函數(shù)的微分25727實(shí)用教案

1、一、微分(wi fn)的定義1. 問(wèn)題(wnt)的提出例1一個(gè)正方形薄片受熱膨漲，邊長(zhǎng)由 改變?yōu)?時(shí)，薄片面積改變多少？x0 xx0 2)( x xx 0 xx 00 x0 xx x 解)1()2(x 的線性(一次)函數(shù)(hnsh),的高階無(wú)窮小,很小時(shí)可忽略.x 2.5 函數(shù)的微分第1頁(yè)/共25頁(yè)第一頁(yè)，共26頁(yè)。再如,)1()2(一般地，如果(rgu)函數(shù)y = f (x)的增量可以表示為則 時(shí)，可用 的線性部分 近似表示x0 x A x y. 2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第2頁(yè)/共25頁(yè)第二頁(yè)，共26頁(yè)。定義(dngy)12. 微分(wi fn)的定義如果(rgu)則稱函數(shù)可微,記作微

2、分，并稱為函數(shù)2.5 函數(shù)的微分第3頁(yè)/共25頁(yè)第三頁(yè)，共26頁(yè)。定理(dngl)1證(1) 必要性3. 可微的充要條件即有2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第4頁(yè)/共25頁(yè)第四頁(yè)，共26頁(yè)。(2) 充分性從而(cng r)且微分(wi fn)一定是可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)0)(xxf定理1)(xf函函數(shù)數(shù)即有,0處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)x),(0 xfA 且且0().dyfxx2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第5頁(yè)/共25頁(yè)第五頁(yè)，共26頁(yè)。 稱為(chn wi)函數(shù)的微分(wi fn),記作稱為(chn wi)自變量的微分,記作注,)(的微分在任意點(diǎn)函數(shù)xxfy 導(dǎo)數(shù)又稱為微商！;,0是等價(jià)無(wú)窮小與

3、時(shí)當(dāng)ydyA2.5 函數(shù)的微分x的增量通常把自變量x 第6頁(yè)/共25頁(yè)第六頁(yè)，共26頁(yè)。例2解求函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的微分.yx3 xx2,0.02 2.5 函數(shù)(hnsh)的微分根據(jù)(gnj)微分的定義，第7頁(yè)/共25頁(yè)第七頁(yè)，共26頁(yè)。幾何(j h)意義二、微分(wi fn)的幾何意義增量(zn lin)時(shí);是曲線的縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的增量, xyO)(xfy T0 xMxx 0N Qy dy)( xo x 就是切線如果用切線來(lái)近似曲線，函數(shù)的改變量就是dy.2.5 函數(shù)的微分第8頁(yè)/共25頁(yè)第八頁(yè)，共26頁(yè)。三、微分的運(yùn)算(yn sun)法則與公式微分(wi fn)求法1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的微

4、分(wi fn)公式計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分.2.5 函數(shù)的微分第9頁(yè)/共25頁(yè)第九頁(yè)，共26頁(yè)。2. 函數(shù)(hnsh)和、差、積、商的微分法則dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第10頁(yè)/共25頁(yè)第十頁(yè)，共26頁(yè)。3. 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的微分法則如果函數(shù)和ux ( ) yf u( ) 可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) 的微分為yfx ( ) 或結(jié)論(jiln)(xfy dyfx d

5、x( ). 無(wú)論x 是自變量還是中間變量,函數(shù)的微分形式總是2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第11頁(yè)/共25頁(yè)第十一頁(yè)，共26頁(yè)。例3求 的微分.yxcos 解法一：根據(jù)微分(wi fn)的定義.法二：利用(lyng)微分的形式不變性.xdydxxsin.2 設(shè)ux, 代入2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第12頁(yè)/共25頁(yè)第十二頁(yè)，共26頁(yè)。例4解法一：根據(jù)(gnj)微分的定義法二：利用(lyng)微分形式不變性設(shè) ，求微分.xyesin 在求復(fù)合函數(shù)微分過(guò)程中可以不寫中間(zhngjin)變量,直接利用微分形式不變性.2.5 函數(shù)的微分第13頁(yè)/共25頁(yè)第十三頁(yè)，共26頁(yè)。例5設(shè)xxyya222

6、2,求dydx.解等式(dngsh)兩邊求微分，2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第14頁(yè)/共25頁(yè)第十四頁(yè)，共26頁(yè)。4. 微分(wi fn)和導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中， 為邊際函數(shù). fx( ) 彈性(tnxng)函數(shù)設(shè)生產(chǎn)x單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本為 , 稱成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 為邊際成本.f x( )fx( ) 它表示當(dāng)產(chǎn)品每增加一個(gè)單位時(shí)，成本需增加 .fx( ) 表示f (x)對(duì)x變化反應(yīng)(fnyng)的強(qiáng)度或敏感度.2.5 函數(shù)的微分第15頁(yè)/共25頁(yè)第十五頁(yè)，共26頁(yè)。彈性(tnxng)函數(shù)也表示函數(shù)的相對(duì)變化率.當(dāng)x變化1%時(shí)，函數(shù)f (x)約改變xfxf x( )%.( ) 2.5

7、 函數(shù)(hnsh)的微分第16頁(yè)/共25頁(yè)第十六頁(yè)，共26頁(yè)。解邊際(binj)函數(shù)是成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本P是產(chǎn)量(chnling)Q的函數(shù)，例6求邊際(binj)函數(shù)和彈性函數(shù).表示增加一件產(chǎn)品所增加的成本.2.5 函數(shù)的微分第17頁(yè)/共25頁(yè)第十七頁(yè)，共26頁(yè)。彈性(tnxng)函數(shù)為它表示(biosh)產(chǎn)量改變1%時(shí)，成本改變量的百分?jǐn)?shù).2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第18頁(yè)/共25頁(yè)第十八頁(yè)，共26頁(yè)。四、微分(wi fn)在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng) 時(shí)，x0 2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第19頁(yè)/共25頁(yè)第十九頁(yè)，共26頁(yè)。.,)()(00要很小要很小要容易算要容易算與與

8、xxfxf 例7解.)()()(000 xxfxfxxf 注2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第20頁(yè)/共25頁(yè)第二十頁(yè)，共26頁(yè)。證明(zhngmng)下列常用近似公式證例8由x=0附近(fjn)的近似計(jì)算公式，其它(qt)類似可證.2.5 函數(shù)的微分第21頁(yè)/共25頁(yè)第二十一頁(yè)，共26頁(yè)。例9解2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第22頁(yè)/共25頁(yè)第二十二頁(yè)，共26頁(yè)。內(nèi)容(nirng)小結(jié)1.微分(wi fn)的實(shí)質(zhì)2.微分的幾何(j h)意義基本微分公式，微分運(yùn)算法則，微分形式不變性.切線縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的增量;3.微分的求法函數(shù)增量的近似值；4.微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 2.5 函數(shù)的微分第23頁(yè)/共25頁(yè)第二十三頁(yè)，共26頁(yè)。思考(sko)練習(xí)2.5 函數(shù)(hnsh)的微分dyfx dx( ) 微分中的dx是否一定要很?。拷獯?jid) 不一定dxx 可以任意取值，當(dāng) 時(shí)，x1 ydyfxx( ). 第24頁(yè)/共25頁(yè)第二十四頁(yè)，共26頁(yè)。感謝您的觀看(gunkn)！第25頁(yè)/共25頁(yè)第二十五頁(yè)，共26頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)一、微分的定義。改變?yōu)?時(shí)，薄片面積改變多少。一般(ybn)地，如果函數(shù)y = f (x)的增量可