高中數(shù)學(xué)選修一3.3.1分層演練綜合提升

1、1 / 8 a 級(jí) 基礎(chǔ)鞏固 1.頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)是 f(0,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ( ) a.y2=21x b.x2=12y c.y2=112x d.x2=112y 解析:由焦點(diǎn)是 f(0,3),可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=2py(p0),由題意,得2=3,即 p=6,所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=12y. 答案:b 2.若拋物線 y=2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),則 a的值等于 ( ) a.4 b.-4 c.14 d.-14 解析:拋物線 y=2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=ay,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4).由題意可知4=-1,解得 a=-4. 答案:b 3.(全國(guó)卷)已知 a 為拋物線 c:y2=2px(p

2、0)上一點(diǎn),點(diǎn) a 到拋物線 c的焦點(diǎn)的距離為 12,到 y軸的距離為 9,則 p= ( ) a.2 b.3 c.6 d.9 解析:因?yàn)?a 為拋物線 c:y2=2px(p0)上一點(diǎn),點(diǎn) a 到拋物線 c 的焦點(diǎn)的距離為 12,到 y 軸的距離為 9,且拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等, 所以 9+2=12,解得 p=6.故選 c. 答案:c 2 / 8 4.以雙曲線216-29=1 的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) a.y2=16x b.y2=-16x c.y2=8x d.y2=-8x 解析:由雙曲線的方程216-29=1 可得,其右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0), 所以可設(shè)所求拋物

3、線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=2px(p0), 因?yàn)?4,0)為拋物線的焦點(diǎn),所以2=4,因此 p=8, 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=16x. 答案:a 5.已知拋物線 y=mx2(m0)的焦點(diǎn)與橢圓429+22=1 的一個(gè)焦點(diǎn)重合,則 m=12. 解析:將拋物線 y=mx2(m0)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是 x2=1y,所以其焦點(diǎn)是(0,14).因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)與橢圓429+22=1 的一個(gè)焦點(diǎn)重合,因此94-2=(14)2,結(jié)合 m0,得 m=12. 6.已知拋物線 y2=4x上一點(diǎn) m(x0,23),則點(diǎn) m 到拋物線焦點(diǎn)的距離等于 4. 解析:把點(diǎn) m(x0,23)代入拋物線方程可得,(23)2=4

4、x0,解得 x0=3 .所以點(diǎn) m 到拋物線焦點(diǎn)的距離為 x0+1=4. 7.已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線22-22=1 的右焦點(diǎn),它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線22-22=1 的左焦點(diǎn),拋物線與此雙曲線交于點(diǎn)(32,6),求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 解:設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=2px(p0),將點(diǎn)(32,6)代入方程,得p=2, 3 / 8 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=4x. 因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為直線 x=-1, 所以雙曲線的焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0). 因?yàn)辄c(diǎn)(32,6)到兩焦點(diǎn)距離之差為 1,所以 2a=1,即 a=12. 又因?yàn)?a2+b2=(2)2,所以 b2=34. 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2

5、14-234=1. b 級(jí) 拓展提高 8.過(guò)點(diǎn) a(1,0),且與直線 l:x=-1相切的動(dòng)圓的圓心的軌跡是 ( ) a.圓 b.橢圓 c.雙曲線 d.拋物線 解析:如圖,設(shè)動(dòng)圓的圓心為 m.由題意,知 m 到直線 l 的距離等于圓的半徑|ma|.由拋物線的定義,知點(diǎn) m的軌跡是以 a(1,0)為焦點(diǎn),以直線 l 為準(zhǔn)線的拋物線. 答案:d 9.已知點(diǎn) f 是拋物線 x2=4y 的焦點(diǎn),點(diǎn) p 為拋物線上的任意一點(diǎn), m(1,2)為平面上一點(diǎn),則|pm|+|pf|的最小值為 ( ) a.3 b.2 c.4 d.23 4 / 8 解析:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中作出圖象,并作 pn 垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)n

6、.由題意可得|pm|+|pf|=|pm|+|pn|mn|, 顯然,當(dāng) p,m,n三點(diǎn)共線時(shí),|pm|+|pf|的值最小. 因?yàn)辄c(diǎn) m(1,2),f(0,1),準(zhǔn)線方程為 y=-1, 所以當(dāng) p,m,n三點(diǎn)共線, 即點(diǎn) n的坐標(biāo)為(1,-1)時(shí),(|pm|+|pf|)min=|mn|=3. 答案:a 10.拋物線形拱橋的示意圖如圖所示,當(dāng)水面在 ab 時(shí),拱頂距離水面 2 m,水面寬 4 m,當(dāng)水位上升 0.5 m后,水面寬 ( ) a.3 m b.6 m c.23 m d.26 m 解析:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系. 5 / 8 設(shè)拋物線方程為 x2=my,將點(diǎn) a 的坐標(biāo)(-2,-2)代入 x

7、2=my,得 m=-2,可得拋物線方程為 x2=-2y,水位上升 0.5 m 后,將 y=-32代入拋物線方程可得,x= 3,故此時(shí)水面寬度為 23 m. 答案:c 11.已知 f 是拋物線 c:y2=8x 的焦點(diǎn),m 是拋物線 c 上一點(diǎn),fm 的延長(zhǎng)線交 y軸于點(diǎn) n.若 m 為 fn的中點(diǎn),則|fn|=6. 解析:設(shè)點(diǎn) n 的坐標(biāo)為(0,a),由點(diǎn) f(2,0),m 為 fn 的中點(diǎn),可得點(diǎn)m 的坐標(biāo)為(1,2).因?yàn)辄c(diǎn) m 在拋物線上,所以24=8,解得 a= 42.所以點(diǎn) n的坐標(biāo)為(0,42)或(0,-42),那么|fn|=(2-0)2+ (0 42)2=6. 12.拋物線 y2=

8、4x 的焦點(diǎn)為 f,點(diǎn) p 為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn) m 為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)fpm 為以點(diǎn) p 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí),其面積為 2. 解析:畫出草圖,過(guò) p 作準(zhǔn)線 l 的垂線,垂足為 m(圖略),則|pm|=|pf|.又因?yàn)閨pm|=|pf|,所以|pm|=|pm|,m 與 m重合,此時(shí) pmpf,pml,所以 pfl,|pm|=|pf|=2,所以 sfpm=12 2 2=2. 13.動(dòng)圓 p 與定圓 a:(x+2)2+y2=1外切,且與直線 l:x=1 相切,求動(dòng)圓圓心 p 的軌跡方程. 解:如圖,設(shè)動(dòng)圓圓心 p(x,y),過(guò)點(diǎn) p 作 pdl 于點(diǎn) d,作直線 l:x=2,過(guò)點(diǎn) p

9、 作 pdl于點(diǎn) d,連接 pa. 6 / 8 設(shè)圓 a 的半徑為 r,動(dòng)圓 p 的半徑為 r,可知 r=1. 因?yàn)閳A p 與圓 a 外切,所以|pa|=r+r=r+1. 又因?yàn)閳A p與直線 l:x=1相切, 所以|pd|=|pd|+|dd|=r+1. 因?yàn)閨pa|=|pd|,即動(dòng)點(diǎn) p 到定點(diǎn) a 的距離與到定直線 l的距離相等,所以點(diǎn) p 的軌跡是以 a為焦點(diǎn),以直線 l為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)拋物線的方程為 y2=-2px(p0),可知 p=4,所以所求的軌跡方程為 y2=-8x. 14.如圖所示,已知拋物線 y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為 f,a 是拋物線上橫坐標(biāo)為 4,且位于 x 軸上方的點(diǎn)

10、,點(diǎn) a 到拋物線準(zhǔn)線的距離等于 5,過(guò)點(diǎn) a 作 ab 垂直于 y軸,垂足為 b,ob 的中點(diǎn)為 m. (1)求拋物線的方程; (2)過(guò)點(diǎn) m 作 mnfa,垂足為 n,求點(diǎn) n的坐標(biāo). 解:(1)拋物線 y2=2px的準(zhǔn)線方程為 x=-2, 由 4+2=5,得 p=2, 所以拋物線的方程為 y2=4x. (2)由題意,得 a(4,4),b(0,4),m(0,2). 又因?yàn)辄c(diǎn) f的坐標(biāo)為(1,0),所以 kaf=43, 則 fa 的方程為 y=43(x-1). 7 / 8 因?yàn)?mnfa,所以 kmn=-34, 則 mn的方程為 y=-34x+2. 解方程組 = -34 + 2, =43(-

11、1),得 =85, =45, 所以點(diǎn) n的坐標(biāo)為(85,45). c 級(jí) 挑戰(zhàn)創(chuàng)新 15.多選題對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線,給出下列條件,其中滿足拋物線方程為 y2=10 x的是 ( ) a.焦點(diǎn)在 y軸上 b.焦點(diǎn)在 x軸上 c.拋物線上橫坐標(biāo)為 1 的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于 6 d.由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某直線作垂線,垂足坐標(biāo)可能為(2,1) 解析:拋物線 y2=10 x 的焦點(diǎn)在 x 軸上,b 項(xiàng)滿足,a 項(xiàng)不滿足;設(shè)m(1,y0)是拋物線 y2=10 x 上的一點(diǎn),則|mf|=1+2=1+52=726,所以 c 項(xiàng)不滿足;由于拋物線 y2=10 x 的焦點(diǎn)為(52,0),故可設(shè)過(guò)該焦點(diǎn)的直線方程為 y

12、=k(-52),若由原點(diǎn)向該直線作垂線,垂足為點(diǎn)(2,1)時(shí),則 k=-2,此時(shí)存在,所以 d項(xiàng)滿足. 答案:bd 16.多選題 如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系 oxy 中,拋物線c:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為 f,準(zhǔn)線為 l.設(shè) l與 x軸的交點(diǎn)為 k,p 為拋物線c 上異于 o 的任意一點(diǎn),pel 于點(diǎn) e,epf 的鄰補(bǔ)角的平分線交 x8 / 8 軸于點(diǎn) q,過(guò) q 作 qnpe 交 ep 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) n,作 qmpf交線段pf 于點(diǎn) m,則 ( ) a.|pe|=|pf| b.|pf|=|qf| c.|pn|=|mf| d.|pn|=|kf| 解析:由拋物線的定義,得|pe|=|pf|,a 項(xiàng)正確;因?yàn)?pnqf,pq 是fpn 的平分線,所以fqp=npq=fpq,所以|pf|=|qf|,b 項(xiàng)正確;由 pq 是fpn 的平分線,qnpe,qmpf,得|qm|=|qn|,從而有|pm|=|pn|,若|pn|=