平面幾何中輔助線的添加方法及其教學上的運用4頁

1、平面幾何中輔助線的添加方法及其教學上的運用平面幾何是中學數(shù)學的一個重要組成部分，證明是平面幾何的重要內(nèi)容。許多初中生對幾何證明題感到困難，尤其是對需要添加輔助線的證明題，往往束手無策。在這里我們介紹"添加輔助線"在平面幾何中的運用。為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線叫做輔助線。輔助線通常畫作虛線。關于添加輔助線的問題，這是初中生學習平面幾何難點之一，也是平面幾何教學中的一個重點。但是由于諸多方面的因素的影響，許多學生在完成幾何作業(yè)或考試答卷中常常出現(xiàn)輔助線的作法和敘述上的錯誤。例如：如圖，已知O的半徑為5， 弦ABCD，AB=6，CD=8。求：AB和CD的距離。 這道題的

2、輔助線如圖，可是在作業(yè)中同學卻出現(xiàn)了如下種種敘述方法：1、作AB和CD的垂線段MN2、過O點作直線MN垂直AB和CD3、過O點作AB和CD的垂直平分線MN4、作OMAB，并延長交CD于N5、連結(jié)AB，CD的中點MN，并使之通過O點6、連結(jié)MN，使MNAB，MNCD經(jīng)過分析，幾種敘述方法都是錯誤的。而這種種錯誤，歸納起來大致有以下2個原因：1、不會使用幾何作圖的規(guī)范用語；2、違反了幾何作圖的基本要求。那么，如何解決同學們在作輔助線時出現(xiàn)的問題呢？1、教學中注意培養(yǎng)學生的幾何語言的表達能力從學生的開始學習幾何時就應引入和應用規(guī)范用語，突出幾何語言，特別在學習尺規(guī)作圖時，更就突出作圖規(guī)范用語和訓練，

3、否則就會出現(xiàn)前文中出現(xiàn)的輔助線作法的敘述上的錯誤。下面介紹幾種常用的輔助線的正確敘述方法：（1）連結(jié)：如圖（1）連結(jié)AC、BD交于O點（2）作平行線：如圖：（2）過D點作DGAE，交BC于G（3）作垂線：如圖（3）分別過A、D兩點作AEBC，DFBC，垂足分別為E、F（學生容易丟掉）（4）延長：如圖（4）延長AC交O于F，連結(jié)DF2、教學中注意加強添加輔助線的練習訓練（1）關于添加輔助線的問題。這是初中學生學習平面幾何的難點之一，要在教學中循序漸進訓練學生。可以通過精選例題，讓學生開闊眼界，靈活思路，掌握規(guī)律，提高能力。在添輔助線時，必須使學生明確輔助線要添得合理，必須符合基本作圖要求。如證明

4、："三角形內(nèi)角和定理"，要證明這個定理應先以CA為一邊，在ABC外部作ACE=BAC，再延長BC，然后只要證明ECD=ABC就行了。根據(jù)這樣分析，故先作BC延長邊CD，并在ABC外部以CA為一邊，CE為另一邊作ACE=BAC，然后即可證BACABCACB=180°。此外還可以讓學生掌握多種方法添輔助線。（2）教學時，要注意強調(diào)添加輔助線是手段，而不是目的，它是溝通已知和未知的橋梁，不能見到題目，就無目的地添加輔助線。一則沒用、二則輔助線越多，圖形越亂，反而妨礙思考問題。同時，還應注意常見的輔助線的教學，使學生體會到許多輔助線的添加是有規(guī)可循的，從而進一步提高分析問

5、題能力。不斷引導學生總結(jié)一些帶有規(guī)律性結(jié)論，有助于拓寬思路，豐富聯(lián)想，而達到融會貫通的目的。3、教學中注意培養(yǎng)學生了解幾何問題的思考方法，防止添加輔助線的盲目性很多學生不能夠掌握正確的思考方法，常常是不著邊際的添加一些不恰當?shù)妮o助線，不僅不能有助于解題，反而使圖形復雜化，影響了對習題的解答。怎樣解決這個問題呢？仔細的分析一下，不難發(fā)現(xiàn)，不同的問題需要添加不同的輔助線，相同的問題思考方法不同，輔助線的添加又不同，所以說正確的添加輔助線依賴于問題本身對問題有一個正確的思考方法。因此，學生對一些問題的思考方法就顯得很重要了。例如:有這樣一個習題，矩形ABCD中，E是DC上的一點，且AE=AB，BFA

6、E于F，求證：EF=EC這個題目的證明本身可以不添加輔助線，直接證明ABFEAD，從而AF=DE，又因為DC=AB=AE，即可以得出結(jié)論。但是不同的學生對同一個問題的思考方法不同，因而出現(xiàn)幾種添加輔助線的方法：、驗證EF=EC可以它們所在的三角形全等，因而需要將它們構(gòu)建到兩個全等的三角形中去，所以連接B、E。、驗證EF=CE可以證它們是一個等腰三角形的兩條腰，所以連結(jié)F、C。上述幾種方法有繁有簡，但都能順利地得出結(jié)論，所以采用不同的思考方法，對同一個問題就有了不同的輔助線的添加方法。4、教學中引用歌訣，讓學生找到添加輔助線的規(guī)律怎樣才能正確地添加輔助線呢？我向?qū)W生介紹了平面幾何輔助歌訣：輔助線

7、 ，如何添，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。 題中有角平分線，可向兩邊作垂線。 線段垂直平分線，可向兩端把線連。 三角形中兩中點，連結(jié)則成中位線。 三角形中有中線，延長中線同樣長。 成比例，正相似，經(jīng)常要作平行線。 作線原則有一條，證題線段別割斷。 圓外若有一切線，切點圓心把線連。 如果兩圓內(nèi)外切，經(jīng)過切點作切線。 兩圓相交于兩點，一般作它公共弦。 是直徑，成半圓，想做直角把線連。 作等角，添個圓，證明題目少困難。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。學生通過這一歌訣就可以找到添加輔助線的規(guī)律。5、教學中注意總結(jié)常見添加輔助線的方法在平時的教學中教會學生思考問題的方法是極為重要的，總結(jié)一些常見的輔助線的添加辦法也

8、有助于學生解決問題，在幾年的教學中總結(jié)以下幾點：5.1 截長補短，針對證明一條線段等于另外兩條線段的和及差例如:已知RtABC中,C=90°，AC=BC,AD是BAC的角平分線,求證:AB=BC+CD方法一:截長，在AB上截取AE等于AC，連接DE從而就有了AEDACD,可得DE=DC,因為C=90°,從而又可得BED是等腰三角形,因此有DE=DC=BE,得出AB=AC+CD方法二:補短延長AC到F，使CF=CD，連接D、F,可證ABDAFD，可得AF=AB，得出結(jié)論。5.2 和線段的中點有關的問題往往可以聯(lián)系到三角形和梯形的中位線例如：如圖四邊形ABCD是圓的外切四邊形，

9、其周長是S，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，求證：4EFS證明方法：連接AC（BD），N是AC和EF的交點，若N是AC的中點，則EFDCAB，四邊形ABCD是梯形，那么EF是梯形ABCD的中位線，則有4EF=2（AB+CD）=AB+BC+CD+DA=S若N不是AC中點則可以做出AC的中點M，連接EM，F(xiàn)M，則有2EM=DC，2FM=AB，從而可以得出4（EM+FM）=2（AB+DC）=S，而在三角形EMF中EFEM+MF，可得4EFS。5.3 和角平分線有關的問題，通常可以作這個角的兩邊的平行線例如：ABC中，AD是BAC的角平分線，與BC交于D，求證：ABAC=BDCD這個習題的證明方法很多，

10、但均離不開添加BAC的兩邊的平行線。過D做DEAC與AB交于E。過D做DFAB與AC交于F。過B做BHAC與AD交于H。過C做CGAB與AD的延長線交于G。5.4 已知三角形的一邊中點，可以取另一邊的中點，并做出三角形的中位線，以便利用中位線的性質(zhì)例：已知在三角形ABC中，B=2C，AD為高，E為BC的中點，求證：AB=2DE。證明：取AC中點F，連接EF，DF，則EF為中位線，且EFAB、FEC=B=2C，在直角三角形ACD中，F(xiàn)是斜邊AC的中點，所以有DF=CF、可得DEF=C，即有2FDC=FEC，從而有EFC=FDC+DFE，所以2DFE=FEC=2FDC得出DE=EF，得出2DE=A

11、B得證。5.5 如遇垂直平分線的問題，往往構(gòu)成等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)解題例：已知在三角形ABC中，BD，CE分別是AC，AB邊上的高，G為ED的中點，求證：FGED分析：G是ED的中點，要證明FGED，說明FG必為ED的垂直平分線，自然考慮添加輔助線DF與EF，只要證得DF與EF相等，就可利用等腰三角形的三線合一定理推出結(jié)論。5.6 當比例式不能直接證明時，往往可以考慮"中間比"，為此往往需要添加平行線實現(xiàn)這種比的轉(zhuǎn)移例：已知在三角形ABC中，D在CB的延長線上，E在AC上，BD=AE，DE交AB于F，求證：DFEF=ACBC。分析：所證明的四條成比例線段，構(gòu)不成兩個相似三角形，因此考慮作EGAB，將DFEF轉(zhuǎn)化為DBBG，最后轉(zhuǎn)化為ACBC（證明略）5.7 涉及到圓的輔助線可以歸納如下：遇有直徑，常把圓上的一個點和直徑的兩個端點連接，構(gòu)成直角三角形；有關弦的問題常做弦心距和將圓心與弦的兩個端點連接；兩圓相切或相交，則可以編成順口溜："相切做條公垂線，相交做條共弦，相切相交連心線，必過切點，垂直公共弦"例：已知圓1與2相交于P，Q的直線APB，CQD分別交圓1于A，C，交2于B，D，求證：ACBD。證明：連接PQ，在圓1中，