高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2節(jié)　等差數(shù)列

1、1 / 15 第 2節(jié) 等差數(shù)列 知 識(shí) 梳 理 1等差數(shù)列的定義 (1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母 d 表示 (2)等差中項(xiàng)：如果 a，a，b 成等差數(shù)列，那么 a叫做 a與 b 的等差中項(xiàng) 2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式 如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為 a1，公差為 d，那么它的通項(xiàng)公式是 ana1(n1)d，其前 n 項(xiàng)和是 snn（a1an）2或 snna1n（n1）2d 3等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d(n，mn*) (2)若an為等差數(shù)列，且

2、 klmn(k，l，m，nn*)，則 akalaman 特別地，當(dāng) kl2m(k，l，mn*)時(shí)，則 akal2am (3)若an為等差數(shù)列，sn為前 n 項(xiàng)和，則 sn，s2nsn，s3ns2n，也成等差數(shù)列，公差為 n2d. (4)若等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，則snn也是等差數(shù)列 4等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)的關(guān)系 (1)通項(xiàng)公式：ana1(n1)ddn(a1d)，當(dāng) d0 時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于 n 的一次函數(shù)；當(dāng) d0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是常數(shù)函數(shù) (2)求和公式：snd2n2a1d2n，當(dāng) d0 時(shí)，等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式是關(guān)于n 的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為

3、 0；當(dāng) d0時(shí)，等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式為 snna1. 1用定義法證明等差數(shù)列應(yīng)注意“從第 2 項(xiàng)起”，如證明了 an1and(n2)時(shí)，應(yīng)注意驗(yàn)證 a2a1是否等于 d，若 a2a1d，則數(shù)列an不為等差數(shù)列 2利用二次函數(shù)性質(zhì)求等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和最值時(shí)，一定要注意自變量 n 是正整2 / 15 數(shù) 診 斷 自 測 1判斷下列說法的正誤 (1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)和它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列( ) (2)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差 d決定的( ) (3)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為 0 的二次函數(shù)( ) (4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意 nn*

4、，都有 2an1anan2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 解析 對(duì)(1)由定義知，若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù)，則此數(shù)列是等差數(shù)列，(1)錯(cuò)誤；對(duì)(3)，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為零時(shí)，此結(jié)論不正確 2一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為125，從第 10 項(xiàng)開始比 1 大，則這個(gè)等差數(shù)列的公差 d的取值范圍是( ) ad875 bd325 c.875d325 d.8751，a91，即1259d1，1258d1， 所以8750，a7a100，所以 3a80，即 a80，又 a7a100，所以 a8a90，則 a94 時(shí)有 s820， s2n1s2n9116，則 an( )

5、a6 b.172 c39 d78 (2)(2020 浙江卷)已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，公差 d0，且a1d1.記 b1s2，bn1s2n2s2n，nn*，下列等式不可能成立的是( ) a2a4a2a6 b2b4b2b6 ca24a2a8 db24b2b8 答案 (1)b (2)d 解析 (1)由題知 a1a2a820，且 s2n1s2n9a2n8a2n7a2n1116，故知 a1a2n1201168172an，所以 an172. (2)由 bn1s2n2s2n，得 b2a3a42a15d，b4a7a82a113d，b6a11a12，b8a15a162a129d.由等差數(shù)列的性質(zhì)易

6、知 a 成立；若 2b4b2b6，則 2(a7a8)a3a4a11a122a72a8，故 b 成立；若 a24a2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，則 a1d，故 c 可能成立；若 b24b2b8，即(2a113d)2(2a15d)(2a129d)，則a1d32，與已知矛盾，故 d不可能成立 感悟升華 利用等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的性質(zhì)能簡化運(yùn)算 【訓(xùn)練 2】 (1)已知等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 sn，且s4s813，則s8s16( ) a.310 b.37 c.13 d.12 (2)已知數(shù)列an，bn均為等差數(shù)列，且前 n 項(xiàng)和分別為 sn和 tn，若sntn3n2

7、n1，則a5b5等于( ) a.295 b.2910 c.285 d.2810 答案 (1)a (2)b 解析 (1)因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，所以 s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差6 / 15 數(shù)列，因?yàn)閟4s813，所以不妨設(shè) s41，則 s83，所以 s8s42，所以 s16123410，所以s8s16310. (2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前 n 項(xiàng)和公式，有a5b52a52b59（a1a9）29（b1b9）2s9t9392912910.故選 b. 考點(diǎn)三 等差數(shù)列的判定與證明 【例 3】 (2021 臺(tái)州模擬)已知數(shù)列an滿足 a12，an12an1an. (1)求證：數(shù)列1

8、an1是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 (1)證明 由1an1112an1an1anan11an11，得1an111an11， 又 a12，1a111， 數(shù)列1an1是以 1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列 (2)解 由(1)知，1an1n，ann1n， 數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 ann1n. 感悟升華 等差數(shù)列的判定與證明方法 方法 解讀 適合題型 定義法 對(duì)于任意自然數(shù) n(n2)，anan1(n2，nn*)為同一常數(shù)an是等差數(shù)列 解答題中證明問題 等差中項(xiàng)法 2an1anan2(n3，nn*)成立an是等差數(shù)列 通項(xiàng)公式anpnq(p，q為常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù) n都選擇、填空題中的判7

9、/ 15 法 成立an是等差數(shù)列 定問題 前 n項(xiàng)和公式法 驗(yàn)證 snan2bn(a，b是常數(shù))對(duì)任意的正整數(shù) n 都成立an是等差數(shù)列 【訓(xùn)練 3】 已知數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 sn，a11，an0，anan1sn1，其中 為常數(shù) (1)證明：an2an； (2)是否存在 ，使得an為等差數(shù)列？并說明理由 (1)證明 由題設(shè)知，anan1sn1，an1an2sn11. 兩式相減得 an1(an2an)an1. 由于 an10，所以 an2an. (2)解 由題設(shè)知，a11，a1a2s11，可得 a21. 由(1)知，a31. 由 2a2a1a3，解得 4. 故 an2an4， 由此可得a2n

10、1是首項(xiàng)為 1，公差為 4 的等差數(shù)列，a2n14n32(2n1)1； a2n是首項(xiàng)為 3，公差為 4 的等差數(shù)列，a2n 4n12 2n1. 所以 an2n1，an1an2. 因此存在 4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列 考點(diǎn)四 等差數(shù)列最值問題 【例 4】 (1)(一題多解)設(shè)等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 sn，已知 a113，s3s11，當(dāng) sn最大時(shí)，n 的值是( ) a5 b6 c7 d8 (2)已知等差數(shù)列 16，14，12，的前 n 項(xiàng)和為 sn，且 sn0，則 n 的最大值為_ 答案 (1)c (2)16 8 / 15 解析 (1)法一 由 s3s11，得 a4a5a110，根據(jù)等差數(shù)列

11、的性質(zhì)，可得a7a80.根據(jù)首項(xiàng)等于 13 可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而得到 a70，a80，即n217n0，解得 0n0 且a6a5911，則當(dāng) sn取最大值時(shí)，n 的值為( ) a9 b10 c11 d12 (2)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，sn是其前 n 項(xiàng)和，若 sn存在最大值，則在 s1，s22，s33，s20212 021中最大的數(shù)是( ) as1 b.s20142 014 c.s20212 021 d無法確定 答案 (1)b (2)a 解析 (1)由a6a5911，得 s11s9，即 a10a110，根據(jù)首項(xiàng) a10 可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而 a100，a110，故 n10 時(shí)，sn最大

12、 (2)由題意可知數(shù)列an是等差數(shù)列，且前 n 項(xiàng)和 sn存在最大值，公差 d0，s140，s140，a1a14a7a80，a80，所以 sn取最大值時(shí) n的值為 7，故選 b. 6在等差數(shù)列an中，若a9a80 時(shí)，n的最小值為( ) a14 b15 c16 d17 答案 c 解析 數(shù)列an是等差數(shù)列，它的前 n 項(xiàng)和 sn有最小值，公差 d0，首項(xiàng)a10，an為遞增數(shù)列，a9a81，a8 a90，由等差數(shù)列的性質(zhì)知2a8a1a150.sn（a1an）n2，當(dāng) sn0 時(shí)，n 的最小值為 16. 二、填空題 7(2018 上海卷)記等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，若 a30，a6a714

13、，則 s7_ 答案 14 解析 a6a72a111d14，a3a12d0，d2，a42，s77a414. 8(2021 名校仿真訓(xùn)練三)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn，若 a35，s312，則公差 d_，通項(xiàng)公式 an_ 答案 1 n2 解析 由 s312，得 3a212，即 a24，又 a35，則 da3a21，故通項(xiàng)公11 / 15 式 ana2(n2)dn2. 9(2019 北京卷)設(shè)等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 sn，若 a23，s510，則 a5_，sn的最小值為_ 答案 0 10 解析 設(shè)首項(xiàng)為 a1, 公差為 d， a2a1d3，s55a110d10， a14，d1，a5a14

14、d0， ana1(n1)dn5. 令 an0，則 n5，即數(shù)列an中前 4項(xiàng)為負(fù)，a50，第 6項(xiàng)及以后為正 sn的最小值為 s4s510. 10已知等差數(shù)列an中，a1a37，設(shè)其前 n項(xiàng)和為 sn，且 s4s6，則其公差d_，其前 n 項(xiàng)和 sn取得最大值時(shí) n_ 答案 1 5 解析 由 s4s6，知 a5a60，則有a1a12d7，a14da15d0， 解得a192，d1，所以 an92(n1)(1)112n.由112n0，得 n112，又nn*，所以當(dāng) n5 時(shí)，sn取得最大值 三、解答題 11已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為 a，4，3a，前 n項(xiàng)和為 sn，且 sk110. (1)求 a

15、 及 k的值； (2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式 bnsnn，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求其前 n 項(xiàng)和tn. (1)解 設(shè)該等差數(shù)列為an，則 a1a，a24，a33a， 由已知有 a3a8，得 a1a2，公差 d422， 所以 skka1k（k1）2 d2kk（k1）22k2k， 由 sk110，得 k2k1100， 解得 k10或 k11(舍去)，故 a2，k10. 12 / 15 (2)證明 由(1)得 snn（22n）2n(n1)， 則 bnsnnn1， 故 bn1bn(n2)(n1)1， 即數(shù)列bn是首項(xiàng)為 2，公差為 1 的等差數(shù)列， 所以 tnn（2n1）2n（n3）2. 12設(shè)a

16、n是等差數(shù)列，a110，且 a210，a38，a46 成等比數(shù)列 (1)求an的通項(xiàng)公式； (2)記an的前 n 項(xiàng)和為 sn，求 sn的最小值 解 (1)設(shè)an的公差為 d. 因?yàn)?a110， 所以 a210d，a3102d，a4103d. 因?yàn)?a210，a38，a46成等比數(shù)列， 所以(a38)2(a210)(a46) 所以(22d)2d(43d) 解得 d2. 所以an的通項(xiàng)公式為 ana1(n1)d2n12. (2)由(1)知，an2n12. 則當(dāng) n7 時(shí)，an0； 當(dāng) n6 時(shí)，an0；當(dāng) n6時(shí)，an0； 所以 sn的最小值為 s5s630. 能力提升題組 13(2021 山水

17、聯(lián)盟考試)已知an為等差數(shù)列，且 ln a22a1a3，則( ) a|a1|a2|且|a3|a4| b|a1|a4| c|a1|a2|且|a3|a2|且|a3|a4| 答案 c 13 / 15 解析 因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)公差為 d，且 ln a22a1a3，所以 3a2dln a2a21，則 d2a21.因?yàn)?a20，所以 d0，所以 0a3a4，所以有|a3|a2|，故選 c. 14如圖，點(diǎn)列an，bn分別在某銳角的兩邊上，且|anan1|an1an2|，anan2，nn*，|bnbn1|bn1bn2|，bnbn2，nn*(pq 表示點(diǎn) p 與 q 不重合)若dn|anbn|，sn為a

18、nbnbn1的面積，則( ) asn是等差數(shù)列 bs2n是等差數(shù)列 cdn是等差數(shù)列 dd2n是等差數(shù)列 答案 a 解析 sn表示點(diǎn) an到對(duì)面直線的距離(設(shè)為 hn)乘以|bnbn1|長度的一半，即 sn12hn|bnbn1|，由題目中條件可知|bnbn1|的長度為定值，過 a1作垂線得到初始距離h1，那么 a1，an和相應(yīng)兩個(gè)垂足構(gòu)成直角梯形，則 hnh1|a1an|sin (其中 為兩條線所成的銳角，為定值)， 從而 sn12(h1|a1an|sin )|bnbn1|， sn112(h1|a1an1|sin )|bnbn1|， 則 sn1sn12|anan1|bnbn1|sin 為定值， 所以 sn1sn為定值，故選 a. 15(2021 湖州中學(xué)質(zhì)檢一)已知等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為