高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)(五十六)　拋物線 (3)

1、1 / 5 課時(shí)作業(yè)(五十六) 拋物線 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)組 一、單項(xiàng)選擇題 1拋物線 y14x2的準(zhǔn)線方程為( ) ay1 by1 cx1 dx116 解析 拋物線 y14x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24y，則 p2，p21，所以拋物線 y14x2的準(zhǔn)線方程為 y1。故選 a。 答案 a 2已知點(diǎn)(2,3)與拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)的距離是 5，則 p 的值為( ) a4 b3 c2 d1 解析 y22px(p0)的焦點(diǎn)為p2，0 ，則 p222(03)25，解得 p4 或 p12(舍去)。故選a。 答案 a 3若拋物線 y28x 上一點(diǎn) p 到其焦點(diǎn)的距離為 10，則點(diǎn) p 的坐標(biāo)為( ) a(8,

2、8) b(8，8) c(8， 8) d(8， 8) 解析 設(shè) p(xp，yp)，因?yàn)辄c(diǎn) p 到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線 x2 的距離，所以 xp8，則 yp 8，所以點(diǎn) p 的坐標(biāo)為(8， 8)。故選 c。 答案 c 4(2020 全國(guó)卷)設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 x2 與拋物線 c：y22px(p0)交于 d，e 兩點(diǎn)，若 odoe，則 c 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) a14，0 b12，0 c(1,0) d(2,0) 解析 將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，可得 y 2 p，不妨設(shè) d(2，2 p)，e(2，2 p)，由 odoe，可得od oe44p0，解得 p1，所以拋物線 c 的方程為 y22x，其

3、焦點(diǎn)坐標(biāo)為12，0 。 答案 b 5過(guò)拋物線 x24y 的焦點(diǎn) f 作直線，交拋物線于 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)兩點(diǎn)，若 y1y26，則|p1p2|( ) a5 b6 c8 d10 解析 過(guò) p1作 p1m準(zhǔn)線 l，垂足為 m，過(guò) p2作 p2n準(zhǔn)線 l，垂足為 n，由拋物線定義知|p1f|p1m|y11，|p2f|p2n|y21，所以|p1p2|p1f|p2f|y1y228。故選 c。 答案 c 6已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線為 l，l 與 x 軸的交點(diǎn)為 p，點(diǎn) a 在拋物線 c 上，過(guò)點(diǎn) a 作 aal，垂足為 a。若四邊形 aapf 的面積為 14

4、，且 cosfaa35，則拋物線 c 的方程為( ) ay28x by24x cy22x dy2x 解析 過(guò)點(diǎn) f 作 ffaa，垂足為 f。設(shè)|af|3x，因?yàn)?cosfaa35，所以|af|5x，|ff|4x，由拋物線定義可知，|af|aa|5x，則|af|2xp，故 xp2。四邊形 aapf 的面積2 / 5 s(|pf|aa|) |pa|2p52p 2p214，解得 p2(舍去負(fù)值)，故拋物線 c 的方程為 y24x。故選 b。 答案 b 二、多項(xiàng)選擇題 7在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，點(diǎn) m(4,4)在拋物線 y22px(p0)上，拋物線的焦點(diǎn)為 f，延長(zhǎng) mf 與拋物線相交于點(diǎn) n

5、，則下列結(jié)論中正確的是( ) a拋物線的準(zhǔn)線方程為 x1 b線段 mn 的長(zhǎng)度為174 c點(diǎn) n 的坐標(biāo)為14，1 domn 的面積為52 解析 將(4,4)代入拋物線方程，可得 p2，因此拋物線方程為 y24x，于是準(zhǔn)線方程為 x1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，故 a 正確；設(shè) n(x2，y2)，由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知 4x22241，所以 x214，代入拋物線方程可得y21，即 n14，1 ，所以|mn|4142254，故 b 錯(cuò)誤，c 正確；omn 的面積 s12|of| (4|y2|)121552。故 acd 正確。 答案 acd 8已知拋物線 x24y 的焦點(diǎn)為 f，經(jīng)過(guò)點(diǎn) f 的直線交拋物線

6、于 a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點(diǎn)，點(diǎn) a，b 在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為 a1，b1，則( ) ax1x24 b|ab|y1y21 ca1fb12 dab的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離的最小值為 2 解析 拋物線 x24y 的焦點(diǎn)為 f(0,1)，易知直線 ab 的斜率存在，設(shè)直線 ab 的方程為 ykx1。由 ykx1，x24y，得 x24kx40，則 x1x24k，x1x24，a 正確；|ab|af|bf|y11y21y1y22，b 錯(cuò)誤；fa1(x1，2)，fb1(x2，2)，所以fa1 fb1x1x240，所以fa1fb1，a1fb12，c 正確；ab 的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離

7、 d12(|aa1|bb1|)12(y1y22)12(kx11kx212)12(4k24)2，當(dāng) k0 時(shí)等號(hào)成立，所以 d 正確。故選 acd。 答案 acd 三、填空題 9拋物線 yax2的焦點(diǎn)是直線 xy10 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則拋物線準(zhǔn)線的方程是_。 解析 因?yàn)閽佄锞€ yax2的焦點(diǎn)在縱軸上，而直線 xy10 與縱軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)，因此拋物線準(zhǔn)線的方程是 y1。 答案 y1 10(2020 新高考卷)斜率為 3的直線過(guò)拋物線 c：y24x 的焦點(diǎn)，且與 c 交于 a，b 兩點(diǎn)，則|ab|_。 解析 由題意得直線方程為 y 3(x1)，聯(lián)立方程 y 3(x1)，y24x，得 3x

8、210 x30，所以 xaxb103，故|ab|1xa1xb2103163。 答案 163 11(2021 江西九校聯(lián)考)已知拋物線 x22py(p0)的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線為 l，點(diǎn) p(4，y0)在拋物線上，k為 l 與 y 軸的交點(diǎn)，且|pk| 2|pf|，則 y0_。 解析 如圖，過(guò) p 作準(zhǔn)線的垂線，垂足為 m，則|pm|pf|，所以|pk| 2|pf| 2|pm|，|km|pm|4，y04p2，把 p4，4p2代入拋物線方程 x22py，解得 p4，故 y02。 3 / 5 答案 2 四、解答題 12已知 f 為拋物線 c：x212y 的焦點(diǎn)，直線 l：ykx4 與 c 相交于 a，b

9、 兩點(diǎn)。 (1)o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求oa ob； (2)m為 c 上一點(diǎn)，f 為abm的重心(三邊中線的交點(diǎn))，求 k。 解 (1)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)， 將 l的方程代入 c 得，x212kx480， 所以 x1x212k，x1x248，y1y2(x1x2)212216， 從而oa obx1x2y1y232。 (2)依題意得 f(0,3)，設(shè) m(x3，y3)， 因?yàn)?f 為abm的重心， 所以 x1x2x30，y1y2y39， 從而 x3(x1x2)12k， y39(y1y2)9x21x22129(x1x2)22x1x212112k2。 因?yàn)?m(x3，y3)在拋物線 c

10、上， 所以(12k)212(112k2)，即 k2124。 故 k612或 k612。 13(2020 全國(guó)卷)已知橢圓 c1：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn) f 與拋物線 c2的焦點(diǎn)重合，c1的中心與c2的頂點(diǎn)重合。過(guò) f 且與 x軸垂直的直線交 c1于 a，b 兩點(diǎn)，交 c2于 c，d 兩點(diǎn)，且|cd|43|ab|。 (1)求 c1的離心率； (2)設(shè) m 是 c1與 c2的公共點(diǎn)。若|mf|5，求 c1與 c2的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解 (1)由已知可設(shè) c2的方程為 y24cx， 其中 c a2b2。 不妨設(shè) a，c 在第一象限，由題設(shè)得 a，b 的縱坐標(biāo)分別為b2a，b2a；c，d 的縱

11、坐標(biāo)分別為 2c，2c， 故|ab|2b2a，|cd|4c。 由|cd|43|ab|得 4c8b23a， 即 3ca22ca2， 解得ca2(舍去)或ca12。 所以 c1的離心率為12。 (2)由(1)知 a2c，b 3c，故 c1：x24c2y23c2 1。 設(shè) m(x0，y0)， 則x204c2y203c2 1，y204cx0， 故x204c24x03c1 。 由于 c2的準(zhǔn)線為 xc， 所以|mf|x0c， 4 / 5 而|mf|5，故 x05c， 代入得(5c)24c24(5c)3c1， 即 c22c30， 解得 c1(舍去)或 c3。 所以 c1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x236y2271， c

12、2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y212x。 素養(yǎng)提升組 14(2021 八省聯(lián)考)已知拋物線 y22px 上三點(diǎn) a(2,2)，b，c，直線 ab，ac 是圓(x2)2y21 的兩條切線，則直線 bc 的方程為( ) ax2y10 b3x6y40 c2x6y30 dx3y20 解析 a(2,2)在拋物線 y22px 上，故 2222p，即 p1，拋物線方程為 y22x。 解法一：設(shè) by212，y1，cy222，y2，則直線 ab 的方程為 y2y12y2122(x2)，即 lab：2x(y12)y2y10。又因?yàn)橹本€ ab 與圓(x2)2y21 相切，所以 dr|42y1|22(y12)21，所以 3y2

13、112y180，即 6x112y180，即 3x16y140。同理 3x26y240，所以 b(x1，y1)，c(x2，y2)都在直線 3x6y40上。故選 b。 解法二：設(shè)過(guò)點(diǎn) a(2,2)與圓(x2)2y21 相切的直線的方程為 y2k(x2)，即 kxy22k0，則圓心(2,0)到切線的距離 d|2k022k|k211，解得 k 3，如圖，直線 ab：y2 3(x2)，直線ac：y2 3(x2)。 聯(lián)立 y2 3(x2)，y22x，得 3x2(4 314)x168 30，故 xaxb168 33，由 xa2 得 xb84 33，故 yb2 363，聯(lián)立 y2 3(x2)，y22x，得 3

14、x2(4314)x16830，故 xaxc168 33，由 xa2 得 xc84 33，故 yc2 363，故 ybyc2 3632 3634，又由 b，c在拋物線上可知，直線 bc 的斜率為 kbcybycxbxcybyc12y2b12y2c2ybyc2412，故直線 bc 的方程為 y2 36312x84 33，即 3x6y40。故選 b。 答案 b 15(多選)設(shè) m，n 是拋物線 y2x 上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，o 是坐標(biāo)原點(diǎn)。若直線 om 與 on 的斜率之積為12，則下列結(jié)論正確的是( ) 5 / 5 a|om|on|4 2 b以 mn 為直徑的圓的面積大于 4 c直線 mn 過(guò)定點(diǎn)(2

15、,0) d點(diǎn) o 到直線 mn 的距離不大于 2 解析 不妨設(shè) m 為第一象限內(nèi)的點(diǎn)。當(dāng)直線 mnx 軸時(shí)，komkon，由 kom kon12，得 kom22，kon22，所以直線 om，on 的方程分別為 y22x，y22x，與拋物線方程聯(lián)立，得 m(2，2)，n(2， 2)，所以直線 mn 的方程為 x2，此時(shí)|om|on|2 6，以 mn 為直徑的圓的面積 s2，ab 錯(cuò)誤。當(dāng)直線 mn 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 mn 的方程為 ykxm，與拋物線方程聯(lián)立消去 x，得ky2ym0，則 14km0。設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，則 y1y2mk。因?yàn)?kom kon12，所以

16、y1x1y2x212，則 2y2y1x2x1y21y22，則 y1y22，所以mk2，即 m2k，所以直線 mn 的方程為 ykx2k，即 yk(x2)。綜上可知，直線 mn 為恒過(guò)定點(diǎn) q(2，0)的動(dòng)直線，c 正確；易知當(dāng) oqmn 時(shí)，原點(diǎn) o 到直線 mn 的距離最大，最大距離為 2，即原點(diǎn) o 到直線 mn 的距離不大于 2，d 正確。 答案 cd 16過(guò) f(0,1)的直線 l 與拋物線 c：x24y 交于 a，b 兩點(diǎn)，以 a，b 兩點(diǎn)為切點(diǎn)分別作拋物線 c 的切線 l1，l2，設(shè) l1與 l2交于點(diǎn) q(x0，y0)。 (1)求 y0； (2)過(guò) q，f 的直線交拋物線 c 于 m，n 兩點(diǎn)，求四邊形 ambn 面積的最小值。 解 (1)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，直線 l：ykx1， 由 x24y，ykx1，得 x24kx40， 所以 x1x24k，x1x24， 由 x24yy12x， 所以 l1：yy112x1(xx1)， 即 l1：y12x1xx214。 同理 l2：y12x2x