高考數(shù)學一輪復習第1講　導數(shù)的概念及運算

1、1 / 19 第第 1 講講 導數(shù)的概念及運算導數(shù)的概念及運算 1導數(shù)的概念 (1)f(x)在 xx0處的導數(shù)就是 f(x)在 xx0處的 01 瞬時變化率，記作：y|xx0 或 f(x0)，即 f(x0)limx0 f(x0 x)f(x0)x. (2)當把上式中的 x0看作變量 x 時，f(x)即為 f(x)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，即yf(x) 02 li mx0 f(xx)f(x)x. 2導數(shù)的幾何意義 函數(shù) f(x)在 xx0處的導數(shù)就是曲線 yf(x)在點 03 p(x0，f(x0)處的切線的斜率，即曲線 yf(x)在點 p(x0，f(x0)處的切線的斜率 kf(x0)，切線方程為 04

2、yy0f(x0)(xx0). 3基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 (1)c 05 0(c為常數(shù)) (2)(xn) 06 nxn1(nq*) (3)(sinx) 07 cosx. (4)(cosx) 08 sinx. (5)(ax) 09 axln_a. (6)(ex) 10 ex. (7)(logax) 111xln a. (8)(ln x) 121x. 4導數(shù)的運算法則 2 / 19 (1)f(x) g(x) 13 f(x) g(x). (2)f(x) g(x) 14 f(x)g(x)f(x)g(x). 特別地：c f(x) 15 cf(x)(c為常數(shù)) (3) f(x)g(x) 16f(x)g(x)

3、f(x)g(x)g(x)2(g(x)0) 5復合函數(shù)的導數(shù) 設(shè)函數(shù) u(x)在點 x 處有導數(shù) u(x)，函數(shù) yf(u)在點 x 的對應(yīng)點 u處有導數(shù) yf(u)，則復合函數(shù) yf(x)在點 x 處也有導數(shù) yxfu ux，即 y 對 x 的導數(shù)等于 y 對 u 的導數(shù)與 u對 x 的導數(shù)的乘積 1f(x0)與 x0的值有關(guān)，不同的 x0，其導數(shù)值一般也不同 2f(x0)不一定為 0，但f(x0)一定為 0. 3可導奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，可導偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，可導周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù) 4函數(shù) yf(x)的導數(shù) f(x)反映了函數(shù) f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其

4、大小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡” 5兩類切線問題的區(qū)別 (1)“過”與“在”：曲線 yf(x)“在點 p(x0，y0)處的切線”與“過點p(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者 p(x0，y0)為切點，而后者 p(x0，y0)不一定為切點 (2)“切點”與“公共點”：曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點，而直線與二次曲線相切只有一個公共點 1下列求導運算正確的是( ) a.x1x11x2 b(log2x)1xln 2 c(3x)3xlog3e d(x2cosx)2sinx 3 / 19 答案 b 解析 x1xx1x11x2；(3x)3xln 3；(x2

5、cosx)(x2)cosxx2(cosx)2xcosxx2sinx. 2已知 f(x)logax(a0，且 a1)，f(1)1，則 a( ) a1 b2 ce d10 答案 c 解析 f(x)logax，f(x)1xln a，則 f(1)1ln a，1ln a1，解得 ae，故選 c. 3函數(shù) yf(x)的圖象如圖，則導函數(shù) f(x)的大致圖象為( ) 答案 b 解析 由導數(shù)的幾何意義可知，f(x)為常數(shù)，且 f(x)0，由 yx3x，得切線斜率 kx03x02，x03.故選 a. (2)(2020 湖南岳陽檢測)已知函數(shù) f(x)e2x1，直線 l 過點(0，e)且與曲線 yf(x)相切，則

6、切點的橫坐標為( ) a1 b1 c2 de1 答案 a 解析 設(shè)切點為(x0，e2x01)，f(x)2e2x1， 2e2x01e2x01ex0，化簡得 2x01e22x0.令 y2x1e22x，則y22e22x0.x1時，y0，x01. 9 / 19 求切點坐標的方法 已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導數(shù)，然后讓導數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，將橫坐標代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標 5.若曲線 yxln x 上點 p 處的切線平行于直線 2xy10，則點 p的坐標是_. 答案 (e，e) 解析 設(shè)點 p(x0，y0)，yxln x，yln xx1x1ln x曲線

7、yxln x 在點 p處的切線斜率 k1ln x0.又 k2，1ln x02，x0e，y0eln ee.點 p的坐標是(e，e) 角度 3 導數(shù)與函數(shù)圖象 例 4 (1)已知函數(shù) yf(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù) yf(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是( ) 答案 b 解析 f(x)0，函數(shù) yf(x)是增函數(shù)，又 f(x)在(1,0)是增函數(shù)，在(0,1)是減函數(shù)，f(x)的斜率在(1,0)越來越大，在(0,1)越來越小，故選 b. (2)已知 yf(x)是可導函數(shù)，如圖，直線 ykx2 是曲線 yf(x)在 x3 處的切線，令 g(x)xf(x)，g(x)是 g(x)的導

8、函數(shù)，則 g(3)_. 10 / 19 答案 0 解析 由題可知 f(3)1，即 3k21，則 k13，即 f(3)13，又 g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，則 g(3)f(3)3f(x)0. 導數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面： (1)已知切點 a(x0，f(x0)求斜率 k，即求該點處的導數(shù)值 kf(x0) (2) 若 求 過 點p(x0， y0) 的 切 線 方 程 ， 可 設(shè) 切 點 為 (x1， y1) ， 由 y1f(x1)，y0y1f(x1)(x0 x1)求解即可 (3)函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化

9、情況 6如圖所示為函數(shù) yf(x)，yg(x)的導函數(shù)的圖象，那么 yf(x)，yg(x)的圖象可能是( ) 11 / 19 答案 d 解析 由導函數(shù)圖象可知兩函數(shù)的圖象在 x0處切線斜率相等，故選 d. 考向三 求參數(shù)的值或取值范圍 例 5 (1)若曲線 yf(x)ln xax2(a 為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線，則實數(shù) a 的取值范圍是( ) a.12， b12，) c(0，) d0，) 答案 d 解析 f(x)1x2ax2ax21x(x0)，根據(jù)題意有 f(x)0(x0)恒成立，所以 2ax210(x0)恒成立，即 2a1x2(x0)恒成立，所以 a0，故實數(shù) a 的取值范圍為0，)故

10、選 d. (2)(2020 山東省、海南省新高考高三 4月模擬)函數(shù) f(x)aln xex在點 p(1，f(1)處的切線與直線 2xy30 垂直，則 a_. 答案 e2 解析 由題意，得 f(x)axexaexln x(ex)2axaln xex. 又切線與直線 2xy30垂直，故切線斜率 k12. f(1)ae12，ae2. 處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：(1)切點處的導數(shù)是切線的斜率 (2)切點在切線上 (3)切點在曲線上 7.(2019 全國卷)已知曲線 yaexxln x 在點(1，ae)處的切線方程為 y2xb，則( ) 12

11、 / 19 aae，b1 bae，b1 cae1，b1 dae1，b1 答案 d 解析 yaexln x1，k切y|x1ae1，切線方程為 yae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1.又切線方程為 y2xb， ae12，b1，即 ae1，b1.故選 d. 8(2020 山東部分重點中學聯(lián)考)設(shè)點 p 是曲線 yx3 3x23上的任意一點，則曲線在點 p處切線的傾斜角 的取值范圍為( ) a0，2)56，) b23，) c0，2)23，) d2，56 答案 c 解析 因為 y3x2 3 3，故切線的斜率 k 3，所以切線的傾斜角 的取值范圍為0，2)23，).故選 c. 一、單項選擇題 1y

12、ln 1x的導函數(shù)為( ) ay1x by1x cyln x dyln (x) 答案 a 解析 yln 1xln x，y1x. 2. 已知函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，f(x)是 f(x)的導函數(shù)，下列數(shù)值排序正確13 / 19 的是( ) a0f(2)f(3)f(3)f(2) b0f(3)f(2)f(3)f(2) c0f(3)f(3)f(2)f(2) d0f(3)f(2)f(2)f(3) 答案 c 解析 設(shè) f(3)，f(3)f(2)，f(2)分別表示直線 n，m，l 的斜率，數(shù)形結(jié)合知 0f(3)f(3)f(2)0時，f(x)xln x1，則曲線 yf(x)在 x1 處的切線方程為( )

13、ayx byx2 cyx dyx2 答案 a 解析 因為函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，當 x0 時，f(x)xln x1，所以當 x0，所以 f(x)f(x)xln (x)1，所以 f(1)1，又 f(x)ln (x)1，所以 f(1)1，所以曲線 yf(x)在 x1 處的切線方程為 yx.故選 a. 7(2020 黑龍江二模)若曲線 yln x 在 x1 處的切線也是 yexb 的切線，則 b( ) a1 b2 c2 de 答案 b 解析 由 yln x 得 y1x，故 y|x11，切點坐標為 a(1,0)，故切線方程15 / 19 為 yx1.設(shè) yexb 的切點為 b(m，emb)，由 yex

14、b 得 yex，所以 em1，所以 m0，將 m0 代入切線方程得 b(0，1)，將 b(0，1)代入 yemb 得，1e0b，得 b2.故選 b. 8(2020 廣東汕頭期中)已知曲線 c：f(x)x3axa，若過點 a(1,1)引曲線c的兩條切線，它們的傾斜角互補，則 a的值為( ) a.38 b1 c98 d158 答案 d 解析 設(shè)切點為(x0，x30ax0a)，f(x)3x2a，f(x0)3x20a，過切點的切線方程為 y(x30ax0a)(3x20a)(xx0)，切線過點 a(1,1)，1(x30ax0a)(3x20a)(1x0)，整理為 2x303x2010，化簡為(x01)2(

15、2x01)0，x01 或 x012，f(1)3a，f1234a，由兩條切線的傾斜角互補，得 3a34a0，解得 a158. 9若 p 為曲線 yln x 上一動點，q 為直線 yx1 上一動點，則|pq|min( ) a0 b22 c 2 d2 答案 c 解析 如圖所示，直線 l 與曲線 yln x 相切且與直線 yx1平行時，切點p 到直線 yx1 的距離|pq|即為所求最小值(ln x)1x，令1x1，得 x1.故p(1,0)故|pq|min22 2.故選 c. 16 / 19 10已知函數(shù) f(x)xln x，若直線 l 過點(0，1)，并且與曲線 yf(x)相切，則直線 l 的方程為(

16、 ) axy10 bxy10 cxy10 dxy10 答案 b 解析 設(shè)直線 l 的方程為 ykx1，直線 l 與 f(x)的圖象的切點為(x0，y0)，則 kx01y0，x0ln x0y0，ln x01k.解得 x01，y00，k1. 所以直線 l 的方程為 yx1，即 xy10. 二、多項選擇題 11(2020 遼寧本溪滿族自治縣高級中學期末)若函數(shù) yf(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱 yf(x)具有 t 性質(zhì)下列函數(shù)中具有 t性質(zhì)的是( ) aycosx byln x cyex dyx2 答案 ad 解析 由題意 yf(x)具有 t 性質(zhì)，則存在 x

17、1，x2，使得 f(x1) f(x2)1.對于 a，因為 f(x)sinx，存在 x12，x22，使得 f(x1)f(x2)1；對于 b，因為 f(x)1x0，不存在 x1，x2，使得 f(x1) f(x2)1；對于 c，因為 f(x)ex0，不存在 x1，x2，使得 f(x1)f(x2)1；對于 d，因為f(x)2x，存在 x11，x214，使得 f(x1)f(x2)4x1x21.故選 ad. 12已知函數(shù) f(x)及其導函數(shù) f(x)，若存在 x0使得 f(x0)f(x0)，則稱 x0是 f(x)的一個“巧值點”下列選項中有“巧值點”的函數(shù)是( ) af(x)x2 bf(x)ex cf(x

18、)ln x df(x)tanx 17 / 19 答案 ac 解析 若 f(x)x2，則 f(x)2x，令 x22x，得 x0 或 x2，方程顯然有解，故 a 符合要求；若 f(x)ex，則 f(x)ex，令 exex，此方程無解，故 b 不符合要求；若 f(x)ln x，則 f(x)1x，令 ln x1x，在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù) yln x 與 y1x的圖象(作圖略)，可得兩函數(shù)的圖象有一個交點，所以方程 f(x)f(x)存在實數(shù)解，故 c 符合要求；若 f(x)tanx，則 f(x)sinxcosx1cos2x，令 tanx1cos2x，化簡得 sinxcosx1，變形可得 sin2x2

19、，無解，故 d不符合要求故選 ac. 三、填空題 13(2020 全國卷)設(shè)函數(shù) f(x)exxa.若 f(1)e4，則 a_. 答案 1 解析 f(x)ex(xa)ex(xa)2ex(xa1)(xa)2，則 f(1)ae(a1)2e4，整理可得a22a10，解得 a1. 14(2020 青島模擬)已知函數(shù) f(x)exax(e2.71828為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象恒過定點 a， (1)則點 a的坐標為_； (2)若 f(x)在點 a處的切線方程為 y2x1，則 a_. 答案 (1)(0,1) (2)1 解析 (1)由函數(shù) f(x)exax，知當 x0 時，無論 a 取何值，f(0)1，故f(

20、x)恒過定點 a(0,1) (2)由函數(shù) f(x)exax，得 f(x)exa，f(x)在點 a 處的切線斜率 kf(0)1a，f(x)在點 a處的切線方程為 y2x1，1a2，a1. 15已知函數(shù) f(x)exmx1的圖象為曲線 c，若曲線 c存在與直線 yex垂直的切線，則實數(shù) m的取值范圍是_. 18 / 19 答案 1e， 解析 由題意，知方程 f(x)1e有解，即 exm1e有解，即 exm1e有解，故只要 m1e0，即 m1e即可 16(2019 江蘇高考)在平面直角坐標系 xoy 中，點 a 在曲線 yln x 上，且該曲線在點 a 處的切線經(jīng)過點(e，1)(e 為自然對數(shù)的底數(shù))，則點 a 的坐標是_. 答案 (e,1) 解析 設(shè) a(m，n)(m0)，則曲線 yln x 在點 a處的切線方程為 yn1m(xm) 又切線過點(e，1)，所以有 n11m(me) 再由 nln m，解得 me，n1. 故點 a的坐標為(e,1) 四、解答題 17(2020 新高考卷改編)已知函數(shù) f(x)exln x1.求曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積 解 因為 f(x)ex1x，所以 f(1)e1， 曲線 yf(x)在點(1，f(1)處的切