高中數(shù)學(xué)必修二課時(shí)跟蹤檢測（五）向量的數(shù)量積

1、1 / 6 課時(shí)跟蹤檢測（五） 向量的數(shù)量積 a級學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練 1多選下列說法正確的是( ) a向量 b 在向量 a 上的投影是向量 b若 a b0，則 a 與 b 的夾角 的范圍是2， c(a b) ca (b c) da b0，則 ab 解析：選 ab 對于選項(xiàng) a，根據(jù)投影向量的定義，故 a 正確；對于選項(xiàng) b，a b|a|b|cos 0，則 cos 0，又0，2， ，故 b 正確；對于選項(xiàng) c，(a b) c 與 c 是共線向量，a (b c)與 a 是共線向量，故(a b) ca(b c)，故 c 錯(cuò)誤；對于選項(xiàng) d，a b0ab 或 a0或 b0，故 d錯(cuò)誤故選 a、b.

2、2已知|a| 3，|b|2 3，a 與 b 的夾角是 120 ，則 a b 等于( ) a3 b3 c3 3 d3 3 解析：選 b 由數(shù)量積的定義，得 a b|a|b|cos 120 32 3123.故選 b. 3(2018 全國卷)已知向量 a，b 滿足|a|1，a b1，則 a (2ab)( ) a4 b3 c2 d0 解析：選 b a (2ab)2a2a b2|a|2a b. |a|1，a b1，原式21213.故選 b. 4設(shè) e1和 e2是互相垂直的單位向量，且 a3e12e2，b3e14e2，則 a b 等于( ) a2 b1 c1 d2 解析：選 b 因?yàn)閨e1|e2|1，e1

3、 e20，所以 a b(3e12e2) (3e14e2)9|e1|28|e2|26e1 e2912812601.故選 b. 5已知|a|3，|b|2，且 a，b 的夾角為 60 ，如果(3a5b)(m ab)，那么 m 的2 / 6 值為( ) a.3223 b.2342 c.2942 d.4223 解析：選 c 由題意知(3a5b) (mab)0，即 3m a2(5m3)a b5b20,3m32(5m3)32cos 60 5220，解得 m2942.故選 c. 6已知|a|3，|b|5，且 a b12，則向量 a 在向量 b 方向上的投影向量為_ 解析：a b|a|b|cos 12，又|b|

4、5， |a|cos 125，b|b|b5，即 a 在 b 方向上的投影向量為1225b. 答案：1225b 7(2019 全國卷)已知 a，b 為單位向量，且 a b0，若 c2a 5b，則 cosa，c_. 解析：由題意，得 cosa，ca (2a 5b)|a|2a 5b| 2a2 5a b|a| |2a 5b|221 4523. 答案：23 8已知向量 a，b，其中|a| 3，|b|2，且(ab)a，則向量 a 和 b 的夾角是_，a (ab)_. 解析：由題意，設(shè)向量 a，b 的夾角為 .因?yàn)閨a| 3，|b|2，且(ab)a，所以(ab) a|a|2a b|a|2|a|b|cos 32

5、 3 cos 0，解得 cos 32.又因?yàn)?0，所以 6.則 a (ab)|a|2|a|b| cos 32 3326. 答案：6 6 9已知向量 a，b 的夾角為 30 ，且|a| 3，|b|1，求向量 pab 與 qab 的夾角 的余弦值 3 / 6 解：p q(ab) (ab)a2b2|a|2|b|2312. |p|ab| a22a bb2 32 3cos 30 1 7， |q|ab| a22a bb2 32 3cos 30 11， cos p q|p|q|2712 77. 10已知|a|2，|b|1，a 與 b 的夾角為3，若向量 2akb 與 ab 垂直，求實(shí)數(shù) k的值 解：a b|

6、a|b|cos321121. 因?yàn)?2akb 與 ab 垂直， 所以(2akb) (ab)0. 所以 2a22a bka bk b20. 所以 2222kk0.所以 k5. b級面向全國卷高考高分練 1如圖，e1，e2為互相垂直的兩個(gè)單位向量，則|ab|( ) a20 b. 10 c2 5 d. 15 解析：選 c 由題意，知 a12e172e2，b32e112e2，所以 ab2e14e2，所以|ab| (2e14e2)2 4|e1|216e1 e216|e2|2 202 5.故選 c. 2已知向量 a，b 滿足|a|1，ab，則向量 a2b 在向量 a 方向上的投影向量為( ) aa b1

7、c1 da 解析：選 a 設(shè) 為向量 a2b 與向量 a 的夾角，則向量 a2b 在向量 a 方向上的4 / 6 投影向量為|a2b|cos a|a|. 又 cos (a2b) a|a2b|a|a22a b|a2b|a|1|a2b|，故|a2b|cos a|a|a2b|1|a2b|a|a|a.故選a. 3定義：|ab|a|b|sin ，其中 為向量 a 與 b 的夾角，若|a|2，|b|5，a b6，則|ab|等于( ) a8 b8 c8 或8 d6 解析：選 a cos a b|a|b|62535，0，sin 45.|ab|25458.故選 a. 4.如圖，在平行四邊形 abcd 中，ab1

8、，ad2，點(diǎn) e，f，g，h 分別是 ab，bc，cd，ad 邊上的中點(diǎn)，則 effgghhe( ) a.32 b32 c.34 d34 解析：選 a 易知四邊形 efgh 為平行四邊形，連接 hf(圖略)，取 hf 的中點(diǎn)為 o，則 effg efeh( eo oh) ( eo oh) eo2 oh2112234，ghhe ghgf go2 oh2112234， 因此 effg ghhe32.故選 a. 5(2017 全國卷)已知向量 a，b 的夾角為 60 ，|a|2，|b|1，則|a2b|_. 解析：法一：易知|a2b| |a|24a b4|b|244211242 3. 5 / 6 法二

9、：(數(shù)形結(jié)合法)由|a|2b|2，知以 a 與 2b 為鄰邊可作出邊長為 2 的菱形 oacb，如圖，則|a2b| oc|.又aob60 ，所以|a2b|2 3. 答案：2 3 6若|a|1，|b|2，cab 且 ca，則向量 a 與 b 的夾角為_ 解析：由 ca 得，a c0，所以 a ca (ab)0，即 a2a b0.設(shè)向量 a 與 b 的夾角為 ，則 cos a b|a|b|a2|a|b|12，所以向量 a 與 b 的夾角 120 . 答案：120 7已知 a，b 是非零向量，t為實(shí)數(shù)，設(shè) uatb. (1)當(dāng)|u|取最小值時(shí)，求實(shí)數(shù) t的值； (2)當(dāng)|u|取最小值時(shí)，向量 b 與

10、 u 是否垂直？ 解：(1)|u|2|atb|2(atb) (atb) |b|2t22(a b)t|a|2 |b|2ta b|b|22|a|2(a b)2|b|2. b 是非零向量，|b|0， 當(dāng) ta b|b|2時(shí)，|u|atb|的值最小 (2)b (atb)a bt|b|2a ba b|b|2 |b|2 a ba b0， b(atb)，即 bu. c級拓展探索性題目應(yīng)用練 如圖，扇形 aob 的弧的中點(diǎn)為 m，動(dòng)點(diǎn) c，d 分別在 oa，ob 上，且 ocbd，oa1，aob120 . (1)若點(diǎn) d 是線段 ob 靠近點(diǎn) o 的四分之一分點(diǎn)，用 oa，ob表示向量 mc； 6 / 6 (2)求 mc md的取值范圍 解：(1)由已知可得 oc34oa， mc oc om， 易得 oamb 是菱形，則 om oa ob， 所以 mc oc om34oa( oa ob)1