高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六 培優(yōu)點19 離心率范圍的求法

1、 培優(yōu)點培優(yōu)點 19 離心率范圍的求法離心率范圍的求法 圓錐曲線離心率的范圍是高考的熱點題型，對圓錐曲線中已知特征關(guān)系的轉(zhuǎn)化是解決此類問題的關(guān)鍵，相關(guān)平面幾何關(guān)系的挖掘應(yīng)用也可使問題求解更簡潔 例 (1)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點分別為 f1，f2，點 p 在雙曲線的右支上，且|pf1|4|pf2|，則此雙曲線的離心率 e的最大值為( ) a.43 b.53 c2 d.73 答案 b 解析 方法一 由雙曲線的定義知|pf1|pf2|2a， 又|pf1|4|pf2|， 故聯(lián)立，解得|pf1|83a，|pf2|23a. 在pf1f2中，由余弦定理， 得 cosf1pf2

2、649a249a24c2283a23a17898e2， 要求 e 的最大值，即求 cosf1pf2的最小值， 當(dāng) cosf1pf21時，解得 e53， 即 e的最大值為53，故選 b. 方法二 由雙曲線的定義知，|pf1|pf2|2a， 又|pf1|4|pf2|， |pf1|83a，|pf2|23a， |f1f2|2c，83a23a2c， ca53，即雙曲線的離心率 e 的最大值為53. (2)已知 p 是以 f1，f2為左、右焦點的橢圓x2a2y2b21(ab0)上一點，若f1pf2120 ，則該橢圓的離心率的取值范圍是_ 答案 32，1 解析 當(dāng)動點 p 在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點

3、運動時，p 對兩個焦點的張角f1pf2逐漸增大，當(dāng) p點位于短軸端點 p0處時，f1pf2最大 存在點 p為橢圓上的一點，使得f1pf2120 ， 在p0f1f2中，f1p0f2120 ， 在 rtp0of2中，op0f260 ， cb 3，即c2a2c23，即ca32，32eb0)的左頂點 a 且斜率為 k 的直線交橢圓 c 于另一點 b ，且點 b在 x軸上的射影恰好為右焦點 f，若16|k|13，則橢圓 c的離心率的取值范圍是_ 答案 23，56 解析 設(shè) f(c,0)，將 xc代入橢圓的方程， 可得c2a2y2b21，解得 yb2a，bc，b2a， 又a(a,0)，直線 ab的斜率為

4、kb2a0caa2c2a(ac)aca (1e) 16|k|13，0e1，161e13， 解得23eb0)，根據(jù)橢圓與正方形的對稱性，可畫出滿足題意的圖形，如圖所示， 因為|ob|a，所以|oa|22a， 所以點 a 的坐標為a2，a2， 又點 a在橢圓上，所以a24a2a24b21，所以 a23b2， 所以 a23(a2c2)，所以 3c22a2， 所以橢圓的離心率為 eca63. 2已知中心在原點的橢圓 c1與雙曲線 c2具有相同的焦點 f1(c,0)，f2(c,0)，p 為 c1與 c2在第一象限的交點，|pf1|f1f2|且|pf2|5.若橢圓 c1的離心率 e135，23，則雙曲線

5、c2的離心率 e2的取值范圍是( ) a.32，53 b.53，2 c(2,3) d.32，3 答案 c 解析 設(shè)橢圓的方程為x2a2y2b21(ab0)， 由|pf1|f1f2|且|pf2|5知， 2a52ce1ca2c2c5. 設(shè)雙曲線的方程為x2m2y2n21(m0，n0)， 同理，可得 e22c2c5. 由 e12c2c535，23知，2c152，10 ， 故 e22c2c5(2,3) 3已知 p 是橢圓x2a2y2b21(ab0)上的一點，橢圓長軸的兩個端點為 a，b，若apb120 ，則該橢圓的離心率的取值范圍是_ 答案 63，1 解析 設(shè) q 是橢圓的短軸的一個端點，則aqbapb120 ，于是aqo60 ，a 3b，即 a23(a2c2)，c2a223，又 0e0，b0)的左、右焦點分別為 f1，f2，|f1f2|2c，過 f2作 x 軸的垂線，與雙曲線在第一象限的交點為 a，點 q 的坐標為c，3a2且滿足|f2q|f2a|，若在雙曲線 c 的右支上存在點 p 使得|pf1|pq|f2a|，得3a2b2a，所以ba232， 所以 eca1ba2132102. 因為|pf1|pq|2a|pf2|pq|2a