高中數(shù)學(xué)講義微專(zhuān)題52證明等差等比數(shù)列

1、- 1 - / 10 微專(zhuān)題 52 等差等比數(shù)列的證明 在數(shù)列的解答題中，有時(shí)第一問(wèn)會(huì)要求證明某個(gè)數(shù)列是等差等比數(shù)列，既考察了學(xué)生證明數(shù)列的能力，同時(shí)也為后面的問(wèn)題做好鋪墊。 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1、如何判斷一個(gè)數(shù)列是等差（或等比）數(shù)列 （1）定義法（遞推公式）：1nnaad+=（等差），1nnaqa+=（等比） （2）通項(xiàng)公式：naknm=+（等差），()0nnak qq=（等比） （3）前n項(xiàng)和：2nsanbn=+（等差），nnskqk=（等比） （4）等差（等比）中項(xiàng)：數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)均為前后兩項(xiàng)的等差（等比）中項(xiàng) 2、如何證明一個(gè)數(shù)列是等差等比數(shù)列： （1）通常利用定義法，尋找到公

2、差（公比） （2）也可利用等差等比中項(xiàng)來(lái)進(jìn)行證明，即nn ，均有： 122nnnaaa+=+ （等差） 212nnnaaa+= （等比） 二、典型例題： 例 1：已知數(shù)列 na的首項(xiàng)1133,521nnnaaanna+=+ 求證：數(shù)列11na為等比數(shù)列 思路一：構(gòu)造法，按照所給的形式對(duì)已知遞推公式進(jìn)行構(gòu)造，觀察發(fā)現(xiàn)所證的數(shù)列存在1na這樣的倒數(shù)，所以考慮遞推公式兩邊同取倒數(shù)：113121213nnnnnnaaaaaa+=+ 即112133nnaa+=+，在考慮構(gòu)造“1”：112111111333nnnaaa+ =+ = 即數(shù)列11na是公比為13的等比數(shù)列 思路二：代入法：將所證數(shù)列視為一個(gè)整

3、體，用nb表示：11nnba=，則只需證明 nb是等比數(shù)列即可，那么需要關(guān)于nb的條件（首項(xiàng)，遞推公式），所以用nb將na表示出來(lái)，并- 2 - / 10 代換到na的遞推公式中，進(jìn)而可從nb的遞推公式出發(fā)，進(jìn)行證明 解：令11nnba=，則11nnab=+ 遞推公式變?yōu)椋?1311311113211nnnnnbbbbb+=+ 1113333nnnnbbbb+=+= nb是公比為13的等比數(shù)列。即數(shù)列11na為等比數(shù)列 小煉有話說(shuō)： （1）構(gòu)造法：在構(gòu)造的過(guò)程中，要尋找所證數(shù)列形式的亮點(diǎn)，并以此為突破對(duì)遞推公式進(jìn)行變形，如例 1 中就是抓住所證數(shù)列有一個(gè)“倒數(shù)”的特點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)遞推公式作取倒數(shù)的

4、變換。所以構(gòu)造法的關(guān)鍵之處在于能夠觀察到所證數(shù)列顯著的特點(diǎn)并加以利用 （2）代換法：此方法顯得模式化，只需經(jīng)歷“換元表示代入化簡(jiǎn)”即可，說(shuō)兩點(diǎn)：一是代換11nnba=體現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)列 ,nnab的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，且這種對(duì)應(yīng)是同序數(shù)項(xiàng)的對(duì)應(yīng)（第n項(xiàng)對(duì)應(yīng)第n項(xiàng)）；二是經(jīng)過(guò)代換，得到 nb的遞推公式，而所證nb是等比數(shù)列，那么意味著其遞推公式經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)應(yīng)當(dāng)形式非常簡(jiǎn)單，所以盡管代入之后等式復(fù)雜，但堅(jiān)定地堅(jiān)定地化簡(jiǎn)下去，通常能夠得到一個(gè)簡(jiǎn)單的答案?；?jiǎn)下去，通常能夠得到一個(gè)簡(jiǎn)單的答案。個(gè)人認(rèn)為，代入法是一個(gè)比較“無(wú)腦”的方法，只需循規(guī)蹈矩按步驟去做即可。 例 2 ： 數(shù) 列 na 的 前 n 項(xiàng) 和 為ns

5、，2131(*)22nnsannnn+= +（ * ） 設(shè)nnban=+，證明：數(shù)列 nb是等比數(shù)列，并求出 na的通項(xiàng)公式 思路：本題所給等式,nns a混合在一起，可考慮將其轉(zhuǎn)變?yōu)橹缓琻a或只含ns的等式，題目中nnban=+傾向于項(xiàng)的關(guān)系，故考慮消掉ns，再進(jìn)行求解 解：213122nnsann+= + ()()()211131112,22nnsannnnn+= + 可得：112121nnnnaanaan= = ()()()1112112nnnnanananan+=+=+ 即112nnbb= - 3 - / 10 nb是公比為12的等比數(shù)列 111ba=+ 令1n = 代入（*）可得：

6、11131122sa+= + = 112a= 112b= 111122nnnbb= 12nnnabnn= 小煉有話說(shuō)：（1）遇到,nns a混合在一起的等式，通常轉(zhuǎn)化為純na（項(xiàng)的遞推公式）或者純ns（前n項(xiàng)和的遞推公式），變形的方法如下： 消去ns：向下再寫(xiě)一個(gè)關(guān)于1ns的式子（如例 2），然后兩式相減（注意n取值范圍變化） 消去na：只需1nnnass=代換即可（2,nnn） （2）,nns a混合在一起的等式可求出1a，令1n =即可（因?yàn)?1sa=） （3）這里體現(xiàn)出nnban=+的價(jià)值：等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是最好求的：只需一項(xiàng)和公差（公比），構(gòu)造出等差等比數(shù)列也就意味這其通項(xiàng)可求，

7、而通過(guò)nnban=+也可將na的通項(xiàng)公式求出。這里要體會(huì)兩點(diǎn)：一是回顧依遞推求通項(xiàng)時(shí)，為什么要構(gòu)造等差等比數(shù)列，在這里給予了一個(gè)解釋?zhuān)欢求w會(huì)解答題中這一問(wèn)的價(jià)值：一個(gè)復(fù)雜的遞推公式，直接求其通項(xiàng)公式是一件困難的事，而在第一問(wèn)中，恰好是搭了一座橋梁，告訴你如何去進(jìn)行構(gòu)造輔助數(shù)列，進(jìn)而求解原數(shù)列的通項(xiàng)公式。所以遇到此類(lèi)問(wèn)題不要只停留在證明，而可以順藤摸瓜遇到此類(lèi)問(wèn)題不要只停留在證明，而可以順藤摸瓜將通項(xiàng)一并求出來(lái)將通項(xiàng)一并求出來(lái) 例 3：已知數(shù)列 na滿足：1116,690,nnnaaaann=+=且2n ，求證：13na為等差數(shù)列 解：設(shè)13nnba=，則13nnab=+代入11690nnna

8、aa+=可得： 11111336390nnnbbb+ += 111133691890nnnnnbbbbb+ += 111330nnnnbbbb+=113nnbb= - 4 - / 10 nb為等差數(shù)列，即13na為等差數(shù)列 例 4：已知曲線:1c xy =，過(guò)c上一點(diǎn)(),nnnaxy作一斜率為12nnkx= +的直線交曲線c于另一點(diǎn)()111,nnnaxy+（1nnxx+且0nx ，點(diǎn)列na的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 nx，其中1117x =. （1）求nx與1nx+的關(guān)系式； （2）令1123nnbx=+，求證：數(shù)列 nb是等比數(shù)列； 解：（1）曲線1:c yx= ()1:2nnnl yyxxx=

9、+ ()11111121nnnnnnnnnyxyyxxxyx+= += 12nnnx xx+=+ （2）11121233nnnnbxxb=+=+，代入到遞推公式中可得： 11112222111333nnnbbb+ +=+ 11111112211111133422=411133333333nnnnnnnnnnbbbbbbbbbb+=+()()11111211444439339nnnnnnnnnb bbbbb bbb+=+ ()()1112433nnnnnbbbbb+=+ 12nnbb+= nb是公比為2的等比數(shù)列 小煉有話說(shuō)：本題（2）用構(gòu)造法比較復(fù)雜，不易構(gòu)造出nb的形式，所以考慮用代入法直接

10、- 5 - / 10 求解 例 5：已知數(shù)列 na滿足()()1146410,21nnnanaa annn+=+，判斷數(shù)列221nan+是否為等比數(shù)列？若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是，試求出na 解：設(shè)()221221nnnnabanbn+=+ 代入到()14641021nnnanan+=+可得： ()() ()14621241023221nnnnbnnbn+=+ ()()()()12321422 2321812410nnnnbnnnbnn+=+ ()()()()123212 2321nnnnbnnb+=+ 12nnbb+= 而112233aab+= 2a = 時(shí)，10b =， nb不是等比數(shù)列 2

11、a 時(shí)， nb是等比數(shù)列，即221nan+為等比數(shù)列 11222213nnaan+=+ ()()1221223nnana+= 例 6：（2015 山東日照 3 月考）已知數(shù)列 na中，111,1,33 ,nnnan naaan n+=為奇數(shù)為偶數(shù) ，求證：數(shù)列232na是等比數(shù)列 思路：所證數(shù)列為232na，可發(fā)現(xiàn)要尋找的是 na偶數(shù)項(xiàng)的聯(lián)系，所以將已知分段遞推關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)?na與()21na之間的關(guān)系，再進(jìn)行構(gòu)造證明即可 - 6 - / 10 證明：由11,33 ,nnnan naan n+=為奇數(shù)為偶數(shù)可得： ()2211213nnaan=+ ()2122322nnaan= ()22213

12、22213nnaann=+ 22222112221133nnnaanna=+ =+ 222223111323232nnnaaa= 數(shù)列232na是公比為13的等比數(shù)列 例 7：（2015 湖北襄陽(yáng)四中階段性測(cè)試）已知數(shù)列 na滿足11a =，且對(duì)任意非負(fù)整數(shù)(),m n mn均有： ()22112m nm nmnaamnaa+ =+ （1）求02,a a （2 2）求證：數(shù)列）求證：數(shù)列1mmaa+是等差數(shù)列是等差數(shù)列，并求出并求出na的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 解：（1）令mn=可得： 202011mmaaaa+ = 再令0n =可得： ()201212mmamaa+ =+ 2423mmaam=+

13、 21413aa= = 021,3aa= （2）思路：考慮證明數(shù)列1mmaa+是等差數(shù)列，則要尋找1mmaa+，1mmaa的關(guān)系 ， 即 所 涉 及 項(xiàng) 為11,mmmaaa+， 結(jié) 合 已 知 等 式 令1n =， 利 用 （ 1 ） 中 的2423mmaam=+，將2ma代換為ma即可證明，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式 證明：在()22112m nm nmnaamnaa+ =+中令1n =得： - 7 - / 10 ()1122122mmmaamaa+=+ 11222224mmmaamaa+=+ 由（1）得22423,3mmaama=+=代入可得： 11222442mmmaamam+=+ () ()1

14、111222mmmmmmmaaaaaaa+= 數(shù)列1mmaa+是公差為2的等差數(shù)列 ()()121212mmaaaamm+=+= ()121mmaam= ()-1222mmaam= 212aa= ()()12 1211maamm m=+= ()11mam m=+ 例 8：（2010 安徽，20）設(shè)數(shù)列12,na aa中的每一項(xiàng)都不為 0，求證： na是等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)nn 都有1223111111nnnna aa aa aa a+= 思路：證明充要條件要將兩個(gè)條件分別作為條件與結(jié)論進(jìn)行證明，首先證明必要性，即已知等 差 數(shù) 列 證 明 恒 等 式 。 觀 察 所 證 等 式 可 聯(lián)

15、 想 到 求 和 中 的 裂 項(xiàng) 相 消 。 所 以 考 慮11111111111nnnnnnnna aaaaadaa+=，然后恒等式左邊進(jìn)行求和即可證明。再證明充分性，即已知恒等式證明等差數(shù)列：恒等式左側(cè)為求和形式，所以考慮向前寫(xiě)一個(gè)式子兩式相減，進(jìn)而左邊消去大量的項(xiàng)，可得：12121111nnnnnnaaa aa a+=，通過(guò)化簡(jiǎn)可得：211nnnnaaaa+=，從而利用等差中項(xiàng)完成等差數(shù)列的證明 證明：先證必要性： na是等差數(shù)列 當(dāng)0d =時(shí) 121nnaaaa= - 8 - / 10 左邊22211111naaa=+= 右邊21na= 當(dāng)0d 時(shí)，考慮11111111111nnnnn

16、nnna aaaaadaa+= 左邊1112231111111111111111nnnnnaadaaaaaadaada a+=+= 11111nnndnd a aa a+=右邊 所證恒等式成立 再證必要性： 1223111111nnnna aa aa aa a+= 12231121211111nnnnnna aa aa aaaa a+= 可得： 12121111nnnnnnaaa aa a+= 兩邊同時(shí)乘以112nna aa+得： ()1121nnanana+=+ 同理：()111nnanana+= -可得：()121222nnnnnnnan aaaaa+=+=+ na為等差數(shù)列 小煉有話說(shuō)：

17、（1）本題證明等差數(shù)列所用的是等差中項(xiàng)的方法，此類(lèi)方法多在數(shù)列中存在三項(xiàng)關(guān)系時(shí)使用 （2）在充分性的證明中連續(xù)用到了構(gòu)造新式并相減的方法，這也是變形遞推公式的方法之一，當(dāng)原遞推公式難以變形時(shí)，可考慮使用這種方法構(gòu)造出新的遞推公式，尤其遞推公式的一側(cè)是求和形式時(shí)，這種方法可以消去大量的項(xiàng)，達(dá)到化簡(jiǎn)遞推公式的目的。 例 9 ：若數(shù)列 na的各項(xiàng)均為正數(shù) ，212,nnnnnaa at+ =+（t為常數(shù) ）， 且3242aaa=+ - 9 - / 10 （1）求132aaa+的值 （2）求證：數(shù)列 na為等差數(shù)列 解：（1）令1n =，則有2213aa at=+ 令2n =，則有2324aa at=

18、+ 可得： ()()2222231324224313224313aaa aa aaa aaa aaaaaaa=+=+=+ 1324232aaaaaa+= （2）思路：所給的遞推公式中含有t，而且原遞推公式也很難變形，所以考慮再寫(xiě)一個(gè)式子兩式相減，構(gòu)造新的遞推公式，仿照（1）進(jìn)行變形。 解：212nnnaa at+=+ 2213nnnaaat+=+ 可得： 22221221311322nnnnnnnnnnnnaaa aaaaaaaa a+=+=+ ()()11322nnnnnnaaaaaa+=+ 13221nnnnnnaaaaaa+= 從nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa+= 221122nnnnnnaaaaaa+=+= 1+21nnnnaaaa+= 數(shù)列 na為等差數(shù)列 例 10：在數(shù)列 na中，10a =，且對(duì)任意kn，21221,kkkaaa+成等差數(shù)列，其公差為kd，若2kdk=，求證：22122,kkkaaa+成等比數(shù)列 思路：由21221,kkkaaa+的公差為2kdk=，而2121,kkaa+表示數(shù)列中相鄰的奇數(shù)項(xiàng)，所以可選擇它們的關(guān)系作為突破口，即21214kkaak+=，從而可以求出 na奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，再利用2121,kkaa+可求