,pg=32 2=62, 在 rtabc 中,cg=112=22,

7、7 / 13 在pcg中,由余弦定理的推論可得 cospgc=2+c2-p22=(62)2+(22)2-(3)226222=-33, sinpgc=1 cos 2pgc=1 (-33)2=63, 在 rtchg中,ch=cgsin(-pgc)=2263=33, 點 c 到平面 pab 的距離為33. 故選 c. 3.d 設(shè)平面 ad1e 與直線 bc 交于點 g,則 g為 bc 的中點,連接 ag、eg, 分別取 b1b、b1c1的中點 m、n,連接 a1m、mn、a1n,則 a1md1e,mneg. a1m平面 d1ae,d1e平面 d1ae, a1m平面 d1ae,同理可得 mn平面 d1

8、ae. a1m、mn是平面 a1mn內(nèi)的兩條相交直線, 平面 a1mn平面 d1ae. a1f平面 d1ae, f是線段 mn上的動點. 連接 b1f,設(shè)直線 a1f與平面 bcc1b1所成的角為 , 當點 f與點 m(或 n)重合時,a1f與平面 bcc1b1所成角等于a1mb1,此時所成角 達到最小值,滿足 tan =111m=2. 當點 f為 mn的中點時,a1f與平面 bcc1b1所成角達到最大值, 8 / 13 此時 tan =111f=11221m=22. t 構(gòu)成的集合為t|2t22. 4.ad 在直三棱柱 abc-a1b1c1中,四邊形 bcc1b1是矩形, 因為1c=,所以

9、edbb1cc1, 因為 ed平面 acc1,cc1平面 acc1, 所以 ed平面 acc1,a項正確; 因為 aa1=ac=23ab=2,所以 ab=3, 因為 abac,所以 bc=22+ 32=13,所以 b1c=13 + 4=17, 易知 b1c 是三棱柱外接球的直徑,所以外接球的表面積為 4(172)2=17,故 b 錯誤; aa1bb1,所以bb1c為異面直線 b1c 與 aa1所成的角. 在 rtb1bc 中,bb1=2,bc=13,所以 tanbb1c=1=132,所以 c 錯誤; 過 a作 afbc 于 f,由直三棱柱的定義可知 afcc1,因為 cc1bc=c,所以af平

10、面 bcc1b1, 過 f作 fgb1c 于 g,連接 ag,則 agb1c,所以agf是二面角 a-ec-d的平面角. 在 rtbac 中,可得 af=613,cf=413,因為 sinb1cb=217,所以 fg=413217, 9 / 13 所以 ag=3613+641317,所以 cosagf=4132173613+641317=413,所以 d正確. 故選 ad. 二、填空題 5.答案 223 解析 依題意可知,該幾何體為正四面體,設(shè)頂點 a在底面內(nèi)的射影是 o,則 o為bcd的中心,連接 ob,過 p 作 phob,交 ob 于 h,連接 he,如圖. 易知peh是直線 ep 與平

11、面 bcd所成的角,設(shè)為 , 設(shè)正四面體的棱長為 4a,pb=x(0 x4a),在三角形 pbe 中,pbe=3, 由余弦定理得 pe=2+ 2-ax, 在aob 中,ao=(4)2-(433a)2=463a, =4,解得 ph=63x, sin =63x2+2-ax =63(-12)2+34, 當 x=2a時,sin 取得最大值,最大值為223. 6.答案 102 10 / 13 解析 如圖 1,作 c1dab 于 d,c1o平面 abc 于 o,連接 do, ab平面 abc,c1oab,又 c1oc1d=c1,ab平面 c1do,又 do平面c1do,abdo,c1do為等邊abc 和直

12、角abc1所在半平面構(gòu)成的二面角,即c1do=60 , 又ac1b=90 ,c1ab=30 , c1b=absin 30 =1,c1d=c1bsin 60 =32,c1o=c1dsin 60 =34, do=c1dcos 60 =34,bd=c1bcos 60 =12,畫出底面abc 如圖 2,分析可知: co=2+ (-)2=(12)2+ (334)2=314, cc1=12+ c2=916+3116=102. 圖 1 圖 2 三、解答題 7.解析 (1)證明:如圖,取 bc 的中點 g,連接 eg、ag,則 egda,且 eg=da, 四邊形 adeg為平行四邊形, deag. b1b平面

13、 abc,ag平面 abc, b1bag, ab=ac,且 g為 bc 的中點,bcag,又 b1bbc=b,ag平面 bcc1b1, 11 / 13 又 deag,de平面 bcc1b1. (2)b1bad,adc 就是直線 b1b 與直線 cd所成的角,adc=45 , ad=ac=2. 設(shè)點 b 到平面 b1cd 的距離為 d,由-1cd=-1bd,可得13 d12 2 26=13 212 4 2,解得 d=433, 故點 b 到平面 b1cd 的距離 d=433. 8.解析 (1)證明:取 de 的中點 f,連接 af、fn,又 n為 bc 的中點, fncd,fn=12cd. 矩形

14、abcd中,m 為 ab 的中點, amcd,am=12cd, amfn,am=fn, 四邊形 amnf為平行四邊形, afmn. 又 af平面 aed,mn平面 aed, mn平面 aed. (2)過點 e作 ehbc 于 h,平面 abcd平面 ebc,平面 abcd平面ebc=bc, eh平面 abcd,過 h作 hgad于 g,連接 eg. ad平面 abcd,ehad,又 ehhg=h, 12 / 13 ad平面 ehg,eg平面 ehg,adeg, egh即為二面角 e-ad-b 的平面角. 在 rtehb 中,eh=eb sin 3=232=3,又 hg=ab=1, tanegh

15、=3,egh=3, 二面角 e-ad-b 的大小為3. 9.解析 (1)證明:ad平面 pdc,pd平面 pdc,adpd, bcad,pdbc, 又 pdpb,pbbc=b, pd平面 pbc. (2)過點 d作 ab 的平行線交 bc 于點 f,連接 pf,則 df與平面 pbc 所成的角等于 ab 與平面 pbc 所成的角. pd平面 pbc,pf為 df在平面 pbc 上的射影,dfp 為直線 df與平面pbc 所成的角. adbc,dfab,四邊形 dabf為平行四邊形,bf=ad=1. cf=bc-bf=2. addc,bcdc. 在 rtdcf中,可得 df=2+ c2=25. 在 rtdpf中,可得 sindfp=55, 直線 ab 與平面 pbc所成角的正弦值為55. 10.解析 (1)證明:abc 是正三角形,e為 ab 的中點,ceab. 三棱柱 abc-a1b1c1是直棱柱,平面 abb1a1平面 abc=ab, ce平面 a1abb1, ceb1e. 13 / 13 四邊形 a1abb1是矩形,且 aa1=1,ab=2, a1e2+b1e2=ae2+a12+eb2+b12=4=a112,a1eb1