24高考數(shù)學(xué)解題錯誤成因分析與應(yīng)對策略

1、高考數(shù)學(xué)解題非智力因素夾謀的成因分析與應(yīng)對策略高考是人生一件大事，在高考中取得數(shù)學(xué)科0的高分是莘莘學(xué)子夢寐以求 的事，為此不少的學(xué)生做出十兒年艱苦奮斗，但是在歷年的高考中還是有些數(shù) 學(xué)得很好的同學(xué)考出不滿意的成績，不能很好地展現(xiàn)個人的才華，造成人生第 一次，第大憾事。是什么原因造成這些考生的終生遺憾，這是本課研究的主題, 怎樣有效地避免類似的悲劇在高考中重演則是木課要達(dá)到的目標(biāo)。一. 數(shù)學(xué)解題錯誤的特征解題錯誤是數(shù)學(xué)過程中的正?，F(xiàn)象，它既與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境有關(guān)，又與試題的 難易程度有關(guān)同時也考生學(xué)習(xí)水平、身體與心理狀況有關(guān)。數(shù)學(xué)解題錯誤既有 個性又有共性，據(jù)統(tǒng)計數(shù)學(xué)錯誤有一定的規(guī)律性。1. 1主觀

2、盲動性：數(shù)學(xué)解題是主體感受并處理數(shù)學(xué)信息的創(chuàng)造性的思維過程。 部分考生末切題意，加之高考求勝心切，憑個人的經(jīng)驗盲目做題，以至于出現(xiàn) 主觀認(rèn)識錯誤和限入主觀思維定勢，造成的主觀盲動性錯誤和解題思維障礙。1. 2漏洞隱蔽性：數(shù)學(xué)解題是考生借助特定“數(shù)學(xué)語言”進行數(shù)學(xué)思維的過程, 在這個過程中考生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維習(xí)慣有著決定性的作用。個體思 維的跳躍性是產(chǎn)生思維漏洞的根本原因，這種思維漏洞一旦產(chǎn)生，考生是很難 發(fā)現(xiàn)的，考生本人還處我感覺很好。這是思維跳躍度大和平時解題不寫過程的 考生的共同特點。（是聰明人犯的愚蠢的錯誤）1. 3錯誤可避性：解題錯誤是在數(shù)學(xué)解題過程中形成的，是數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中的

3、 正?，F(xiàn)象。因此高考數(shù)學(xué)解題屮的錯誤也是可以避免的。所謂“吃一塹長一智”, 就是說我們要增強數(shù)學(xué)解題過程中的錯祺警戒意識，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣, 并構(gòu)建數(shù)學(xué)解題過程中常見性錯誤的“錯題庫”1. 4形式多樣性：數(shù)學(xué)解題錯誤形式多樣性是由數(shù)學(xué)知識的廣泛性和個休思維 的不確定性決定的。一般來說考生有解題錯誤有知識性錯誤、邏輯性錯誤、心 理性錯誤、策略性的錯誤。二. 數(shù)學(xué)解題失誤的形式2.1基本概念數(shù)學(xué)特征不明1.曲線丄+丄如6）與曲線丄+丄的1（） 一加 6 - m5 一？ 9 一】（a）焦距相等（b）離心率相等（c）焦點相同（d）準(zhǔn)線相同2 .若處（0加方程x + y2cos"l表示的

4、曲線可以是直線、圓、橢圓、雙曲線2.2策略性錯誤策略性錯誤是指解題思路阻塞或一種策略產(chǎn)生錯誤導(dǎo)向，或指一種策略明 顯增加了過程的難度和復(fù)雜性，由于時間的限制，問題最終得不到解決。主要 有：方法不當(dāng)，不能正確轉(zhuǎn)化問題或運用模式。（消除策略性錯誤的應(yīng)對策 略是：后期復(fù)習(xí)注意歸類總結(jié)，對基礎(chǔ)題中檔題形成模式化解法）3. 過圓/ + y2= 4外一點m （4, -1）引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為 析；4x-y-4 = 0,錯謀的思路是先找切點而后再直線方程，造成了很人的計算最。4. 對止整數(shù)n,設(shè)拋物線y2=2(2n-» l)x,過點p(2n, 0)作直線交拋物線于a”,兩點，則

5、數(shù)列 空如 的29n + l) j前 n 和二 -nn +1)2.3閱讀理解失誤【錯誤形式1】忽視隱含條件，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。5. 設(shè)q、0是方程嚴(yán)_2也+ £ + 6 = 0的兩個實根，則(4-1)2+(0-1)2的最小值是 49(a)(b) 8(c) 18(d)不存在4析：誤了 a,應(yīng)注意 a = 4k2-4(k + 6)>0 =>k<-2 或 k»3.思路分析木例只有一個答案正確，設(shè)了 3個陷阱，很容易上當(dāng)。 利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：a + 0 = 2£,妙=£ + 6, (cc -1)，+ (0 i)2 = cc 2q

6、+ 1 + f3 - 20 + 1=(ex + 0尸2a0 2(6z + 0) + 2有的學(xué)生一看到-二，常受選擇答案(a)的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果 4能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從屮選出正確答案。原方程有兩個實根、0,a = 4k2-4(k + 6)>0 => k <-2 或k>3.當(dāng)k>3時，(q 1尸+(0 1)2的最小值是8；當(dāng)k<-2時，(a i)2 + (0 i)2的授小值是180這時就可以作出正確選擇，只有(b).正確。26. 已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范亂o 28 錯解

7、 由己知得 于二一4x?16x12,因此 x2+y2= 3x2 16x 12= 3(x+ )2+ ,當(dāng)x=|時，x?+y2有最大值竽,即x?+y2的取值范圍是(一8, ¥ 。分析沒有注意x的取值范圍要受己知條件的限制，丟掉了最小值。2 2事實上,由于(x+2)2+ 才=1 =>(x+2)2=l- 才 wl => 3wxw l,從而當(dāng)x=-l時x2+y2 w最小值1。x?+y2的取值范圍是1, y 。 注意有界性：偶次方x20,三角函數(shù)一iwsinxwl,指數(shù)函數(shù)ax>0,圓錐曲線有界性等。兀2y2» .7. 已知橢|m| e : + - = 1的兩個焦點分

8、別為片、化,若點p在橢圓e上，且滿足pf, pf,=t ,求實 43數(shù)f的取值范圍.8在函數(shù)y=x3-8x的圖象上，其切線的傾斜角小于三的點中，坐標(biāo)為整數(shù)的點的個數(shù)是4a.3b.2c.ld.0析：(忽視了傾角的定義與斜率之間的關(guān)系，即導(dǎo)數(shù)限制條件是：0<3x2-8<l=>-<x2<3,xez=>xe)39. 在極坐標(biāo)系中，從極點0作圓q = 8sin&的弦on,則on的中點的軌跡方程是 析：° = 4sin0,錯誤原因是寫成了直角坐標(biāo)系內(nèi)的方程x2 + /-4y = 010. 直線兀+ y = l與圓x2 + y2-2ay = 0 (q0)

9、沒有公共點，則實數(shù)d取值范圍是()a. (0,血一 1) b.(血一 1,0 + 1) c.(一血一1,血 + 1) d. (0,血+ 1)析：應(yīng)選a,忽視了。>0,錯誤地選取了 c。11. 設(shè)0 (0, 0) a (1, 0), b (0, 1) p是線段ab上的一個動點，ap = ab若麗盤用兩則實數(shù)2 取值范圍是()a.丄,1b. 1- -1,1 c. -,1 + d. 1- ,1 + 2 2 2 2 2 2析：忽視了點p在線段ab上應(yīng)滿條件0s251,錯選了 d,應(yīng)選b12已知 (x, y ) | (m+3) x+y=3m-4) cl (x, y) 17x+ (5-m) y-8=

10、0 = 4> 則直線(m+3) x+y=3m+4 與坐標(biāo)軸圍成的 三角形的面積是析：只重平行，忽視重合，忘舍了呼4【錯誤形式2】忽視不等式中等號成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯誤。13. 已知：a>0 , b>0 , a+b= 1,求(a+ + )2+(b+ | )'的最小值。錯解(a )?+(b )=a+bj h +422ab+424 - /uh 4=&a bcr hab v ab(a+丄r+(b+丄尸的最小值是8.a b分析 上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab,笫一次等號成立的條件是a=b=丄,笫二次等號成2立的條件是ab二丄，顯然，這兩個條件是不能

11、同時成立的。因此，8不是最小值。 ab事實上，原式=a2+b2+- +- +4=( a2+b2)+(- +- )+4=(a+b)22abj+l( + )2 +4ct bcr bci b ab= (l-2ab)(l + !)+4,crb2h由 abw(£±2)2二丄 得：l2ab21 丄=丄，且-16, 1 + 丄217, 242 2 a2h2a21-21 251.i原式>1x17+4=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=-時,等號成立),2 22|1osa (a + -)2 + (b+ =2的最小值是年。abz14. |ll|線y = l + j4-兀$ ,與直線y二縱兀一2)有兩個公

12、共點，則實數(shù)k取值范圍是()51 355 3化(°'石)丘(亍才)° (巨,+oc)d.析：錯選c,錯因化一元二次方程求解，忽視了函數(shù)y = l + j4-兀2的特點，解題策略不當(dāng)，應(yīng)注意數(shù)形 結(jié)合，用直線和圓珠筆的位置關(guān)系求解?！惧e誤形式3】重視一般性，忘記特殊性15求過點(0,1)的直線，使它與拋物線)/ =2x僅有一個交點。錯誤解法 設(shè)所求的過點(0,1)的直線為y = d + l,則它與拋物線的交點為y+1,消去 y 得( + 1)2-2x = 0.整理得 /+(2r 2)兀+ i = o.宀2兀直線與拋物線僅冇一個交點，.a = 0,解得£=丄.

13、所求直線為）丄x + 1.2 - 2 錯誤分析此處解法共有三處錯誤：第一，設(shè)所求直線為y = d + l時，沒有考慮£=0與斜率不存在的情形，實際上就是承認(rèn)了該直線的 斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。第二，題中耍求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切 的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關(guān)系理解不透。第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系 數(shù)不能為零，即鳥工0,而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。正確解法 當(dāng)所求直線斜率不存在吋，即直線垂直x軸，因為

14、過點（0,1）,所以x = 0,即y軸，它正 好m拋物線于=2兀相切。 當(dāng)所求直線斜率為零吋，直線為y = l平行兀軸，它正好與拋物線y2 =2%只有一個交點。y = kx + 一般地，設(shè)所求的過點（0,1）的直線為y = kx +1伙工0）,則 7,b =2 兀 11:.k2x2 （2k-2）x + l = 0.令 = （）,解得 k = - ,所求 i線為 y=-x + ./2綜上，滿足條件的直線為：y = l, x = 0,+ l16. 已知函數(shù).f（x）=的定義域為r,則實數(shù)q取值范圍是（）ax'' + ax _ 3a. ci > b一12va<0 c. 1

15、2vas0 d. as 33析：應(yīng)選c,錯誤原因是只把分母看成二次函數(shù)研究，而忽視了 a = 0情況?！惧e誤形式4】以偏概全，錯將特殊當(dāng)一般17. 設(shè)等比數(shù)列血的全項和為s”.若53+s6 =2s9,求數(shù)列的公比g.錯誤解法sjs6=2s9，.空匕心+空匕心/空汕，1-ql-ql-q整理得 q2q6-q3-d =0.3/7山qho得方程 2q6 q3 1 = 0. /. （2q3 + l）（q3 -1） = 0,/. q = 或 q = l。錯誤分析 在錯解中，由e（iq）+ 5（i_q6）= 2.5（i；）,-ql-ql-q整理得 q3（2q6-q3-l） =0 時，應(yīng)有 a"0

16、和 qhl。在等比數(shù)列中，如工0是顯然的，但公比q完全可能為1,因此，在解題時應(yīng)先討論公比q = l的情 況，再在ghl的情況下，對式子進行整理變形。正確解法 若q = l,貝i府s3=3ai9s6=6ai9s9 =9%但® h0,即得s3+56 259,與題設(shè)矛盾, 故g工1 乂依題意 s3+s6 =2s9 =>5（1-?。??！浚?-96）=2宀（1-/） = q3（2q6_q1）=° ,即l-qi-ql-q3/7（2亍+1）（/1） = 0,因為 ghl,所以1h0,所以 2q3 +1 = 0.解得 q = 2說明 此題為1996年金國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21

17、）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分?！惧e誤形式5】忽視分類討論，或分類不全18. 已知數(shù)列仏的前zi項和sn =2n +1,求©.錯誤解法 j = s” 一 s- = （2” +1） - （2心 +1） = t - 2n = 2心錯誤分析 顯然，當(dāng)” =1時，a = s = 3 # 21_, = 1 o 錯誤原因：沒有注意公式勺嚴(yán)s“ -s“_成立的條件是。s. （ = 1）因此在運用q=s”s時，必須檢驗刃=1時的情形。即：an= "w m 1”（n>2,nen）19. 實數(shù)d為何值時，圓x2 +y2-2ax-a2=0與拋物線y2 =-x有兩個公

18、共點。-2錯誤解法 將圓x2 + y2 -2ax + a2 - = 0與拋物線y2 =-x聯(lián)立，消去y,2得 x (2d )x cc 1 0 (x 0).2要使闘與拋物線冇兩個交點的充要條件是方程冇一正根、一負(fù)根；或冇兩個相等匸根。a>0當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時，得彳7解之，得-<a<.宀1 <0.171因此，當(dāng)ci= 或lvavl時，圓x2 + y2-2ax + a2-1 = 0與拋物線y2 =-xii兩個公共點。 82思考題：實數(shù)。為何值時，圓，+丿22處+ /一 1 =（）與拋物線y2（1）有一個公共點；（2）有三個公共點；（3）有四個公共點；（4）沒有公共點。【

19、錯誤形式6】空間圖形讀圖平面化20. 一個簡單空間兒何體的三視圖其主視圖與左視圖為邊長為2的正三角形，俯視圖是正方形則其體積二43析：誤將斜高當(dāng)側(cè)棱【錯謀形式7】類比推理中，推理方向的盲目性21. 如圖，在三角形abc中，ab1ac, ad丄bc, d是垂足，貝dab? =bdbc (射影定理)類似有命題:三棱錐a-bcd中ad丄平面abc, ao丄平面bcd, 0為垂足，且0在zbcd內(nèi)，則有【錯誤形式8】歸納推理中，推理方向的盲目性22. 將正偶數(shù)按右表排列，則2006在第行，第列。第1列第二列第1行2第2行1614第3行18第4行3230第三列第四列第五列46812102022242826【錯誤形式9】限域求值，等號取舍不當(dāng)23. 不共線的向量方與胎夾角不超過ji5o°, a =v3, c = a-2b9則匸的取值范圍是tt24. 設(shè)函數(shù) y = log2(sin + cos&),xw(0,),求兩