高考數(shù)學二輪復習專題48 橢圓、雙曲線、拋物線（知識梳理）（文）（解析版）

1、1 / 19 專題專題 48 橢圓、雙曲線、拋物線橢圓、雙曲線、拋物線（知識梳理）（知識梳理） 一、一、橢圓橢圓 (一一)橢圓的基本定義和方程橢圓的基本定義和方程 1、橢圓的定義：、橢圓的定義：設1f、2f是定點，p為動點，則滿足apfpf2|21=+(a為定值且|221ffa )的動點p的軌跡稱為橢圓，符號表示：apfpf2|21=+(|221ffa )。 注意：當|221ffa =時為線段21ff，當|221ffa 時無軌跡。 2、橢圓的方程及圖像性質、橢圓的方程及圖像性質 定義方程 aycxycx2)()(2222=+ acyxcyx2)()(2222=+ 標準方程 12222=+bya

2、x(0 ba) 12222=+bxay(0 ba) 一般方程 122=+ nymx(0m，0n，nm) 推導方程 22222bxaby+=(0 ba) 22222axbax+=(0 ba) 范圍 aax，bby， bbx，aay， 圖形 焦點坐標 焦點在x軸上)0(1，cf ，)0(2，cf 焦點在y軸上)0(1cf，)0(2cf， 對稱性 對稱軸：x軸、y軸 對稱中心：原點(這個對稱中心稱為橢圓的中心) 頂點 )0(1，aa 、)0(2，aa、)0(1bb，、)0(2bb， )0(1aa，、)0(2aa，、)0(1，bb、)0(2，bb 軸 長軸21aa的長為：a2(a為長半軸) 短軸21b

3、b的長為：b2(b為短半軸) 離心率 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率ace =，) 10( ，e， e越大越扁，e越小越圓 焦距：cff221= 222cba+= 3、橢圓、橢圓12222=+byax(0 ba)的圖像中線段的幾何特征的圖像中線段的幾何特征(如圖如圖)： (1)apfpf2|21=+，epmpfpmpf=2211，capmpm2212|=+； (2)abfbf=|21，cofof=|21，2221|bababa+=+； (3)cafafa=|2211，cafafa+=|1221。 例 1-1判斷： (1)到平面內兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓。 ( )

4、(2)在橢圓定義中，將“大于|21ff”改為“等于|21ff”的常數(shù)，其它條件不變，點的軌跡為線段。 () (3)到兩定點)02(1，f和)02(2，f的距離之和為3的點m的軌跡為橢圓。 ( ) 2 / 19 例 1-2橢圓192522=+yx的焦點在 軸上，焦距為 ；橢圓116922=+yx的焦點在 軸上，焦點坐標為 。 【答案】x 8 y )70( ，和)70(， 【解析】由925 可判斷橢圓192522=+yx的焦點在x軸上， 由169252=c，可得4=c，故其焦距為8， 由916 ，可判斷橢圓116922=+yx的焦點在y軸上， 79162=c，焦點坐標為)70( ，和)70(，。

5、例 1-3已知橢圓06322=+mymx的一個焦點為)20( ，則m的值為( )。 a、2 b、3 c、4 d、5 【答案】d 【解析】方程變形為12622=+myx，焦點在y軸上，62m，解得3m， 又2=c，2262=m，解得則5=m，故選 d。 例 1-4方程1) 1(2222=+mymx表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是 。 【答案】)210()0(， 【解析】02m，0) 1(2m，22) 1(mm，解得)210()0(， m。 (二二)橢圓中的焦點三角形：橢圓中的焦點三角形：若1f、2f是橢圓12222=+byax(0 ba)的兩個焦點，p為橢圓上一動點，則21fpf稱為

6、橢圓的焦點三角形，其周長為)(2ca +。 1、相關性質：、相關性質： (1)當點p從a點逆時針運動時，21pff由銳角逐漸增大，到達b點時達到最大，過了y軸之后又逐漸減小。 (2)設=21pff，則221cose。(當且僅當動點為短軸端點時取等號) (3)設=21pff，則焦點三角形的面積2tan221=bspff。 3 / 19 證明：設mpf = |1，npf = |2，由余弦定理得2221224|cos2cffmnnm=+， 由橢圓定義得anm2=+，帶入得+=+=cos12cos1)(2222bcamn， 2tancos1sinsin212221=+=bbmnspff(最大值為bc)

7、。 (4)過橢圓焦點的所有弦中通徑(垂直于焦點的弦)最短，通徑為ab22。 (5)22122bpfpfcb，最大值與最小值之差一定是2c。 證明：1pf的坐標為)(yxc，2pf的坐標為)(yxc ， 根據(jù)橢圓方程12222=+byax得22222bxaby+=， 222222222222221)1 ()()()()(cbxaccbxabyxcyyxcxcpfpf+=+=+=+=， 當0=x時取最小值為22cb ，當ax=時取最大值為2b。 2、解與焦點三角形、解與焦點三角形21fpf(p為橢圓上的點為橢圓上的點)有關的計算問題有關的計算問題 (1)與焦點三角形21fpf有關的計算問題時，常考

8、慮到用橢圓的定義及余弦定理(或勾股定理)、三角形面積公式2121sin|2121pffpfpfspff=相結合的方法進行計算解題。 (2)將有關線段|1pf、|2pf、|21ff，有關角21pff(2121bffpff)結合起來，建立|21pfpf +和|21pfpf 之間的關系。 例 1-5已知1f、2f是橢圓的兩個焦點，滿足021=mfmf的點m總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是( )。 a、)210( ， b、)220( ， c、)2221( ， d、) 122(， 【答案】b 【解析】21mfmf ，點m在以21ff為直徑的圓上，又點m在橢圓內部，bc ， 2222cabc=，即2

9、22ac ，2122ac，即22ac，又0e，220e，故選4 / 19 b。 例 1-6橢圓16410022=+yx的焦點為1f、2f，橢圓上的點p滿足6021=pff，則=21pffs( )。 a、3316 b、364 c、3364 d、3391 【答案】c 【解析】由余弦定理：221212221|60cos|2|ffpfpfpfpf=+，又20|21=+ pfpf， 代入化簡得3256|21= pfpf，336460sin|212121=pfpfspff，故選 c。 例 1-7橢圓13610022=+yx上一點p滿足到左焦點1f的距離為8，則21pff的面積是 。 【答案】1512 【解

10、析】由橢圓的定義得202|21=+apfpf，12|2=pf， 41128216128|2|cos22221221222121=+=+=pfpfffpfpfpff， 415sin21= pff，則15124151282121=fpfs。 (三三)直線與橢圓直線與橢圓 1、由方程組、由方程組=+=+102222byaxcbyax，消去，消去y導成導成02=+nqxpx(0p)，判斷，判斷pnq42=。 0 方程組有兩解 兩個交點 相交 0= 方程組有一解 一個交點 相切 0 方程組無解 無交點 相離 2、過橢圓上點切線問題：、過橢圓上點切線問題： 若)(000yxp，在橢圓12222=+byax

11、(0 ba)上，則過0p的橢圓的切線方程是12020=+byyaxx。 3、弦長公式：、弦長公式：若直線fkxy+=與橢圓12222=+byax(0 ba)的交點為)(11yxa，、)(22yxb，則| ab叫做弦長。 5 / 19 21221222122212214)(1)(1)()(|xxxxkxxkyyxxab+=+=+= |12pk+=(韋達定理)|11)(112122212yykyyk+=+=。 說明：與| p分別是直線與曲線方程聯(lián)立方程組消去y后的根的判別式及2x項的系數(shù)。 4、焦點弦公式：、焦點弦公式：橢圓方程為12222=+byax(0 ba)，半焦距為0c，焦點)0(1，cf

12、 、)0(2，cf，設過1f的直線l的傾斜角為，l交橢圓于兩點)(11yxa，、)(22yxb，求弦長| ab。 解：連結af2、bf2，設xaf= |1、ybf= |1，由橢圓定義得xaaf= 2|2、yabf= 2|2， 由余弦定理得222)2(cos22)2(xacxcx=+，整理可得=cos2cabx， 同理可求+=cos2caby，則=+=+=222222cos2coscoscaabcabcabyxab； 同理可求焦點在y軸上的過焦點弦長為=2222sin2|caabab(a為長半軸，b為短半軸，c為半焦距)。 結論：橢圓過焦點弦長公式：=)(sin2)(cos2|22222222軸

13、上焦點在軸上焦點在ycaabxcaabab。 5、橢圓的斜率公式： (1)過橢圓上12222=+byax(0 ba)上一點)(00yx ，的切線斜率為0202yaxb。 (2)直線l(不平行于y軸)過橢圓12222=+byax(0 ba)上兩點a、b，ab中點為)(00yxp，則22abkkopab=。 證明：設)(11yxa，、)(22yxb，則有=+=+11222222221221byaxbyax， 上式減下式得02222122221=+byyaxx，2222212221abxxyy=， 220021210021212121212122abxyxxyyxyxxyyxxyyxxyy=+，22

14、abkkopab=。 特殊的：直線l(存在斜率)過橢圓12222=+bxay(0 ba)上兩點a、b，ab中點為)(00yxp，則有6 / 19 22bakkopab=。 證明：設)(11yxa，、)(22yxb，則有=+=+11222222221221bxaybxay， 上式減下式得02222122221=+bxxayy，2222212221baxxyy=， 220021210021212121212122baxyxxyyxyxxyyxxyyxxyy=+，22bakkopab=。 (3)若a、b是橢圓12222=+byax(0 ba)上關于原點對稱的兩點，p是橢圓上任意一點，當pa、pb的斜

15、率pak和pbk都存在時，有22abkkpbpa=。 證明：如圖：連結ab，取pb中點m，連結om， 則paom /，有paomkk=， 由橢圓中點弦斜率公式得：22abkkpbom=，22abkkpbpa=。 (4)若1a、2a、1b、2b是橢圓12222=+byax(0 ba)上的左、右、上、下頂點，p是橢圓上除了1a、2a、1b、2b的任意一點，則2221abkkpapa=，2221abkkpbpb=。 (5)橢圓12222=+bxay(0 ba)與斜率為k的直線l相交于a、b兩點，ab的中點為)(00yxm，則有02020=+kbyax。 例 1-8已知橢圓12222=+byax(0

16、ba)的一條弦所在的直線方程是03=+ yx，弦的中點坐標是) 12(，m，則橢圓的離心率是( )。 a、55 b、21 c、22 7 / 19 d、23 【答案】c 【解析】1=abk且21=omk，根據(jù)定理有2122=ab，即22122=abe，故選 c。 例 1-9過橢圓141622=+yx內的一點) 12( ，m引一條弦，使弦被m點平分，求這條弦所在的直線方程。 【解析】設弦所在的直線為ab，根據(jù)橢圓中點弦的斜率公式知41=omabkk，顯然21=omk， 21=abk，故所求的直線方程為)2(211=xy，即042=+yx。 例 1-10已知橢圓c的焦點)022(1，f和)022(2

17、，f，長軸長6，設直線2+= xy交橢圓c于a、b兩點，求線段ab的中點坐標。 【解析】由已知條件得橢圓的焦點在x軸上，其中22=c，3=a，從而1=b， 其標準方程是：1922=+ yx， 聯(lián)立方程組+=+21222xyyx，消去y得，02736102=+xx。 設)(11yxa，、)(22yxb，ab線段的中點為)(00yxm，則51821=+ xx，592210=+=xxx， 51200=+= xy，即線段ab中點坐標為)5159(，。 二、二、雙曲線雙曲線 (一一)雙曲線的基本定義和方程雙曲線的基本定義和方程 1、雙曲線的定義：、雙曲線的定義：把平面內與兩個定點1f、2f的距離的差的絕

18、對值等于常數(shù)a2(|2021ffa )的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。 2、曲線的標準方程：、曲線的標準方程： 定義方程 aycxycx2|)()(|2222=+ acyxcyx2|)()(|2222=+ 標準方程 12222=byax(0a，0b) 12222=bxay(0a，0b) 一般方程 122=+ nymx(0nm) 范圍 ax |，ry ay |，rx 8 / 19 圖形 焦點坐標 焦點在x軸上)0(1，cf ，)0(2，cf 焦點在y軸上)0(1cf，)0(2cf， 對稱性 對稱軸：x軸、y軸 對稱中心：原點(這個對稱中心稱為雙曲

19、線的中心) 頂點 )0(1，aa、)0(2，aa 、)0(1bb，、)0(2bb， )0(1aa，、)0(2aa，、)0(1，bb、)0(2，bb 實軸21aa長a2(a為實半軸)，虛軸21bb長b2(b為虛半軸)，焦距cff221=，222bac+= 漸近線 0= aybx(或xaby=) 0=byax(或xbay=) 離心率 雙曲線的焦距與長軸長度的比：ace =，)1 (+ ，e，e越大開口越大 例 2-1已知點)(yxp，的坐標滿足下列條件，試判斷下列各條件下點p的軌跡是什么圖形？ (1)6|)5()5(|2222=+yxyx； (2)6)4()4(2222=+yxyx。 【解析】(1

20、)|)5()5(|2222yxyx+表示點)(yxp，到 兩定點)05(1，f、)05(2，f的距離之差的絕對值， 10|21=ff，|6|2121ffpfpf=，故點p的軌跡是雙曲線。 (2)2222)4()4(yxyx+表示點)(yxp，到兩定點)04(1，f、)04(2，f的距離之差， 8|21=ff，|6|2121ffpfpf=，故點p的軌跡是雙曲線的右支。 例 2-2已知雙曲線122= yx，點1f、2f為其兩個焦點，點p為雙曲線上一點，若21pfpf ，則|21pfpf +的值為 。 【答案】32 【解析】1= ba，2=c，22|21=apfpf，8)2(|22212221=+c

21、ffpfpf， 4|2|)|(|212221221=+=pfpfpfpfpfpf，2|21= pfpf， mpf = |1，npf = |2，2=nm，2= nm，13 +=m，13 =n，32|21=+ pfpf。 例 2-3過雙曲線822= yx的左焦點1f有一條弦pq交左支于p、q兩點，若7|=pq，2f是雙曲線的右焦點，則qpf2的周長為 。 【答案】2814+ 9 / 19 【解析】22= ba，4=c，24|1212=qfqfpfpf， 281428|2|)|24(|)|24(|1122+=+=+=+pqqfpfpqqfpfpq。 例 2-4已知雙曲線的方程為1322= yx，則焦

22、點到漸近線的距離為 。 【答案】1 【解析】焦點坐標)02( ，漸近線方程03 =+yx，則點到直線距離1)3(1|0321 |22=+=d。 或利用雙曲線漸近線性質：焦點到漸近線距離為1=b。 例 2-5若雙曲線以橢圓191622=+yx的兩個頂點為焦點，且經(jīng)過橢圓的兩個焦點，則雙曲線的標準方程為 。 【答案】19722=yx 【解析】橢圓191622=+yx的焦點在x軸上，且4=a，3=b，7=c，焦點為)07(，頂點為)04(， 于是雙曲線經(jīng)過點)07(，焦點為)04(，則7= a，4= c，92= b， 雙曲線的標準方程為19722=yx。 例 2-6雙曲線c：12222=byax(0

23、a，0b)的離心率為2，焦點到漸近線的距離為3，則c的焦距為( )。 a、2 b、22 c、4 d、24 【答案】c 【解析】2=ace，取xaby =，即0=aybx，則ac2=，aacb322=， 焦點)0( ，cf到漸近線0=aybx的距離為3，322=+=babcd， 即3233322=+caaac，解得2=c，則焦距為42 =c，故選 c。 (二二)雙曲線焦點三角形的幾個性質雙曲線焦點三角形的幾個性質 10 / 19 設若雙曲線方程為12222=byax(0a，0b)，1f、2f分別為它的左右焦點，p為雙曲線上任意一點，則有： 性質 1、若=21pff，則2cot221=bspff；

24、特別地，當9021=pff時，有221bspff=。 證明：設mpf = |1，npf = |2，由余弦定理得2221224|cos2cffmnnm=+， mnnmnm2)(222+=+，由雙曲線定義得anm2|=，帶入得222444)cos1 (2bacmn=， =cos122bmn，2cotcos1sinsin212221=bbmnspff。 性質 2、雙曲線焦點三角形的內切圓與21ff相切于實軸頂點；且當p點在雙曲線左支時，切點為左頂點，且當p點在雙曲線右支時，切點為右頂點。 證明：設雙曲線12222=byax的焦點三角形的內切圓且三邊21ff、1pf、2pf于點a、b、c，雙曲線的兩個

25、頂點為1a、2a，則|212121afafcfbfpfpf=，apfpf2|21=， aafaf2|21=，a在雙曲線上，又a在21ff上，a在雙曲線與x軸的交點，即點1a、2a。 性質 3、雙曲線離心率為e，其焦點21fpf的旁心為a，線段pa的延長線交21ff的延長線于點b，則eapba=|。 證明：由角平分線性質(三角形一個角的平分線，這個角平分線其對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例)得eacpfpfbfbfpfbfpfbfapba=2221212211。 性質 4、雙曲線的焦點21fpf中，=21fpf，=12fpf，當點p在雙曲線右支上時，有112cot2tan+=ee；當

26、點p在雙曲線左支上時，有112tan2cot+=ee。 證明：由正弦定理知=+=sinsin)sin(sinsin122112pfpfffpfpf，)sin(2sinsin2+=ca， 11 / 19 2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos2sin2sin2sin2sin2cos22cos2sin2sinsin)sin(+=+=+=+=ace， 分子分母同除以2sin2cos，得12cot2tan12cot2tan+=e，得112cot2tan+=ee。 例 2-7設1f、2f分別為雙曲線12222=byax(0a，0b)的左、右焦點，雙曲線上存在一點p使得bpfpf3|21

27、=+，abpfpf49|21=，則雙曲線的離心率為( )。 a、34 b、35 c、49 d、3 【答案】b 【解析】由于雙曲線有對稱性，則可設點p在雙曲線右支上，則apfpf2|21=，而bpfpf3|21=+， 兩式左右平方后相減得ababpfpf49449|2221=，得91622=ab， 該雙曲線的離心率35)(12=+=abace，故選 b。 例 2-8已知1f、2f是雙曲線c：1422=yx的左、右兩個焦點，若雙曲線在第一象限上存在一點p，使得0)(22=+pfofop，o為坐標原點，且|21pfpf=，則的值為( )。 a、31 b、21 c、2 d、3 【答案】c 12 / 1

28、9 【解析】1=a，2=b，5=c，)05(1，f，)05(2，f， 5=e，設點)41(2mmp，+， 0541)541()541()(222222=+=+=+mmmmmmpfofop， 5162=m，554=m， 則)554553(，p，4580)554()5535(|221=+=pf， 22|12=apfpf，224|21=pfpf，故選 c。 (三三)雙曲線中點弦的斜率公式雙曲線中點弦的斜率公式 性質 1、直線l(不平行于y軸)過雙曲線12222=byax(0a，0b)上兩點a、b，其中ab中點為)(00yxp，則有22abkkopab=。 證明：設)(11yxa，、)(22yxb，則

29、有=11222222221221byaxbyax，上式減下式得02222122221=byyaxx，2222212221abxxyy=， 220021210021212121212122abxyxxyyxyxxyyxxyyxxyy=+，22abkkopab=。 特殊的：直線l(存在斜率)過橢圓12222=bxay(0a，0b)上兩點a、b，ab中點為)(00yxp，則22bakkopab=。 證明：設)(11yxa，、)(22yxb，則有=11222222221221bxaybxay，上式減下式得02222122221=bxxayy，2222212221baxxyy=， 22002121002

30、1212121212122baxyxxyyxyxxyyxxyyxxyy=+，22bakkopab=。 13 / 19 性質 2、若a、b是雙曲線12222=byax(0a，0b)上關于原點對稱的兩點，p是雙曲線上任意一點，當pa、pb的斜率pak和pbk都存在時，有22abkkpbpa=。 證明：連結ab，取pb中點m，連結om，則paom /，有paomkk=， 由橢圓中點弦斜率公式得：22abkkpbom=，22abkkpbpa=。 性質 3、若1a、2a是雙曲線12222=byax(0a，0b)上的左、右頂點，p是雙曲線上除了1a、2a的任意一點，則2221abkkpapa=。 (四四)

31、雙曲線的弦長公式雙曲線的弦長公式 1、雙曲線的焦點弦長公式：設雙曲線12222=byax(0a，0b)其中兩焦點坐標為)0(1，cf 、)0(2，cf，過1f的直線l的傾斜角為，交雙曲線于兩點)(11yxa，、)(22yxb，。則弦長| ab為： 焦點在x軸上的焦點弦長：=)arctanarctan0(cos2)arctan(arctancos222222222ababacabababcaabab或， 焦點在y軸上的焦點弦長：=)arctan(arctansin2)arctanarctan0(sin222222222ababacabababcaabab或， 其中a為實半軸，b為虛半軸，c為半焦

32、距，為ab的傾斜角。 2、雙曲線的普通弦長公式：設直線l：fkxy+=與雙曲線12222=byax(0a，0b)交于)(11yxa，、)(22yxb，且l斜率為k(1212xxyyk=)，則： 21221221222122212214)(1|1)(1)()(|xxxxkxxkxxkyyxxab+=+=+= |12pk+=(韋達定理)|11)(112122212yykyyk+=+=。 說明：與| p分別是直線與曲線方程聯(lián)立方程組消去y后的根的判別式及2x項的系數(shù)。 例 2-9已知雙曲線e的中心為原點，)03( ，f是e的焦點，過f的直線l與e相交于a、b兩點，且ab的中點為)1512(，n，求雙

33、曲線e的方程。 14 / 19 【解析】設雙曲線的方程為12222=byax(0a，0b)，由題意知3=c，922=+ba， 設)(11yxa，、)(22yxb，則有：1221221=byax，1222222=byax， 兩式作差得：22212122212154abyyxxabxxyy=+=，又ab的斜率是1312015=， 2245ab =，代入922=+ba得，42=a，52=b，雙曲線標準方程是15422=yx。 例 2-10已知雙曲線1222=yx，經(jīng)過點) 11 ( ，m能否作一條直線l，使l交雙曲線于a、b兩點且點m是線段ab的中點，若存在這樣的直線l，求出它的方程；若不存在，說明

34、理由。 【解析】若存在這樣的直線l的斜率為k，則1=omk，由雙曲線中點弦的斜率公式知：2=k， 此時l的方程為：) 1(21=xy，即12 =xy， 將它代入雙曲線方程1222=yx并化簡得：03422=+ xx， 而該方程沒有實數(shù)根，故這樣的直線l不存在。 三、三、拋物線拋物線 1、拋物線的定義：、拋物線的定義：平面內與一個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點f叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。 2、拋物線的圖形和性質：、拋物線的圖形和性質： (1)頂點是焦點向準線所作垂線段的中點； (2)焦準距：pff=； (3)通徑：過焦點垂直于軸的弦長為p2； (4)頂

35、點平分焦點到準線的垂線段：2pfoof=。 3、拋物線標準方程的四種形式：、拋物線標準方程的四種形式：pxy22=，pxy22=，pyx22=，pyx22=。 特點：焦點在一次項的軸上，開口與“p2”方向同向。 4、拋物線、拋物線pxy22=的圖像和性質：的圖像和性質： (1)焦點坐標是：)02(，p； (2)準線方程是：2px=； (3)焦半徑公式：20pxpf+=； (4)拋物線pxy22=上的動點可設為)2(020ypyp，或)22(2ptptp，。 5、一般情況歸納：、一般情況歸納： 方程 圖象 焦點 準線 定義特征 kxy =2 0k時開口向右 )04( ，k 4kx= 到焦點)04

36、( ，k的距離=到準線4kx=的距離 15 / 19 0k時開口向左 kyx =2 0k時開口向上 )40(k， 4ky= 到焦點)40(k，的距離=到準線4ky=的距離 0k時開口向下 6、焦點弦的相關公式：、焦點弦的相關公式：直線l經(jīng)過拋物線pxy22=(0p)的焦點f，且與拋物線相交于a、b兩點，其中)(11yxa，、)(22yxb，。 (1)焦點弦長公式：過焦點弦長pxxpxpxab+=+=212122|。 證明：pxxpxpxbbbbaaaabbaaab+=+=+=+=21212112121122|； (2)以| ab為直徑的圓必與拋物線的準線相切。 證法：設拋物線方程為pxy22=

37、(0p)，則焦點)02(，pf，準線l：2px=， 設以過焦點f的弦ab為直徑的圓的圓心m， a、b、m在準線l上的射影分別是1a、1b、1m， 則|11abbfafbbaa=+=+，又|2|111mmbbaa=+， |21|1abmm =，即|1mm為以ab為直徑的圓的半徑，且準線1mml ，命題成立。 (3)4221pxx=，221pyy=的值。 證法一：設直線l的方程為)2(pxky=，與拋物線方程pxy22=(0p)聯(lián)立可得：=)2(22pxkypxy， 則pxpxk2)2(2=，化簡得04)2(22222=+pkxppkxk，則4221pxx=， 又4212212221422pxxp

38、pxpxyy=，且021 yy，則221pyy=。 證法二：設直線l的方程為2pmyx+=，與拋物線方程pxy22=(0p)聯(lián)立可得：+=222pmyxpxy， 則)2(22pmypy+=，化簡得0222=ppmyy，則221pyy=， 又4422222221222121ppyypypyxx=。 (4)直線1ab與直線1ba必經(jīng)過原點o。 證法一：設ab：2pmyx+=，代入pxy22=，得0222=ppmyy， 16 / 19 由韋達定理，得2pyyba=，即abypy2=， xbb /1軸，且1b在準線2px=上，)2(1bypb， 則oaaaabobkxyyppyk=221，故直線ac經(jīng)

39、過原點o。 證法二：如圖，記準線l與x軸的交點為f，過a作laa 1，垂足為a，則11/bbffaa， 連結1ab交ff 于點n，則|111abbfabnbaanf=，|1abafbbnf=， |adaf =，|1bbbf =，|11nfabbbafabbfaafn=， 即n是ef的中點，從而點n與點o重合，故直線ac經(jīng)過原點o。 (5)fbfa11，即211= fba。 證明：)22(121yppyfa，=，)22(222yppyfb，=，a、b、f三點共線， 12212221221221ypyypypyyp=，221pyy=， 0)()(2122111=+=yypypypfbfa，fbfa

40、11，即211= fba。 (6)ffbffa=。 證明：)(11yxa，、)(22yxb，)02(，pf ，則211pxykfa+=，222pxykfb+=， 則)2)(2()2()2(222112212211pxpxpxypxypxypxykkfbfa+=+=+ )2)(2(2222)2)(2()22()22(212212122121212221pxpxpypyypypyypxpxppyyppyy+= 0)2)(2()22)()2)(2()22)()2)(2()(2)(22122121212121212121=+=+=+=pxpxpppyypxpxppyyyypxpxyypyypyy， f

41、fbffa=。 17 / 19 (7)pbfaf2|1|1=+。 證明：)2)(2(|1|12121pxpxpxxbfafbfafbfaf+=+=+ pkkpkkppkppkpppkppkpxxpxxpxx2) 12(2) 12(422424)(2222222222222212121=+=+=+=。 例 3-1斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線xy42=的焦點f，且與拋物線相交于a、b兩點，求線段ab的長。 【解析】拋物線xy42=的焦點坐標為)01 ( ，f，直線l方程為1= xy，設)(11yxa，、)(22yxb， 則由拋物線焦點弦長公式得：pxxab+=21|， 又a、b是 拋 物 線 與 直 線 的 交 點 ， 由=142xyxy得0162=+ xx， 則621=+ xx，8|=ab。 例 3-2正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線pxy22=(0p)上，求這個正三角形的邊長。 【解析】設正三角形oab的頂點a、b在拋物線上，且設點)(11yxa，、)(22yxb， 則1212pxy =，2222pxy =， 又|oboa =，22222121yxyx+=+，即0)(2)(212221=+xxpxx， 0)2)(2121=+pxxxx，又01