高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題08 直線與圓的方程-2021年高考數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)題典（新高考專版）（解析版）

1、1 / 13 20212021 年高考數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)題典（新高考專版）年高考數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)題典（新高考專版） 專題專題 08 直線與圓的方程直線與圓的方程 姓名：_ 班級(jí)：_ 得分：_ 一、一、單選題單選題 1以點(diǎn)(2，1)為圓心，以2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ） a(x2)2(y1)22 b(x2)2(y1)22 c(x2)2(y1)22 d(x2)2(y1)22 【答案】c 【解析】由題意圓標(biāo)準(zhǔn)方程是22(2)(1)2xy+= 2設(shè)直線1:10lkxy+ =，2:10lxky+ =，若12ll，則k =（ ） a-1 b1 c 1 d0 【答案】d 【解析】 12ll， 當(dāng)0k 時(shí)，11k

2、k= ，矛盾， 當(dāng)0k =時(shí)，符合題意 3圓2228130+=xyxy截直線10axy+ =所得的弦長為2 3，則a=（ ） a43 b34 c3 d2 【答案】a 2 / 13 【解析】圓2228130+=xyxy，即22(1)(4)4xy+= 則由垂徑定理可得點(diǎn)到直線距離為222( 3)1 根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可知2|4 1|11ada+=+， 化簡可得22(3)1aa+=+ 解得43a = 4直線30 xya+=的傾斜角為 （ ） a30 b150 c120 d與 a 取值有關(guān) 【答案】b 【解析】直線 x+3ya=0 的斜率為33，設(shè)傾斜角為 ，則 tan=33 又 0180 ， =1

3、50， 5斜率為 4的直線經(jīng)過點(diǎn) a(3,5)，b(a,7)，c(1，b)三點(diǎn)，則 a，b的值為( ) aa72 ，b0 ba72，b11 ca72，b11 da72，b11 【答案】c 【解析】因?yàn)?abackk=，所以25434ba=，則7,112ab= ，故選 c 6若方程22420 xyxyk+=表示圓，則k的取值范圍是（ ） a5k b5k c5k d5k 3 / 13 【答案】b 【解析】方程22420 xyxyk+=表示圓 22416440defk+=+， 解得：5k 7已知3(2,)a,( 3, 2)b ,直線l過定點(diǎn)(1,1)p,且與線段ab相交,則直線l的斜率k的取值范圍是

4、( ) a344k b344k c12k d4k 或34k 【答案】d 【解析】畫出圖像,如圖: 3 12 134,2 13 14papbkk = = 結(jié)合圖像可知,要保證線段ab與直線l相交 需滿足斜率k的取值范圍: 4k 或34k 8若實(shí)數(shù), x y滿足224240 xyxy+=，則yx的取值范圍是（ ） a4,0,)3 + b3,0,)4 + c4,03 d3,04 4 / 13 【答案】c 【解析】實(shí)數(shù), x y滿足224240 xyxy+=，即22(2)(1)1xy+= 故動(dòng)點(diǎn)(), x y是以()2,1c 為圓心，以1r =為半徑的圓上的點(diǎn)，則yx表示點(diǎn)(), x y與()2,1連

5、線的斜率k，如圖所示，直線0kxy與圓有交點(diǎn)，相切時(shí)是臨界狀態(tài)，當(dāng)直線0kxy與圓相切時(shí)有：22111kk=+解得0k =或43k = ，故4,03k ，即4,03yx . 二、多選題二、多選題 9（多選）若直線1l的傾斜角為，且12ll，則直線2l的傾斜角可能為（ ） a90 b90+ c90 d180 【答案】abc 【解析】（1）當(dāng)0=時(shí)，2l的傾斜角為90（如圖 1）； （2）當(dāng)090時(shí)，2l的傾斜角為90+（如圖 2）； （3）當(dāng)90=時(shí)，2l的傾斜角為0（如圖 3）； （4）當(dāng)90180時(shí)，2l的傾斜角為90（如圖 4） 5 / 13 故直線2l的傾斜角可能為90,90,|90|+

6、，但不可能為180 10若直線3yxb=+與圓221xy+=相切，則b =（ ） a2 b2 c2 d5 【答案】ac 【解析】因?yàn)橹本€3yxb=+與圓221xy+=相切， 所以13 1b=+， 解得2b = . 11直線yxb=+與曲線21xy=恰有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) b 可取下列哪些值（ ） a2 b1 c1 d2 【答案】ac 【解析】解：曲線21xy=，整理得221xy+=，0 x ， 畫出直線與曲線的圖象，如圖， 直線yxb=+與曲線21xy=恰有一個(gè)交點(diǎn)， 則( 1,12b 6 / 13 12古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前 262公元前 190 年)的著作圓錐曲線論是古代世界光輝

7、的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(0k 且1k )的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知()0,0o，()3,0a，圓c：()()22220yxrr+=上有且僅有一個(gè)點(diǎn)p滿足2papo=，則r的取值可以為（ ） a1 b2 c3 d5 【答案】ad 【解析】設(shè)(),p x y，由2papo=，得()2222344xyxy+=+，整理得()2214xy+=， 又點(diǎn)p是圓c：()()22220yxrr+=上有且僅有的一點(diǎn)，所以兩圓相切. 圓()2214xy+=的圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑為 2， 圓 c：()()22220yxrr+=的圓心坐標(biāo)為（2，0

8、），半徑為 r，兩圓的圓心距為 3， 當(dāng)兩圓外切時(shí)，r+23，得 r1， 當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，|r2|3，得 r5 三、填空題三、填空題 13直線2:sin103l xy+ =的斜率為_ 7 / 13 【答案】2 33 【解析】由直線2:sin103l xy+ =，得3102xy+ =，即2320 xy+=， 則該直線的斜率22 333k = = 14若三條直線 y2x，xy3，mx-2y-50相交于同一點(diǎn)，則 m的值為_ 【答案】9 【解析】聯(lián)立23yxxy=+=，解得1x =，2y = 把(1,2)代入250mxy=可得：450m = 9m= 15 若點(diǎn)(m，n)在直線 4x3y100 上，則

9、m2n2的最小值是_ 【答案】4 【解析】因?yàn)?m2n2是直線 4x3y100上的點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)距離的平方，所以其最小值就是原點(diǎn)到直線 4x3y100的距離2210243=+的平方 16已知直線l：340 xym+=，圓c：22420 xyx+=，則圓c的半徑r =_；若在圓c上存在兩點(diǎn)a，b，在直線l上存在一點(diǎn)p，使得90apb=，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_ 【答案】2 16,4 【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22(2)2xy+=，圓心為(2,0)c，半徑為2r =， 若在圓c上存在兩點(diǎn)a，b，在直線l上存在一點(diǎn)p，使得90apb=，過p作圓的兩條切線8 / 13 ,pm pn（,m n為切點(diǎn)），則

10、90mpn，而當(dāng)cpl時(shí)，mpn最大，只要此最大角90即可， 此時(shí)，圓心c到直線l的距離為65mdcp+=所以22625rmd=+，解得164m 四四、解答題、解答題 17已知abc的三個(gè)頂點(diǎn)()1,0a ，()5, 4b，()1,2c （1）求bc邊上的中線所在直線的方程； （2）求ab邊上的高線所在直線的方程 【解析】（1）由題意得：邊bc的中點(diǎn)d為()3, 1， 所以直線ad的斜率()0111 34adk = ， 所以bc邊上的中線ad所在直線方程 為()1014yx= +，即410 xy+ = （2）由題意得：直線ab的斜率()0421 53abk = ， 所以ab邊上的高所在直線方程

11、為()3212yx=， 即3210 xy+ = 18已知圓心為 c（4，3）的圓經(jīng)過原點(diǎn) o （1）求圓 c的方程； （2）設(shè)直線 3x4y+150 與圓 c 交于 a，b 兩點(diǎn)，求abc的面積 9 / 13 【解析】解：（1）圓 c 的半徑為 22345oc =+=， 從而圓 c 的方程為（x4）2+（y3）225； （2）作 cdab于 d，則 cd 平分線段 ab， 在直角三角形 adc中，由點(diǎn)到直線的距離公式，得|cd|3， 所以22|4adaccd=， 所以|ab|2|ad|8， 所以abc的面積1122sab cd= 19已知圓c與y軸相切，圓心在射線()300 xyx=，且被直線

12、yx=截得的弦長為2 7 （1）求圓c的方程； （2）若點(diǎn)p在圓c上，求點(diǎn)p到直線34110 xy+=的距離的最小值 【解析】（1）圓心在射線()300 xyx=上，則可設(shè)圓心為()3 , a a，其中0a ， 圓c與y軸相切，圓的半徑為3a，圓的方程為()()22239xayaa+=， 設(shè)圓心到直線0 xy=的距離為d， 10 / 13 則322aada=， 由弦長的幾何關(guān)系得()()22273da+=， 即()()()222273aa+=，解得1a =， 則圓c的方程為()()22319xy+=； （2）圓心到直線34110 xy+=的距離為()2294 11163534+=+ ， 則直線

13、與圓相離，點(diǎn)p到直線34110 xy+=的距離的最小值為161355=. 20已知圓o：228xy+=，點(diǎn)()012p ,，直線l過點(diǎn)0p且傾斜角為. （1）判斷點(diǎn)0p與圓o的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若34=，求直線l被圓o所戴得的弦ab的長. 【解析】（1）點(diǎn)0p在圓o內(nèi),理由如下： 由已知得圓o的圓心為()0,0o，半徑2 2r =， 因?yàn)?)012p ,，所以()220125op =+=. 因?yàn)?opr，所以點(diǎn)0p在圓o內(nèi). （2）因?yàn)?4=，所以直線l的斜率為1. 因?yàn)橹本€l過點(diǎn)()012p ,， 所以直線l的方程為()21yx= +，即10 xy+ =， 11 / 13 由圓心

14、o到直線l的距離2200 12211d+=+， 所以()22222 2302ab=. 21圓224xy+=，點(diǎn)p為直線:40l xy+=上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p引圓o的兩條切線，切點(diǎn)分別為a，b （1）若點(diǎn)p的坐標(biāo)為(6, 2)，求直線pa、pb的方程； （2）求證：直線ab恒過定點(diǎn)q，并求出該定點(diǎn)q的坐標(biāo) 【解析】解：（1）由題意，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為2(6)yk x+=， 即620kxyk= 由26221kk=+，解得34k = 或0k = 所求切線方程分別為2y = 和34100 xy+=； （2）根據(jù)題意，點(diǎn)p為直線40 xy+=上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)(4,)pm m， pa，pb是圓o的切線，

15、 12 / 13 oapa，obpb， ab是圓o與以po為直徑的兩圓的公共弦， 可得以po為直徑的圓的方程為2222(2)()(2)()2222mmmmxy+=+， 即22(4)0 xm xymy+=， 又圓o的方程為：224xy+=， ，得(4)40m xmy+=， 即()440m yxx+=，則該直線必過點(diǎn)()1,1q 22已知?jiǎng)訄A q經(jīng)過定點(diǎn)()0,fa，且與定直線: l ya= 相切（其中 a 為常數(shù)，且0a ）.記動(dòng)圓圓心 q的軌跡為曲線 c. （1）求 c 的方程，并說明 c 是什么曲線？ （2）設(shè)點(diǎn) p的坐標(biāo)為()0, a，過點(diǎn) p 作曲線 c的切線，切點(diǎn)為 a，若過點(diǎn) p 的直線 m與曲線 c 交于m，n 兩點(diǎn)，證明：afmafn= . 【解析】（1）設(shè)(),q x y，由題意得()22xyaya+=+，化簡得24xay=， 所以動(dòng)圓圓心 q的軌跡方程為24xay=， 它是以 f 為焦點(diǎn)，以直線l為準(zhǔn)線的拋物線. （2）不妨設(shè)()2,04ta tta. 因?yàn)?4xya=，所以2xya =， 13 / 13 從而直線pa的斜率為2402tatata+=，解得2ta=，即()2 ,aa a， 又()0,fa，所以/af x軸. 要使afmafn= ，只需0fmfnkk+=. 設(shè)直線 m 的方程為