高考數(shù)學一輪復(fù)習1 第1課時　利用空間向量求空間角

1、1 / 19 第 6講 立體幾何中的向量方法 最新考綱 考向預(yù)測 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用. 命題趨勢 本講內(nèi)容以幾何體為載體，重點考查有關(guān)空間的線線角、線面角、二面角與空間的距離的計算問題，這仍會是高考的熱點，題型多為解答題的第 2問. 核心素養(yǎng) 數(shù)學運算、數(shù)學建模 1兩條異面直線所成角的求法 設(shè) a，b 分別是兩異面直線 l1，l2的方向向量，則 l1與 l2所成的角 a 與 b 的夾角 范圍 0，2 0， 求法 cos |a b|a|b| cos a b|a|b| 2.直線與平面所成角的求法 設(shè)直線 l 的方

2、向向量為 a，平面 的法向量為 n，直線 l 與平面 所成的角為 ，a 與 n 的夾角為 ，則 sin |cos |a n|a|n| 3求二面角的大小 (1)如圖，ab，cd 分別是二面角 - l- 的兩個面內(nèi)與棱 l 垂直的直線，則二面角的大小 ab，cd (2)如圖，n1，n2分別是二面角 - l- 的兩個半平面 ，的法向量，則二面角的大小 滿足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量 n1與 n2的夾角(或其補角) 2 / 19 4利用空間向量求距離(供選用) (1)兩點間的距離 設(shè) 點a(x1， y1， z1) ， 點b(x2， y2， z2) ， 則 |ab| | a

3、b| （x1x2）2（y1y2）2（z1z2）2. (2)點到平面的距離 如圖所示，已知 ab為平面 的一條斜線段，n 為平面 的法向量，則 b到平面 的距離為|bo|ab n|n|. 常見誤區(qū) 1當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補角是異面直線所成的角 2線面角 的正弦值等于直線的方向向量 a 與平面的法向量 n 所成角的余弦值的絕對值，即 sin |cosa，n|，不要誤記為 cos |cosa，n|. 1判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)兩直線的方向向量的夾角就是兩條直線所成的角( ) (2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是

4、直線與平面所成的角( ) (3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角( ) (4)兩異面直線夾角的范圍是0，2，直線與平面所成角的范圍是0，2，二面角的范圍是0，( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 2已知兩平面的法向量分別為 m(0，1，0)，n(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為( ) a45 b135 c45或 135 d90 3 / 19 解析：選 c.因為 cosm，nm n|m| |n|11 222，故m，n45，故兩平面所成的二面角為 45或 135.故選 c項 3在正方體 abcd - a1b1c1d1中，e是 c1d1的中點，則異面直線 de與 ac所成角的

5、余弦值為( ) a1010 b120 c.120 d.1010 解析：選 d.如圖建立空間直角坐標系 dxyz，設(shè) da1，a(1，0，0)，c(0，1，0)，e0，12，1 ，則ac(1，1，0)，de0，12，1 ，設(shè)異面直線de與 ac 所成的角為 ，則 cos |cosac，de|1010. 4已知 2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，a c4，|b|12，則以b，c 為方向向量的兩直線的夾角為_ 解析：由題意得，(2ab)c0102010， 即 2a cb c10.因為 a c4，所以 b c18，所以 cosb，cb c|b| |c|1812 14412，所以b，c120，所

6、以兩直線的夾角為 60. 答案：60 5(易錯題)已知向量 m，n 分別是直線 l 的方向向量、平面 的法向量，若 cosm，n12，則 l 與 所成的角為_ 解析：設(shè) l 與 所成的角為 ，則 sin |cosm，n|12，所以 30. 答案：30 第 1 課時 利用空間向量求空間角 4 / 19 異面直線所成的角 題組練透 1若正四棱柱 abcd- a1b1c1d1的體積為 3，ab1，則直線 ab1與 cd1所成的角為( ) a30 b45 c60 d90 解析：選 c.因為正四棱柱 abcd- a1b1c1d1的體積為 3，ab1，所以 aa1 3， 以 d為原點，da所在直線為 x

7、軸， dc 所在直線為 y 軸，dd1所在直線為 z 軸，建立空間直角坐標系， 則 a(1，0，0)，b1(1，1， 3)，c(0，1，0)，d1(0，0， 3)， ab1(0，1， 3)，cd1(0，1， 3)， 設(shè)直線 ab1與 cd1所成的角為 ， 則 cos |ab1cd1|ab1|cd1|24 412， 又 090，所以 60， 所以直線 ab1與 cd1所成的角為 60.故選 c. 2在直三棱柱 abc- a1b1c1中，bca90，m，n 分別是 a1b1，a1c1的中點，bccacc1，則 bm 與 an所成角的余弦值為( ) a.110 b.25 c.3010 d.22 解析

8、：選 c.建立如圖所示的空間直角坐標系 設(shè) bccacc12，則可得 a(2，0，0)，b(0，2，0)，5 / 19 m(1，1，2)，n(1，0，2)，所以bm(1，1，2)，an(1，0，2) 所以 cosbm，anbm an|bm|an| 1412（1）222 （1）2022236 53010. 3如圖所示，在棱長為 2 的正方體 abcd - a1b1c1d1中，e 是棱 cc1的中點，afad，若異面直線 d1e 和 a1f 所成角的余弦值為3 210，則 的值為_ 解析：以 d 為原點，以 da，dc，dd1分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標系，正方體的棱長為 2，

9、則 a1(2，0，2)，d1(0，0，2)，e(0，2，1)，a(2，0，0)， 所以d1e(0，2，1)，a1fa1aafa1aad(0，0，2)(2，0，0)(2，0，2)，所以 cosa1f，d1ea1f d1e|a1f|d1e|22 21 53 210，解得 13(13舍去) 答案：13 求異面直線所成的角的兩個關(guān)注點 (1)用向量方法求兩條異面直線所成的角，是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解的 (2)由于兩異面直線所成角的范圍是 0，2，兩方向向量的夾角的范圍是0，所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系，應(yīng)有 cos |cos |. 6 / 19 直線與平面所成的角 (2020 新高考卷)如圖

10、，四棱錐 p- abcd 的底面為正方形，pd底面abcd.設(shè)平面 pad與平面 pbc 的交線為 l. (1)證明：l平面 pdc； (2)已知 pdad1，q為 l 上的點，求 pb 與平面 qcd 所成角的正弦值的最大值 【解】 (1)證明：因為 pd底面 abcd，所以 pdad. 又底面 abcd為正方形，所以 addc.因此 ad平面 pdc. 因為 adbc，ad平面 pbc，所以 ad平面 pbc. 由已知得 lad. 因此 l平面 pdc. (2)以 d 為坐標原點，da的方向為 x 軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系 dxyz，則 d(0，0，0)，c(0，1，0)，b

11、(1，1，0)，p(0，0，1)，dc(0，1，0)，pb(1，1，1) 由(1)可設(shè) q(a，0，1)，則dq(a，0，1) 設(shè) n(x，y，z)是平面 qcd的法向量，則n dq0，n dc0，即axz0，y0. 可取 n(1，0，a) 所以 cosn，pbn pb|n| |pb|1a3 1a2 . 設(shè) pb與平面 qcd所成角為 ， 則 sin 33|a1|1a233 12aa21. 7 / 19 因為33 12aa2163，當且僅當 a1時等號成立 所以 pb與平面 qcd 所成角的正弦值的最大值為63. 求直線與平面所成角的方法 (1)定義法：作，在斜線上選取恰當?shù)狞c向平面引垂線，在

12、這一步上確定垂足的位置是關(guān)鍵； 證，證明所作的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念； 求，構(gòu)造角所在的三角形，利用解三角形的知識求角 (2)公式法：sin hl(其中 h 為斜線上除斜足外的任一點到所給平面的距離，l 為該點到斜足的距離，為斜線與平面所成的角) (3)向量法：sin |cosab，n|ab n|ab|n|(其中 ab為平面 的斜線，n為平面 的法向量，為斜線 ab 與平面 所成的角) (2021 石家莊模擬)如圖，在四棱錐 p- abcd 中，底面 abcd 是菱形，papd，dab60. (1)證明：adpb； (2)若 pb 6，abpa2，求直

13、線 pb與平面 pdc所成角的正弦值 解：(1)證明：取 ad 的中點為 o，連接 po，bo，bd，如圖， 因為底面 abcd是菱形，且dab60， 所以abd是等邊三角形， 所以 boad. 又 papd，即pad 是等腰三角形， 所以 poad. 8 / 19 又 poboo， 所以 ad平面 pbo， 又 pb平面 pbo， 所以 adpb. (2)因為 abpa2， 所以由(1)知pad，abd 均是邊長為 2 的正三角形，則 po 3，bo3，又 pb 6，所以 po2bo2pb2，即 pobo， 又由(1)知，boad，poad， 所以以 o 為坐標原點，oa，ob，op所在直線

14、分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系， 則 d(1，0，0)，p(0，0， 3)，c(2， 3，0)，b(0， 3，0)， pb(0， 3， 3)，dp(1，0， 3)，cd(1， 3，0) 設(shè) n(x，y，z)是平面 pcd的法向量，則ndp，ncd， 所以 x 3z0，x 3y0，令 y1，解得 x 3，z1，即 n( 3，1，1)為平面 pcd的一個法向量 設(shè)直線 pb與平面 pdc 所成的角為 ，則 sin |cospb，n| 0 3 31（ 3）（1）6 5105， 所以直線 pb與平面 pdc所成角的正弦值為105. 二面角 9 / 19 (2020 大同調(diào)研)在如圖所

15、示的多面體中，ef平面 aeb，aeeb，adef，efbc，bc2ad4，ef3，aebe2，g是 bc 的中點 (1)求證：ab平面 deg； (2)求二面角 c- df- e 的余弦值 【解】 (1)證明：因為 adef，efbc， 所以 adbc，又 bc2ad，g 是 bc的中點， 所以 ad綊 bg，所以四邊形 adgb是平行四邊形，所以 abdg. 因為 ab平面 deg，dg平面 deg， 所以 ab平面 deg. (2)因為 ef平面 aeb，ae平面 aeb，be平面 aeb， 所以 efae，efbe，又 aeeb， 所以 eb，ef，ea兩兩垂直 以點 e 為坐標原點，

16、eb，ef，ea 所在的直線分別為 x，y，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系 則 e(0，0，0)，b(2，0，0)，c(2，4，0)，f(0，3，0)，d(0，2，2) 由已知得eb(2，0，0)是平面 efda的一個法向量 設(shè)平面 dcf的法向量為 n(x，y，z)， 則fd n0，fcn0，因 為 fd (0 ， 1 ， 2) ， fc (2 ， 1 ， 0) ， 所 以10 / 19 y2z0，2xy0，令 z1，得 y2，x1，所以可取 n(1，2，1) 設(shè)二面角 c- df- e的大小為 ，則 cos cosn，eb22 666. 易知二面角 c- df- e 為鈍二面角， 所以

17、二面角 c- df- e 的余弦值為66. 利用向量法計算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小 (2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小 (2021 貴陽市適應(yīng)性考試)如圖是一個半圓柱與多面體abb1a1c 構(gòu)成的幾何體，平面 abc 與半圓柱的下底面共面，且 acbc，p 為弧 a1b1上(不與 a1，b1重合)的動點 (1)證明：pa1平面 pbb1； (2)若四邊形

18、 abb1a1為正方形，且 acbc，pb1a14，求二面角p- a1b1c的余弦值 解：(1)證明：在半圓柱中，bb1平面 pa1b1，所以 bb1pa1. 因為 a1b1是直徑，所以 pa1pb1. 因為 pb1bb1b1，pb1平面 pbb1，bb1平面 pbb1， 所以 pa1平面 pbb1. 11 / 19 (2)以 c 為坐標原點，分別以 cb，ca 所在直線為 x 軸，y軸，過 c 與平面 abc 垂直的直線為 z 軸，建立空間直角坐標系 c- xyz，如圖所示 設(shè) cb1，則 c(0，0，0)，b(1，0，0)，a(0，1，0)，a1(0，1， 2)，b1(1，0， 2)，p(

19、1，1， 2) 所以ca1(0，1， 2)，cb1(1，0， 2) 平面 pa1b1的一個法向量為 n1(0，0，1) 設(shè)平面 ca1b1的法向量為 n2(x，y，z)， 則 y 2z0，x 2z0， 令 z1，則y 2，x 2，z1， 所以可取 n2( 2， 2，1)， 所以 cosn1，n211 555. 由圖可知二面角 p- a1b1c為鈍角， 所以所求二面角的余弦值為55. a級 基礎(chǔ)練 1.將邊長為 1的正方形 aa1o1o(及其內(nèi)部)繞 oo1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，ac長為23，a1b1長為3，其中 b1與 c 在平面 aa1o1o的同側(cè)則異面直線 b1c與 aa1所成的角的大小

20、為( ) a.6 b.4 c.3 d.2 12 / 19 解析：選 b.以 o 為坐標原點建系如圖，則 a(0，1，0)，a1(0，1，1)，b132，12，1 ，c32，12，0 . 所以aa1(0，0，1)，b1c(0，1，1)， 所以 cosaa1，b1caa1b1c|aa1|b1c| 000（1）1（1）1 02（1）2（1）222， 所以aa1，b1c34， 所以異面直線 b1c與 aa1所成的角為4.故選 b. 2 ( 多 選 )(2020 山 東 煙 臺 期 末 ) 如 圖 ， 在 正 方 體abcd- a1b1c1d1中，點 p在線段 b1c上運動，則( ) a直線 bd1平面

21、 a1c1d b三棱錐 p- a1c1d的體積為定值 c異面直線 ap與 a1d所成角的取值范圍是4，2 d直線 c1p與平面 a1c1d所成角的正弦值的最大值為63 解析：選 abd.對于選項 a，連接 b1d1，易知 a1c1b1d1，且 bb1平面a1b1c1d1，則 bb1a1c1，所以 a1c1平面 bd1b1，故 a1c1bd1；同理；連接 ad1，易證得 a1dbd1，故 bd1平面 a1c1d，故 a 正確對于選項 b，vpa1c1dvc1a1pd，因為點 p 在線段 b1c 上運動，所以 sa1dp12a1dab，面積為定值，又 c1到平面 a1pd 的距離即為 c1到平面

22、a1b1cd 的距離，也為定值，故三棱錐 p- a1c1d 的體積為定值，b 正確對于選項 c，當點p 與線段 b1c 的端點重合時，ap 與 a1d 所成角取得最小值，為3，故 c 錯誤對于選項 d，因為直線 bd1平面 a1c1d，所以若直線 c1p 與平面 a1c1d所成角的正弦值最大，則直線 c1p 與直線 bd1所成角的余弦值最大，此時 p 位于 b1c的中點處，即所成角為c1bd1，設(shè)正方體棱長為 1，在 rtd1c1b中，13 / 19 cosc1bd1c1bbd12363，故 d正確故選 abd. 3二面角的棱上有 a，b 兩點，直線 ac，bd 分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)

23、，且都垂直于 ab.已知 ab4，ac6，bd8，cd2 17.則該二面角的大小為_ 解析：如圖所示，二面角的大小就是ac，bd 因為cdcaabbd， 所以cd2ca2ab2bd22(ca abca bdab bd) ca2ab2bd22ca bd， 所以ca bd12(2 17)262428224. 因此ac bd24，cosac，bdac bd|ac|bd|12， 又ac，bd0，180， 所以ac，bd60，故二面角為 60. 答案：60 4正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)abca1b1c1的底面邊長為 2，側(cè)棱長為 2 2，則 ac1與側(cè)面 abb1a1所成的角為_ 解析：以 c

24、為原點建立空間直角坐標系如圖所示，得下列坐標：a(2，0，0)，c1(0，0，2 2)點 c1在側(cè)面 abb1a1內(nèi)的射影為點 c232，32，2 2 .所以ac1(2，0，22)，ac212，32，2 2 ， 14 / 19 設(shè)直線 ac1與平面 abb1a1所成的角為 ，則 cos |ac1ac2|ac1|ac2|1082 3332.又 0，2，所以 6. 答案：6 5.如圖所示，在菱形 abcd 中，abc60，ac 與 bd 相交于點 o，ae平面 abcd，cfae，abae2. (1)求證：bd平面 acfe； (2)當直線 fo 與平面 bed 所成的角為 45時，求異面直線of

25、與 be 所成角的余弦值的大小 解：(1)證明：因為四邊形 abcd 是菱形， 所以 bdac. 因為 ae平面 abcd，bd平面 abcd， 所以 bdae. 又因為 acaea，ac，ae平面 acfe. 所以 bd平面 acfe. (2)以 o 為原點，oa，ob 所在直線分別為 x 軸，y 軸，過點 o 且平行于 cf 的直線為 z 軸(向上為正方向)，建立空間直角坐標系， 設(shè) cfa(a0)，則 b(0， 3，0)，d(0， 3，0)，e(1，0，2)，f(1，0，a)(a0)，of(1，0，a) 設(shè)平面 ebd的法向量為 n(x，y，z)， 則有n ob0，n oe0，即 3y0

26、，x2z0， 令 z1，則 n(2，0，1)， 由題意得 sin 45|cosof，n|of n|of|n| 15 / 19 |2a|a21 522， 解得 a3或 a13(舍去) 所以of(1，0，3)，be(1， 3，2)， cosof，be1610 854， 故異面直線 of與 be所成角的余弦值為54. 6(2020 高考天津卷)如圖，在三棱柱 abc- a1b1c1中，cc1平面 abc，acbc，acbc2，cc13，點d，e 分別在棱 aa1和棱 cc1上，且 ad1，ce2，m 為棱 a1b1的中點 (1)求證：c1mb1d； (2)求二面角 b- b1ed的正弦值； (3)求

27、直線 ab與平面 db1e所成角的正弦值 解：依題意，以 c 為原點，分別以ca，cb，cc1的方向為 x 軸，y 軸，z 軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)，可得 c(0，0，0)，a(2，0，0)，b(0，2，0)，c1(0，0，3)，a1(2，0，3)，b1(0，2，3)，d(2，0，1)，e(0，0，2)，m(1，1，3) (1)證明：依題意，c1m(1，1，0)，b1d(2，2，2)，從而c1mb1d2200，所以 c1mb1d. (2)依題意，ca(2，0，0)是平面 bb1e 的一個法向量，eb1(0，2，1)，ed(2，0，1) 16 / 19 設(shè) n(x，y，z)為平面 d

28、b1e 的法向量，則n eb10，n ed0，即2yz0，2xz0.不妨設(shè) x1， 可得 n(1，1，2) 因此有 cosca，nca n|ca|n|66，于是 sinca，n306. 所以二面角 b- b1e- d的正弦值為306. (3)依題意，ab(2，2，0)由(2)知 n(1，1，2)為平面 db1e 的一個法向量，于是 cosab，nab n|ab|n|33. 所以直線 ab與平面 db1e所成角的正弦值為33. b級 綜合練 7.(2020 高考全國卷)如圖，在長方體 abcda1b1c1d1中，點 e，f分別在棱 dd1，bb1上，且 2deed1，bf2fb1. (1)證明：

29、點 c1在平面 aef 內(nèi)； (2)若 ab2，ad1，aa13，求二面角 a- ef- a1的正弦值 解：設(shè) aba，adb，aa1c，如圖，以 c1為坐標原點，c1d1的方向為 x 軸正方向，建立空間直角坐標系 c1xyz. (1)證明：連接 c1f，則 c1(0，0，0)，a(a，b，c)，e(a，0，23c)，f(0，b，13c)，ea(0，b，13c)，c1f(0，b，13c)，得eac1f， 因此 eac1f，即 a，e，f，c1四點共面， 所以點 c1在平面 aef內(nèi) (2)由已知得 a(2，1，3)，e(2，0，2)，f(0，1，1)，a1(2，1，0)，ae17 / 19 (

30、0，1，1)，af(2，0，2)，a1e(0，1，2)，a1f(2，0，1) 設(shè) n1(x，y，z)為平面 aef 的法向量，則 n1ae0，n1af0，即yz0，2x2z0，可取 n1(1，1，1) 設(shè) n2為平面 a1ef的法向量，則 n2a1e0，n2 a1f0，同理可取 n212，2，1 . 因為 cosn1，n2n1n2|n1|n2|77， 所以二面角 a- ef- a1的正弦值為427. 8(2021 唐山模擬)如圖，在四棱錐 p- abcd中，底面 abcd是矩形，側(cè)棱pd底面 abcd，pddc，點 e是 pc的中點 (1)求證：pa平面 bde； (2)若直線 bd與平面 pbc所成的角為 30，求二面角 c- pb- d 的大小 解：(1)證明：如圖，連接 ac交 bd于 o，連接 oe. 由題意可知，peec，aooc， 所以 paeo，又 pa平面 bed，eo平面 bed， 所以 pa平面 bed. (2)以 d 為坐標原點，da，dc，dp 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建