高考數(shù)學一輪復習 不等式選講課件 理 新人教A版 (95)

1、7 7. .5 5數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法知識梳理考點自測1.數(shù)學歸納法的定義一般地,證明一個與正整數(shù)n有關的命題,可按下列步驟進行:(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立;(2)(歸納遞推)假設n=k(kn0,kN*)時命題成立,證明當n=_時命題也成立.只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學歸納法.k+1 知識梳理考點自測2.數(shù)學歸納法的框圖表示 知識梳理考點自測234151.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)用數(shù)學歸納法證明問題時,第一步是驗證當n=1時結(jié)論成立.()(2)所有與正整數(shù)有關的數(shù)學命

2、題都必須用數(shù)學歸納法證明.()(3)不論是等式還是不等式,用數(shù)學歸納法證明時,由n=k到n=k+1時,項數(shù)都增加了一項.()(4)用數(shù)學歸納法證明問題時,必須用上歸納假設.()(5)用數(shù)學歸納法證明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”,驗證n=1時,左邊式子應為1+2+22+23.() 答案 答案關閉(1)(2)(3)(4)(5)知識梳理考點自測234152.在用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為 n(n-3)條時,第一步檢驗第一個值n0等于()A.1B.2C.3D.0 答案解析解析關閉邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形. 答案解析關閉C 知識梳理考點自測234153.在用數(shù)學歸納法證明不等式(

3、n2,nN* )的過程中,由n=k到n=k+1時,左邊增加了()A.1項B.k項C.2k-1項D.2k項 答案解析解析關閉 答案解析關閉知識梳理考點自測234154.用數(shù)學歸納法證明34n+1+52n+1(nN+)能被8整除時,當n=k+1時,對于34(k+1)+1+52(k+1)+1可變形為()A.5634k+1+25(34k+1+52k+1)B.3434k+1+5252kC.34k+1+52k+1D.25(34k+1+52k+1) 答案解析解析關閉因為要使用歸納假設,必須將34(k+1)+1+52(k+1)+1分解為歸納假設和能被8整除的兩部分.所以應變形為5634k+1+25(34k+1

4、+52k+1). 答案解析關閉A知識梳理考點自測234155.用數(shù)學歸納法證明 1),第一步要證的不等式是. 答案解析解析關閉 答案解析關閉考點1考點2考點3考點4例1求證:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(n N* ). 答案 答案關閉(1)當n=1時,等式左邊=2,右邊=2,等式成立.(2)假設當n=k(kN*)時等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1),則當n=k+1時,左邊=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k135(2k-1)(2k+1)2=2k+1135(2k-1

5、)(2k+1),即當n=k+1時等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知等式對所有nN*都成立.考點1考點2考點3考點4思考用數(shù)學歸納法證明等式的注意點有哪些?解題心得解題心得用數(shù)學歸納法證明等式的注意點:(1)用數(shù)學歸納法證明等式問題,要“先看項”,弄清等式兩邊的構成規(guī)律,等式兩邊各有多少項,初始值n0是多少.(2)由n=k時等式成立,推出n=k+1時等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標;二要充分利用歸納假設,進行合理變形,正確寫出證明過程.(3)不利用歸納假設的證明,就不是數(shù)學歸納法.考點1考點2考點3考點4 答案 答案關閉考點1考點2考點3考點4例2若函數(shù)f(x)=x2-2

6、x-3,定義數(shù)列xn如下:x1=2,xn+1是過點P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直線PQn與x軸的交點的橫坐標,其中nN* ,試運用數(shù)學歸納法證明:2xnxn+13.考點1考點2考點3考點4考點1考點2考點3考點4思考具有怎樣特征的不等式可用數(shù)學歸納法證明?證明的關鍵是什么?解題心得解題心得1.當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時,若用其他辦法不容易證,則可考慮應用數(shù)學歸納法.2.證明的關鍵是:由n=k時命題成立證n=k+1時命題也成立,在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明,充分應用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧,使問題得以簡化.考點1考點2考點3考點4

7、答案 答案關閉考點1考點2考點3考點4例3用數(shù)學歸納法證明:42n+1+3n+2能被13整除,其中nN* . 答案 答案關閉(1)當n=1時,421+1+31+2=91能被13整除.(2)假設當n=k時,42k+1+3k+2能被13整除,則當n=k+1時,42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2).因為42k+113能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,所以當n=k+1時命題也成立.由(1)(2)可知,當n N*時,42n+1+3n+2能被13整除.考點1考點2考點3考點4思考用數(shù)學歸納法證明整除問

8、題的基本思路是什么?解題心得解題心得證明整除問題的關鍵是“湊項”,即采用增項、減項、拆項和因式分解等手段,將n=k+1時的式子湊出n=k時的情形,從而利用歸納假設使問題獲證.考點1考點2考點3考點4對點訓練對點訓練3(2017陜西西安模擬)試證:當n N* 時,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除. 答案 答案關閉(1)當n=1時,f(1)=64,命題顯然成立.(2)假設當n=k(k N*,k1)時,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除,則當n=k+1時,f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9(32k+2-

9、8k-9)+64(k+1),即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),因此當n=k+1時命題也成立.根據(jù)(1)(2)可知,對于任意n N*,命題都成立.考點1考點2考點3考點4例4設數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足 ,n N* ,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求數(shù)列an的通項公式.解: (1)由Sn= -3n2-4n,得S2=4a3-20,S3=S2+a3=5a3-20.又S3=15,a3=7,S2=4a3-20=8.S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7,a2=5,a1=S1=2a2-7=3.綜上知a1=3,a2=5,a3=7.考點1考點2考點3考點4(2)由

10、(1)猜想an=2n+1(n N*),以下用數(shù)學歸納法證明:當n=1時,猜想顯然成立;假設當n=k(k N*,且k2)時,有ak=2k+1成立,則Sk=3+5+7+(2k+1)即當n=k+1時,猜想成立.由知,數(shù)列an的通項公式為an=2n+1(n N*).考點1考點2考點3考點4思考解決“歸納猜想證明”問題的一般思路是什么?哪些問題常用該模式解決?解題心得解題心得解決“歸納猜想證明”問題的一般思路是:通過觀察有限個特例,先猜想出一般性的結(jié)論,再用數(shù)學歸納法證明.這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關的命題中有著廣泛的應用.考點1考點2考點3考點4(1)當n=1,2,3時,試比較f(n)與g(n)的大小關系;(2)猜想f(n)與g(n)的大小關系,并給出證明.考點1考點2考點3考點4考點1考點2考點3考點41.數(shù)學歸納法是一種重要的數(shù)學思想