高中數學講義微專題14函數的切線問題

1、- 1 - / 13 微專題 14 函數的切線問題 一、基礎知識： （一）與切線相關的定義 1、切線的定義：在曲線的某點 a 附近取點 b，并使 b 沿曲線不斷接近 a。這樣直線 ab 的極限位置就是曲線在點 a 的切線。 （1）此為切線的確切定義，一方面在圖像上可定性的理解為直線剛好與曲線相碰，另一方面也可理解為一個動態(tài)的過程，讓切點 a 附近的點向a不斷接近，當與a距離非常小時，觀察直線ab是否穩(wěn)定在一個位置上 （2）判斷一條直線是否為曲線的切線，不再能用公共點的個數來判定。例如函數3yx=在()1, 1處的切線，與曲線有兩個公共點。 （3）在定義中，點b不斷接近a包含兩個方向，a點右邊的

2、點向左接近，左邊的點向右接近，只有無論從哪個方向接近，直線ab的極限位置唯一時，這個極限位置才能夠成為在點a處的切線。對于一個函數，并不能保證在每一個點處均有切線。例如yx=在()0,0處，通過觀察圖像可知，當0 x =左邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為yx= ，而當0 x =右邊的點向其無限接近時，割線的極限位置為yx=，兩個不同的方向極限位置不相同，故yx=在()0,0處不含切線 （4）由于點b沿函數曲線不斷向a接近，所以若( )fx在a處有切線，那么必須在a點及其附近有定義（包括左邊與右邊） 2、切線與導數：設函數( )yf x=上點()()00,a xfx( )fx在a附近有定義

3、且附近的點()()00,b xx f xx+ + ，則割線ab斜率為： ()()()()()000000abf xxf xf xxf xkxxxx+=+ 當b無限接近a時，即x接近于零，直線ab到達極限位置時的斜率表示為： ()()000limxf xxf xkx +=, - 2 - / 13 即切線斜率，由導數定義可知：()()()0000limxf xxf xkfxx +=。故()0fx為( )fx在()()00,a xfx處切線的斜率。這是導數的幾何意義。 3、從導數的幾何意義中可通過數形結合解釋幾類不含導數的點： （1）函數的邊界點：此類點左側（或右側）的點不在定義域中，從而某一側不含

4、割線，也就無從談起極限位置。故切線不存在，導數不存在；與此類似還有分段函數如果不連續(xù)，則斷開處的邊界值也不存在導數 （2）已知點與左右附近點的割線極限位置不相同，則不存在切線，故不存在導數。例如前面例子yx=在()0,0處不存在導數。此類情況多出現在單調區(qū)間變化的分界處，判斷時只需選點向已知點左右靠近，觀察極限位置是否相同即可 （3）若在已知點處存在切線，但切線垂直x軸，則其斜率不存在，在該點處導數也不存在。例如：3yx=在()0,0處不可導 綜上所述：（1）-（3）所談的點均不存在導數，而（1）（2）所談的點不存在切線，（3）中的點存在切線，但沒有導數。由此可見：某點有導數則必有切線，有切線

5、則未必有導數 。 （二）方法與技巧： 1、求切線方程的方法：一點一方向可確定一條直線，在求切線時可考慮先求出切線的斜率（切點導數）與切點，在利用點斜式寫出直線方程 2、若函數的導函數可求，則求切線方程的核心要素為切點a的橫坐標0 x，因為0 x可“一點兩代”，代入到原函數，即可得到切點的縱坐標()0fx，代入到導函數中可得到切線的斜率()0fxk=,從而一點一斜率，切線即可求。所以在解切線問題時一定要盯住切點橫坐標，千方百計的把它求解出來。 3、求切線的問題主要分為兩大類，一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數與導函數中求出切點與斜率即可，另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標()0

6、0,xy,再考慮利用條件解出核心要素0 x，進而轉化成第一類問題 4、在解析幾何中也學習了求切線的方法，即先設出切線方程，再與二次方程聯(lián)立利用0 =求出參數值進而解出切線方程。解析幾何中的曲線與函數同在坐標系下，所以兩個方法可以- 3 - / 13 互通。若某函數的圖像為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時可用解析的方法求解，例如：21yx=（圖像為圓的一部分）在13,22處的切線方程，則可考慮利用圓的切線的求法進行解決。若圓錐曲線可用函數解析式表示，像焦點在y軸的拋物線，可看作y關于x的函數，則在求切線時可利用導數進行快速求解（此方法也為解析幾何中處理焦點在y軸的拋物線切線問題的重要方法

7、） 5、在處理切線問題時要注意審清所給已知點是否為切點?！霸谀滁c處的切線”意味著該點即為切點，而“過某點的切線”則意味著該點有可能是切點，有可能不是切點。如果該點恰好在曲線上那就需要進行分類討論了。 二、典型例題 例 1：求函數( )()32xfxex=在1x =處的切線方程 思路：本題切點已知，代入原函數求得函數值，代入導函數中求得切線斜率，進而利用點斜式求出切線方程 解：( )1fe= 切點坐標為()1,e ( )()()33231xxxfxexexe=+=+ ( )14fe= 切線方程為：()4143yee xyexe= 小煉有話說：切點已知時求切線方程是切線問題中較簡單的一類問題，體會

8、切點分別代入到函數與導函數中所起到的作用，體會切點橫坐標在切線問題中的關鍵作用 例 2：已知函數( )ln2f xxx=+，則： （1）在曲線( )fx上是否存在一點，在該點處的切線與直線420 xy=平行 （2）在曲線( )fx上是否存在一點，在該點處的切線與直線30 xy=垂直 解： （1）思路：切點未知，考慮設切點坐標為()00,xy，再利用平行條件求出0 x，進而求出切線方程 設切點坐標為()00,xy ()0012fxx=+ 由切線與420 xy=平行可得： ()00011242fxxx=+= 011ln122yf=+ - 4 - / 13 切線方程為：11ln244ln212yxy

9、x += （2）思路：與（1）類似，切點未知，考慮設切點坐標為()00,xy，有垂直關系可得切線斜率與已知直線斜率互為負倒數，列出方程求出0 x，進而求出切線方程 設切點坐標()00,xy ()0012fxx=+，直線30 xy=的斜率為1 ()00011213fxxx=+= = 而()00,x + 013x= 不在定義域中，舍去 不存在一點，使得該點處的切線與直線30 xy=垂直 小煉有話說：（1）求切線的關鍵要素為切點，進而若切點已知便直接使用，切線未知則需先設再求。兩直線平行與垂直關系與直線的斜率密切相關，進而成為解出切點橫坐標的關鍵條件 （2）在考慮函數問題時首先要找到函數的定義域。在

10、解出自變量的值或范圍時也要驗證其是否在定義域內 例 3：函數( )2lnfxaxbx=上一點( )()2,2pf處的切線方程為32ln22yx= +，求, a b的值 思路：本題中求, a b的值，考慮尋找兩個等量條件進行求解，p在直線32ln22yx= +上，3 22ln222ln24y= +=，即( )2 =2ln24f，得到, a b的一個等量關系，在從切線斜率中得到2x =的導數值，進而得到, a b的另一個等量關系，從而求出, a b 解：p在32ln22yx= +上，( )23 22ln222ln24f= += ( )2ln242ln24fab= 又因為p處的切線斜率為3 ( )2

11、afxbxx= ( )2432afb= - 5 - / 13 ln242ln2421432abaabb= 小煉有話說：（1）本題中切線體現了兩個作用：切點在切線上，進而可間接求出函數值；切線的斜率即為切點導數值 （2）一般來說，在求未知量的值題目中，未知量的個數與所用條件的個數相等。在本題中確定, a b兩個未知量，從而想到尋找兩個條件來解決問題。 例 4：曲線xye=在點()22,e處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（ ） a.2e b. 22e c. 24e d.22e 思路：( )xfxe= 由圖像可得三角形的面積可用切線的橫縱截距計算，進而先利用求出切線方程 ( )22fe=所以切線方

12、程為：()222yeex=即220e xye=， 與兩坐標軸的交點坐標為()()21,00, e 221122ese= = 答案：d 小煉有話說：在平面直角坐標系中，我們研究的問題不僅有函數，還有解析幾何。所以在求面積等問題時也會用到解析幾何的一些理念與方法。例如求三角形面積要尋底找高，而選擇底和高以計算簡便為原則，優(yōu)先使用點的坐標表示。在本題中選擇橫縱截距來刻畫三角形的兩條直角邊有助于簡化計算。 例 5：一點p在曲線323yxx=+上移動，設點p處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是( ) a.0,2 b.30,24 c.3,4 d.3,24 思路：傾斜角的正切值即為切線的斜率，進而與導數聯(lián)系起

13、來。231yx=，對于曲線上任意一點p，斜率的范圍即為導函數的值域：)2=311,yx +，所以傾斜角的范圍是30,24 答案：b - 6 - / 13 小煉有話說：（1）對于切線而言，其傾斜角，斜率，切點處的導數聯(lián)系緊密：傾斜角的正切值為斜率，斜率即為切點的導數值。 （2）斜率范圍到傾斜角范圍的轉化要注意一下兩點： 斜率化傾斜角時盡量用圖像進行輔助，觀察斜率變化時，傾斜角的變化程度。 直線傾斜角的范圍為)0, 例 6：求過點()2,8a，且與曲線( )3fxx=相切的直線方程 思路：()2,8a滿足( )fx，但題目并沒有說明a是否為切點，所以要分a是否為切點進行分類討論。當a是切點時，易于

14、求出切線方程，當a不是切點時，切點未知，從而先設再求，設切點()00,xy，切線斜率為k，三個未知量需用三個條件求解： ()00yfx=，()0kfx=，00aayykxx= 解：（1）當()2,8a為切點時 ( )23fxx= ( )212f= 切線方程為：()81221216yxyx= （2）當()2,8a不是切點時，設切點()00,p xy()02x ，切線斜率為k 3002000382yxkxykx= =，消去0, k y可得：32000832xxx= 而()()3200008224xxxx=+ 02x 方程等價于：2220000032420 xxxxx=+= 解得：02x =（舍），

15、01x = 01,3yk= = 切線方程為()13132yxyx+ =+=+ 綜上所述：切線方程為1216yx=或32yx=+ 小煉有話說：（1）由于在導數中利用極限的思想對切線進行了嚴格定義，即割線的極限位置是切線，從而不能局限的認為切線與曲線的公共點一定就是切點，存在一條直線與曲線相切于一點，并與曲線的另一部分相交于一點的情況，本題便是一個典型的例子 （2）在已知一點求切線方程時，要注意切線斜率不僅可用切點的導數值來表示，也可以用- 7 - / 13 已知點與切點來進行表示，進而增加可以使用的條件。 例 7：設函數( )()32910fxxaxxa=，若曲線( )yf x=的斜率最小的切線

16、與直線126xy+=平行，求a的值 思路：切線斜率最小值即為導函數的最小值，已知直線的斜率為12，進而可得導函數的最小值為12，便可求出a的值 解：( )22222221111329393939333fxxaxxaaaxaa=+= ( )2min11933fxfaa= 直線126xy+=的斜率為12，依題意可得： 2191233aa= = 0a 3a= 例 8：若存在過點(1,0)的直線與曲線3yx=和21594yaxx=+都相切,則a等于( ) a.1或2564 b. 1或214 c. 74或2564 d. 74或7 思路：本題兩條曲線上的切點均不知道，且曲線21594yaxx=+含有參數，

17、所以考慮先從常系數的曲線3yx=入手求出切線方程，再考慮在利用切線與曲線21594yaxx=+求出a的值。設過()1,0的直線與曲線3yx=切于點()300,x x ,切線方程為()320003yxxxx=，即230032yx xx=，因為()1,0在切線上，所以解得：00 x =或032x =，即切點坐標為()0,0或3 27,28.當切點()0,0時，由0y =與21594yaxx=+相切可得 ()21525490464aa = ，同理，切點為3 27,28解得1a = 答案：a 小煉有話說：（1）涉及到多個函數公切線的問題時，這條切線是鏈接多個函數的橋梁。所以可以考慮先從常系數的函數入手

18、，將切線求出來，再考慮切線與其他函數的關系 （2）在利用切線與21594yaxx=+求a的過程中，由于曲線21594yaxx=+為拋物線，所以并沒有利用導數的手段處理，而是使用解析幾何的方法，切線即聯(lián)立方程后的0 =來求解，減少了運算量。通過例 7，例 8 可以體會到導數與解析幾何之間的聯(lián)系：一- 8 - / 13 方面，求有關導數的問題時可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切線問題時，若曲線可寫成函數的形式，那么也可以用導數來進行處理，（尤其是拋物線） 例 9：（2014，北京）已知函數( )323fxxx=，若過點()1,pt存在 3 條直線與曲線( )yf x=相切，求t的取值范圍

19、思路：由于并不知道 3 條切線中是否存在以p為切點的切線，所以考慮先設切點()00,xy，切線斜率為k，則滿足()30002002363yxxkfxx= ，所以切線方程為()00yyk xx=，即 ()()()3200002363yxxxxx=，代入()1,pt化簡可得：3200463txx= +，所以若 存 在3條 切 線 ， 則 等 價 于 方 程3200463txx= +有 三 個 解 ， 即yt=與( )32463g xxx= +有三個不同交點，數形結合即可解決 解：設切點坐標()00,xy，切線斜率為k，則有： ()30002002363yxxkfxx= 切線方程為：()()()32

20、00002363yxxxxx= 因為切線過()1,pt，所以將()1,pt代入直線方程可得： ()()()3200002363 1txxxx= ()()()23000063 123txxxx=+ 233320000000636323463xxxxxxx=+= + 所以問題等價于方程3200463txx= +，令( )32463g xxx= + 即直線yt=與( )32463g xxx= +有三個不同交點 ( )()21212121gxxxx x= += 令( )0gx 解得01x 所以( )g x在() (),0 , 1,+單調遞減，在()0,1單調遞增 ( )( )( )( )11,03g

21、xgg xg= = 極大值極小值 所以若有三個交點，則()3, 1t 所以當()3, 1t 時，過點()1,pt存在 3 條直線與曲線( )yf x=相切 - 9 - / 13 例 10：已知曲線2:c xy=，點p在拋物線上且p的橫坐標為1，過p作斜率為()0k k 的直線交c于另一點q，交x軸于m，過點q且與pq垂直的直線與c交于另一點n，問是否存在實數k，使得直線mn與曲線c相切？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由。 思 路 ： 本 題 描 述 的 過 程 較 多 ， 可 以 一 步 步 的 拆 解 分 析 。 點()1,1p， 則 可 求 出:1pq ykxk=+，從而與拋物線方程

22、聯(lián)立可解得()()21,1q kk，以及m點坐標，從而可寫出qn的方程，再與拋物線聯(lián)立得到n點坐標。如果從,m n坐標入手得到mn方程，再根據相切()0 =求k，方法可以但計算量較大。此時可以著眼于n為切點，考慮拋物線2xy=本身也可視為函數2yx=，從而可以n為入手點先求出切線，再利用切線過m代入m點坐標求k，計算量會相對小些。 解：由p在拋物線上，且p的橫坐標為 1 可解得()1,1p 設():11pq yk x =化簡可得：1ykxk=+ 1,0kmk 21yxykxk=+ 消去y：210 xkxk+ = 121,1xxk= ()()21,1q kk 設直線()()21:11qnykxk

23、k= 即()()2111ykxkk= 聯(lián)立方程：()()22111yxykxkk= ()211110 xxkkkk+ += ()11111qnnxxkkxkkk= += + - 10 - / 13 2111,1nkkkk + + 由2yx=可得：2yx= 切線mn的斜率1|21nmnxxkykk= + 2111:1211mnykkxkkkk += + + 代入1,0kmk得： 2111112111kkkkkkk += + + 211210kkkkk +=+ = 152k = 小煉有話說：（1）如果曲線的方程可以視為一個函數（比如開口向上或向下的拋物線，橢圓雙曲線的一部分），則處理切線問題時可以

24、考慮使用導數的方法，在計算量上有時要比聯(lián)立方程計算0 =簡便 （2）本題在求n點坐標時，并沒有對方程進行因式分解，而是利用韋達定理，已知q的橫坐標求出n的橫坐標。這種利用韋達定理求點坐標的方法在解析幾何中常解決已知一交點求另一交點的問題。 三、近年好題精選： 1、設函數( )( )2f xg xx=+，曲線( )yg x=在點( )()1,1g處的切線方程為21yx=+，則曲線( )yf x=在點( )()1,1f處的切線方程為_ 2、已知直線1ykx=+與曲線3yxaxb=+切于點(1,3)，則b的值為_ 3、若曲線21xyc=：與曲線xaeyc=：2存在公切線，則a的最值情況為（ ） a最

25、大值為28e b最大值為24e c最小值為28e d最小值為24e 4 、 （ 2015 ， 新 課 標 ii 文 ） ， 已 知 曲 線lnyxx=+在 點()1,1處 的 切 線 與 曲 線- 11 - / 13 ()221yaxax=+相切，則a =_ 5、（2015，陜西理）設曲線xye=在點()0,1處的切線與曲線()10yxx=上點p處的切線垂直，則p的坐標為_ 6、（2014，廣東）曲線52xye=+在點()0,3處的切線方程為_ 7、（2014，江西）若曲線xye=上點p處的切線平行于直線210 xy+=，則點p的坐標為_ 8、已知函數( )lnxf xx=，則過原點且與函數( )f x圖像相切的直線方程為_ 9、已知函數( )()212xfxexax ar=，若函數( )fx的圖像在0 x =處的切線方程為2yxb=+，則a =_,b =_ - 12 - / 13 習題答案：習題答案： 1、答案：4yx= 解析：由切線過( )()1,1g可得：( )13g=，所以( )( )21114fg=+=，另一方面，( )12g=， 且( )( )2fxgxx=+， 所 以( )( )1124fg=+=， 從 而 切 線 方 程 為 ：()4414yxyx= 2、答案：3b = 解析：代入(1,3)可得：2k =，( )23fxxa=+，所以有( )( )113