高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題02 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（原卷版）

1、1 / 8 專題專題 02 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1、（2019 年江蘇高考卷）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn) a在曲線 y=lnx 上，且該曲線在點(diǎn) a處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn) a 的坐標(biāo)是_. 2、【2019 年高考全國(guó)卷文數(shù)】曲線23()exyxx=+在點(diǎn)(0 )0，處的切線方程為_ 3、【2019 年高考天津文數(shù)】曲線cos2xyx=在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為_ 4、【2018 年高考天津文數(shù)】已知函數(shù) f(x)=exlnx，f(x)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則 f（1）的值為_ 5、【2018 年高考全國(guó)卷文數(shù)】曲線2lnyx=在點(diǎn)(1, 0)處的切

2、線方程為_ 6、【2017 年高考全國(guó)卷文數(shù)】曲線21yxx=+在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為_ 7、【2017 年高考天津文數(shù)】已知ar，設(shè)函數(shù)( )lnf xaxx=的圖象在點(diǎn)（1，(1)f）處的切線為 l，則 l 在 y 軸上的截距為_ 一、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及運(yùn)算法則 1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (1)(x)x1 ( 為常數(shù))； (2)(ax)axln_a(a0且 a1)； (3)(logax)1xlogae1xln a (a0，且 a1)； (4)(ex)ex； (5)(ln x)1x 2 / 8 (6)(sin x)cos_x； (7)(cos x)sin_x. 備注：求導(dǎo)之前，應(yīng)利用

3、代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)； 有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行求導(dǎo)，有時(shí)可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量； 2、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 （1）f(x) g(x)f(x) g(x)； （2）f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； （3）f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x) (g(x)0). 二、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，需注意以下兩點(diǎn)： 1、函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) f(x0)的幾何意義是在曲線 yf(x)上點(diǎn)(x0，f(x

4、0)處的切線的斜率.相應(yīng)地，切線方程為 yf(x0)f(x0)(xx0). 2、函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 若 f(x)對(duì)于區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)都可導(dǎo)，則 f(x)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量 x 的變化而變化，因而也是自變量 x 的函數(shù)，該函數(shù)稱為 f(x)的導(dǎo)函數(shù). (1)當(dāng)曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線垂直于x軸時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程是xx0； (2)注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過某點(diǎn)的切線.曲線yf(x)在點(diǎn)p(x0，f(x0)處的切線方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求過某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解. 3、方法與技巧 （1

5、）f(x0)代表函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)值；(f(x0)是函數(shù)值f(x0)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個(gè)常量，其導(dǎo)數(shù)一定為 0，即(f(x0)0. （2）對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則.求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤. 3 / 8 三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 (1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性； (2)已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)范圍可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題； (3)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x(a，b)都有f(x)0 且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(

6、x)0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解. 四、導(dǎo)數(shù)的極值 (1)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn).所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn). (2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值. 五、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 1、函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù) f(x)在a，b上必有最大值與最小值. (2)若函數(shù) f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則 f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù) f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則 f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小

7、值. (3)設(shè)函數(shù) f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟如下： 求 f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值； 將 f(x)的各極值與 f(a)，f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值. 2、求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)yf(x)在a，b內(nèi)所有使f(x)0 的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f(x)0 的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得. 3、可以利用列表法研究函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的變化情況. 用導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上的函數(shù)的最值問題一般可用以下幾步答題： 第一步：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)； 第二步：求f(x)在給定區(qū)間上

8、的單調(diào)性和極值； 第三步：求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值； 4 / 8 第四步：將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f(x)的最大值與最小值； 第五步：反思回顧：查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范. 4、方法與技巧 (1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值可列表觀察函數(shù)的變化情況，直觀而且條理，減少失分. (2)求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小. (3)在實(shí)際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較. 5、失誤與防范 (1)注意定義域優(yōu)先的原則，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)必須在函數(shù)

9、的定義域內(nèi)進(jìn)行. (2)求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論. (3)解題時(shí)要注意區(qū)分求單調(diào)性和已知單調(diào)性的問題，處理好f(x)0 時(shí)的情況；區(qū)分極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn). 題型一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題題型一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題 導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是求在該點(diǎn)的切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線問題，要區(qū)分在與過的不同，要是過某一點(diǎn)一定要設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可。 例 1、(2019 蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知點(diǎn) p在曲線 c：212yx=上，曲線 c 在點(diǎn) p處的切線為 l，過點(diǎn) p且與直線 l垂直的直線與曲線 c的另一交

10、點(diǎn)為 q，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 opoq，則點(diǎn) p 的縱坐標(biāo)為 例 2、（2018 年泰州期末）若函數(shù)32( )f xxaxbx=+為奇函數(shù)，其圖象的一條切線方程為34 2yx=，則b的值為 題型二、利用導(dǎo)演研究函數(shù)的單調(diào)性題型二、利用導(dǎo)演研究函數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性主要是通過多函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的問題，這里要特別注意若函數(shù)5 / 8 在給定區(qū)間為增函數(shù)（減函數(shù)）則對(duì)應(yīng)的)0)(0)(/xxff。由于條件中函數(shù)的解析式比較復(fù)雜，可以先通過代數(shù)變形，將其化為熟悉的形式，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)及圖像，再根據(jù)圖像變換的知識(shí)得到函數(shù) f(x)的圖像進(jìn)行求解 例 3、(2019 南

11、京學(xué)情調(diào)研）已知函數(shù) f(x)lnx，g(x)x2. (1) 求過原點(diǎn)(0，0)，且與函數(shù) f(x)的圖像相切的直線 l 的方程； (2) 若 a0，求函數(shù) (x)|g(x)2a2f(x)|在區(qū)間 題型三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值題型三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值首先要求函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值。要特別注意函數(shù)在xx0=與0)(/=xf之間的關(guān)系，不是充要條件，解題時(shí)要注意驗(yàn)證。 例 4、(2019 南京學(xué)情調(diào)研） 若函數(shù) f(x)12ax2ex1 在 xx1和 xx2兩處取到極值，且x2x12，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是_ 題型四題型四 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最

12、值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)最重要的應(yīng)用，求函數(shù)的最值往往給出具體的區(qū)間，若是填空題要特別注意技巧，把端點(diǎn)和在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)代入即可。 例 5、(2019 揚(yáng)州期末） 若存在正實(shí)數(shù) x，y，z 滿足 3y23z210yz，且 lnxlnzeyz，則xy的最小值為_ 例 6、(2018 南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào)）已知 a 為常數(shù)，函數(shù) f(x)xax2 1x2的最小值為23，則 a 的所有值為_ 6 / 8 一、填空 1、(2019 蘇州期末） 曲線 yx2ex在 x0 處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_ 2、(2017 蘇州暑假測(cè)試）曲線

13、yex在 x0處的切線方程是_ 3、(2017 南通一調(diào)） 已知兩曲線 f(x)2sinx，g(x)acosx，x0，2相交于點(diǎn) p.若兩曲線在點(diǎn) p 處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù) a的值為_ 4、（2017 無錫期末）在曲線 yx1x(x0)上一點(diǎn) p(x0，y0)處的切線分別與 x 軸，y 軸交于點(diǎn) a，b，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，若oab的面積為13，則 x0_. 5、（2017 南通一調(diào)）在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，直線 l 與曲線 yx2(x0)和 yx3(x0)均相切，切點(diǎn)分別為 a(x1，y1)和 b(x2，y2)，則x1x2的值為_ 6、(2017 南京學(xué)情調(diào)研）已知函數(shù) f(x)13x3

14、x22ax1，若函數(shù) f(x)在(1,2)上有極值，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_ 7、（2018 年高考江蘇）若函數(shù)() = 23 2+ 1( )在(0,+)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則()在1,1上的最大值與最小值的和為_ 8、(2017 南京三模）若函數(shù) f(x)ex(x22xa)在區(qū)間a，a1上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) a 的最大值為 9、(2017 蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）若函數(shù) f(x) 12x1，x1，lnxx2，x1，)則函數(shù) y|f(x)|18的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_ 7 / 8 10、(2017 蘇州期末）已知函數(shù) f(x) x24，x0，ex5，x0，)若關(guān)于 x 的方程|f(x)|ax50 恰有三個(gè)不同的實(shí)

15、數(shù)解，則滿足條件的所有實(shí)數(shù) a 的取值集合為_ 11、（2017 年高考江蘇）已知函數(shù)31( )2eexxf xxx=+，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)若(1)f a+2(2)0fa，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 12、(2019 南京、鹽城二模）已知函數(shù) f(x)|x3|，x0，x212x3，x0.設(shè) g(x)kx1，且函數(shù) yf(x)g(x)的圖像經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為_ 二、解答題 13、(2018 揚(yáng)州期末）已知函數(shù) f(x)ex，g(x)axb，a，br. (1) 若 g(1)0，且函數(shù) g(x)的圖像是函數(shù) f(x)圖像的一條切線，求實(shí)數(shù) a的值； (2) 若不等式 f(x)x2m對(duì)任意 x(0，)恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍； (3) 若對(duì)任意實(shí)數(shù) a，函數(shù) f(x)f(x)g(x)在(0，)上總有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) b的取值范圍 14、(2018 蘇北四市期末）已知函數(shù) f(x)x2ax1，g(x)lnxa(ar) 8 / 8 (1) 當(dāng) a1時(shí)，求函數(shù) h(x)f(x)g(x)的極值； (2) 若存在與函數(shù) f(x)，g(x)的圖像都相切的直線，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 15、(2018 南京學(xué)情調(diào)研）已知函數(shù) f(x)2x33(a1)x26ax，ar. (1) 曲線 yf(x)在 x0處的切線的斜率為 3，求 a的值； (2) 若對(duì)于任意 x(0，)，f(