函數(shù)的微分25727實用教案

1、一、微分(wi fn)的定義1. 問題(wnt)的提出例1一個正方形薄片受熱膨漲，邊長由 改變?yōu)?時，薄片面積改變多少？x0 xx0 2)( x xx 0 xx 00 x0 xx x 解)1()2(x 的線性(一次)函數(shù)(hnsh),的高階無窮小,很小時可忽略.x 2.5 函數(shù)的微分第1頁/共25頁第一頁，共26頁。再如,)1()2(一般地，如果(rgu)函數(shù)y = f (x)的增量可以表示為則 時，可用 的線性部分 近似表示x0 x A x y. 2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第2頁/共25頁第二頁，共26頁。定義(dngy)12. 微分(wi fn)的定義如果(rgu)則稱函數(shù)可微,記作微

2、分，并稱為函數(shù)2.5 函數(shù)的微分第3頁/共25頁第三頁，共26頁。定理(dngl)1證(1) 必要性3. 可微的充要條件即有2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第4頁/共25頁第四頁，共26頁。(2) 充分性從而(cng r)且微分(wi fn)一定是可微可微在點在點函數(shù)函數(shù)0)(xxf定理1)(xf函函數(shù)數(shù)即有,0處可導處可導在點在點x),(0 xfA 且且0().dyfxx2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第5頁/共25頁第五頁，共26頁。 稱為(chn wi)函數(shù)的微分(wi fn),記作稱為(chn wi)自變量的微分,記作注,)(的微分在任意點函數(shù)xxfy 導數(shù)又稱為微商！;,0是等價無窮小與

3、時當ydyA2.5 函數(shù)的微分x的增量通常把自變量x 第6頁/共25頁第六頁，共26頁。例2解求函數(shù) 當 時的微分.yx3 xx2,0.02 2.5 函數(shù)(hnsh)的微分根據(jù)(gnj)微分的定義，第7頁/共25頁第七頁，共26頁。幾何(j h)意義二、微分(wi fn)的幾何意義增量(zn lin)時;是曲線的縱坐標縱坐標對應的增量, xyO)(xfy T0 xMxx 0N Qy dy)( xo x 就是切線如果用切線來近似曲線，函數(shù)的改變量就是dy.2.5 函數(shù)的微分第8頁/共25頁第八頁，共26頁。三、微分的運算(yn sun)法則與公式微分(wi fn)求法1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的微

4、分(wi fn)公式計算函數(shù)的導數(shù), 乘以自變量的微分.2.5 函數(shù)的微分第9頁/共25頁第九頁，共26頁。2. 函數(shù)(hnsh)和、差、積、商的微分法則dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第10頁/共25頁第十頁，共26頁。3. 復合函數(shù)(hnsh)的微分法則如果函數(shù)和ux ( ) yf u( ) 可導，則復合函數(shù) 的微分為yfx ( ) 或結論(jiln)(xfy dyfx d

5、x( ). 無論x 是自變量還是中間變量,函數(shù)的微分形式總是2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第11頁/共25頁第十一頁，共26頁。例3求 的微分.yxcos 解法一：根據(jù)微分(wi fn)的定義.法二：利用(lyng)微分的形式不變性.xdydxxsin.2 設ux, 代入2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第12頁/共25頁第十二頁，共26頁。例4解法一：根據(jù)(gnj)微分的定義法二：利用(lyng)微分形式不變性設 ，求微分.xyesin 在求復合函數(shù)微分過程中可以不寫中間(zhngjin)變量,直接利用微分形式不變性.2.5 函數(shù)的微分第13頁/共25頁第十三頁，共26頁。例5設xxyya222

6、2,求dydx.解等式(dngsh)兩邊求微分，2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第14頁/共25頁第十四頁，共26頁。4. 微分(wi fn)和導數(shù)在經濟學上的應用在經濟學中， 為邊際函數(shù). fx( ) 彈性(tnxng)函數(shù)設生產x單位產品所花費的成本為 , 稱成本函數(shù)的導數(shù) 為邊際成本.f x( )fx( ) 它表示當產品每增加一個單位時，成本需增加 .fx( ) 表示f (x)對x變化反應(fnyng)的強度或敏感度.2.5 函數(shù)的微分第15頁/共25頁第十五頁，共26頁。彈性(tnxng)函數(shù)也表示函數(shù)的相對變化率.當x變化1%時，函數(shù)f (x)約改變xfxf x( )%.( ) 2.5

7、 函數(shù)(hnsh)的微分第16頁/共25頁第十六頁，共26頁。解邊際(binj)函數(shù)是成本函數(shù)的導數(shù)，某廠生產產品的總成本P是產量(chnling)Q的函數(shù)，例6求邊際(binj)函數(shù)和彈性函數(shù).表示增加一件產品所增加的成本.2.5 函數(shù)的微分第17頁/共25頁第十七頁，共26頁。彈性(tnxng)函數(shù)為它表示(biosh)產量改變1%時，成本改變量的百分數(shù).2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第18頁/共25頁第十八頁，共26頁。四、微分(wi fn)在近似計算中的應用當 時，x0 2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第19頁/共25頁第十九頁，共26頁。.,)()(00要很小要很小要容易算要容易算與與

8、xxfxf 例7解.)()()(000 xxfxfxxf 注2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第20頁/共25頁第二十頁，共26頁。證明(zhngmng)下列常用近似公式證例8由x=0附近(fjn)的近似計算公式，其它(qt)類似可證.2.5 函數(shù)的微分第21頁/共25頁第二十一頁，共26頁。例9解2.5 函數(shù)(hnsh)的微分第22頁/共25頁第二十二頁，共26頁。內容(nirng)小結1.微分(wi fn)的實質2.微分的幾何(j h)意義基本微分公式，微分運算法則，微分形式不變性.切線縱坐標對應的增量;3.微分的求法函數(shù)增量的近似值；4.微分在近似計算中的應用 2.5 函數(shù)的微分第23頁/共25頁第二十三頁，共26頁。思考(sko)練習2.5 函數(shù)(hnsh)的微分dyfx dx( ) 微分中的dx是否一定要很??？解答(jid) 不一定dxx 可以任意取值，當 時，x1 ydyfxx( ). 第24頁/共25頁第二十四頁，共26頁。感謝您的觀看(gunkn)！第25頁/共25頁第二十五頁，共26頁。NoImage內容(nirng)總結一、微分的定義。改變?yōu)?時，薄片面積改變多少。一般(ybn)地，如果函數(shù)y = f (x)的增量可