波利亞的《怎樣解題》(word版)

1、專業(yè)資料1幫助學生第一部分 在教室中目的 WORD完美格式 下載可編輯教師最重要的任務之一是幫助學生。這個任務并不很簡單，它需要時間、 實踐、熱忱以及健全合理的原則。學生應當有盡可能多的獨立工作經(jīng)驗。但是如果讓他獨自面對問題而得不 到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進步。但若教師對他幫助過多， 那么學生卻又無事可干，教師對學生的幫助應當不多不少，恰使學生有一份合 理的工作。如果學生不太能夠獨立工作，那末教師也至少應當使他感覺自己是在獨立 工作。為了做到這一點，教師應當考慮周到地、不顯眼地幫助學生。不過，對學生的幫助最好是順乎自然。教師對學生應當設身處地，應當了 解學生情況，應當弄清學生

2、正在想什么，并且提出一個學生自己可能會產(chǎn)生的 問題，或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟。2問題、建議、思維活動 在打算對學生進行有效、不顯眼而又自然的幫助時，教師不免一而再，再而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。這樣，在大量的問題中， 我們總是問：未知數(shù)是什么?我們可以變換提法，以各種不同的方式提問同一個 問題：求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?這類問題的目的是把學生的注 意力集中到未知數(shù)上。有時，我們用一條建議：看著未知數(shù)，來更為自然地達 到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動。從作者看來，在與學生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，

3、并加以分類是有價值的。前面這張表就包含了這類經(jīng)過仔細挑選與安排的問題 和建議；它們對于那些能獨立解題的人也同樣有用。讀者充分熟悉這張表并且 看出在建議之后所應采取的行動之后，他會感到這張表中所間接列舉的是對解 題很有用的典型思維活動。這些思維活動在表中的次序是按其發(fā)生的可能性大 小排列的。3普遍性 表中所提問題與建議的重要特點之一是普遍性，例如：未知數(shù)是什么?已知數(shù)是什么?條件是什么?這些問題都是普遍適用的，對于所有各類問題，我們 提出這些問題都會取得良好效果。它們的用途不限于任何題目。我們的問題可 以是代數(shù)的或幾何的，數(shù)學的或非數(shù)學的，理論的或?qū)嶋H的，一個嚴肅的問題 或僅僅是個謎語。這沒什么

4、差別，上述問題都是有意義的，而且有助于我們解 題。事實上，還存在一個限制，不過這與論題無關。表中某些問題與建議，只 能用于“求解題”而不能用于“求證題”。如果我們的問題屬于后者，則必須 采用別的提問方法，見第三部分“求解題，求證題”這一段。4常識我們這張表中的問題與建議是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它 們也是自然的、簡單的、顯而易見的并且來自于普通常識。例如這條建議：看 著未知數(shù)!試想出一個具有相同未知數(shù)或類似未知數(shù)的熟悉的問題，這條建議不 管怎樣總是勸告你去做你想做的事，而對于你認真要解決的問題并未提出具體 的勸告。你是不是肚子餓了?如果你希望搞點吃的，你就會想起你所熟悉的搞到 食物

5、的一些辦法。你是不是有一個幾何作圖題?如果你想作一個三角形，你也會 想起你所熟悉的一些作三角形的辦法。你是否有一個任意的問題?你若希望找出 某個未知數(shù)，你就會想起找出這樣一個未知數(shù)或你所熟悉的類似未知數(shù)的一些 辦法。如果你這樣做了，那你的路子也是對頭的；這個建議是個好建議，它向 你提出一個常能成功的程序。我們表中的所有問題與建議都是自然的、簡單的、顯而易見的，而且只不 過是普通常識；但是這張表把常識概括地加以敘述。這張表所提出的處理辦法 對于那些認真對待其問題并有某些常識的人來說是很自然的。然而按正確道路 行動的人往往不注意用明確的語言來表達其行動，而且他可能根本不會這樣做； 我們這張表卻嘗試

6、去表達這些。5教師與學生，模仿與實踐 當教師向?qū)W生提出表中的問題或建議時，他可能有兩個目的：第一，幫助學生解決手頭的問題；第二，培養(yǎng)學生將來能夠獨立解題的能力。經(jīng)驗證明，適當使用我們表中的問題與建議，常能對學生有所裨益。此表 有兩個特點：常識性與普遍性。由于此表來源于普通常識，所以顯得很自然， 學生自己也會提出這類問題。由于此表具有普遍性，所以它們對學生的幫助并 非強加于人；它們只不過指出了一般的方向，而留給學生去做的還很多。上述兩個目的是密切相關的。如果學生在解決手邊的問題中獲得成功，他 就提高了一些解題的能力。這時，我們不應該忘記我們所提問題具有普遍性而 且可適用于許多情況。如果同一個問題

7、反復地對學生有所幫助，那么他就會注 意到這個問題，于是在類似的情況下，他自己就會提出這個問題。通過反復地 提出這個問題，他總會有一次成功地誘導出正確的念頭。通過這樣一次成功， 他便發(fā)現(xiàn)了利用這個問題的正確途徑，于是，他真正地領會了它。學生可能對我們表中的一些問題領會得很好，以致他最終能夠在恰當?shù)臅r 刻向自己提出正確的問題，并進行相應的自然而活躍的思維活動。這樣，學生 就無疑從我們的表中得到了盡可能多的收獲。為了得到盡可能好的結果，教師 可以做些什么事呢?解題，譬如，就好象游泳一樣，是一種實際技能。當你學習游泳時，你模 仿其他人的手足動作使頭部保持在水面上并最后通過實踐(實地練習游泳)來學 會游

8、泳。當試圖解題時，你也必須觀察并模仿其它人在解題時的所作所為，并 且最后通過實踐來學會解題。希望提高學生解題能力的教師，必須培養(yǎng)學生的興趣，然后給他們提供大 量的機會去模仿與實踐。如果教師想要在他的學生中發(fā)展相應于我們表中的問 題與建議的思維活動，那么他就應該盡可能地經(jīng)常而自然地向?qū)W生提出這些問 題和建議。此外，當教師在全班面前解題時，他應當使其思路更吸引人一些， 并且應當向自己提出那些在幫助學生時所使用的相同問題。由于這樣的指導， 學生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將 學到比任何具體數(shù)學知識更為重要的東西。6四個階段主要部分，主要問題在求解過程中，我們很可能再

9、三地改變我們的觀點，或者改變考慮問題的 途徑。我們應該不斷地變更我們的出發(fā)點。當我們開始著手解題時，我們對問 題的概念可能很不完整；當我們有些進展以后，我們的看法就不同了；而當我 們幾乎已經(jīng)得到解答的時候，看法就會更不相同。為了把我們表中的問題與建議進行適當分組，我們把工作分為四個階段。 首先，我們必須了解問題；我們必須清楚地看到要求的是什么?其次，我們必須 了解各個項之間有怎樣的聯(lián)系?未知數(shù)和數(shù)據(jù)之間有什么關系?為了得到解題的 思路，應該制定一個計劃。第三，實現(xiàn)我們的計劃。第四，我們回顧所完成的 解答，對它進行檢查和討論。上述每一階段都有其重要性。可能會有這樣的情況：一個學生想出了一個 異常

10、好的念頭，于是跳過所有的預備步驟，解答就脫口而出了。如此幸運的念 頭當然是求之不得的，但是也可能發(fā)生很不如愿和很不走運的事：即，學生通 過上述四階段中的任何一個階段都沒有想出好念頭。最糟糕的情況是：學生并 沒有理解問題就進行演算或作圖。一般說來，在尚未看到主要聯(lián)系或者尚未作 出某種計劃的情況下，去處理細節(jié)是毫無用處的。如果學生在實行其計劃的過 程中檢查每一步，就可以避免許多錯誤。如果學生不去重新檢查或重新考慮已 完成的解答，則可能失去某些最好的效果。7、弄清問題回答一個你尚未弄清的問題是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的。 在校內(nèi)外，這種愚蠢和可悲的事情卻經(jīng)常發(fā)生，但教師應力求防止在他的班級

11、 里發(fā)生這樣的事。學生應當弄清問題，然而他不僅應當弄清它，而且還渴望解 出它。如果學生對問題沒弄清或不感興趣，這并不是他的過錯，問題應當精選， 所選的題目不太難但也不要太容易，應順乎自然而且趣味盎然，并且有時在敘 述方式上也應當自然而有趣。首先，必須了解問題的文字敘述。教師在某種程度上可以檢查這一點，他 可以要求學生重新敘述這題目，而學生應能流利地重新敘述這個問題。學生還 應當能夠指出問題的主要部分，即未知數(shù)，已知數(shù)據(jù)，條件。所以老師提問時， 不要錯過這樣的問題：未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)是什么?條件是什么?學生應該仔細地、重復地并且從各個方面來考慮問題的主要部分。如果問題和某一圖形有關，那末他應

12、該畫張圖并在上面標出未知數(shù)與已知數(shù)據(jù)。如果 對這些對象需要給以名稱，他應該引入適當?shù)姆?。適當?shù)刈⒁膺x擇符號，他 就會被迫考慮這些必須選擇符號的對象。在此預備階段中，假定我們并不期望 有一個明確的回答，而只不過想有一個臨時性的回答或一個猜測，那么另外還 有一個問題可能是有用的，即：滿足條件是否可能呢?(在本書第二部分中，把“弄清問題”分成兩個階段：“熟悉問題”和“深人理解問題”)。8、例子讓我們說明上節(jié)中的某幾點內(nèi)容。我們選下列簡單問題：已知長方體的長、寬、高，求其對角線長度。為了對此問題作有益的討論，學生必須熟悉畢達哥拉斯定理及其在平面幾 何中的某些應用。他們對立體幾何可能只有很少的系統(tǒng)知識

13、。教師這時可以依 賴學生對空間關系的樸素知識。教師可以通過使問題具體化而使之有趣。如教室就是個長方體，其尺寸可 以測量，也可以估計，要求學生不作測量，間接地求出教室的對角線長度。教 師指出教室的長、寬、高，用手勢說明什么是對角線，通過不斷地和教室相聯(lián) 系而使他畫在黑板上的圖變得更加形象。以下是老師與學生間的對話： “未知數(shù)是什么?” “長方體對角線的長度。” “已知數(shù)是什么?” “長方體的長、寬、高。”“引入適當?shù)姆?，用哪個字母表示未知數(shù)?” “x”“長、寬、高應選哪些字母?” “a，b，c” “聯(lián)系a，b，c與x的條件是什么?”“x是長方體的對角線，長方體的長、寬、高為a，b，c” “這是

14、個合理的問題嗎?我意思是說，條件是否充分，足以確定未知數(shù)嗎?” “是的，是充分的。如果我們知道a，b，c，我們就知道平行六面體。如果平行六面體被確定，則對角線也被確定了。”9擬定計劃當我們知道，或至少大體上知道，為了求解未知數(shù)，必須完成哪些計算、 要作哪些圖的時候，我們就有了一個計劃。從弄清問題到想出一個計劃，其過 程可能是漫長而曲折的。事實上，求解一個問題的主要成績是構想出一個解題 計劃的思路。這個思路可能是逐漸形成的?；蛘?，在明顯失敗的嘗試和一度猶 豫不決之后，突然閃出了一個“好念頭”。老師為學生所能做的最大的好事是 通過比較自然的幫助，促使他自己想出一個好念頭。我們下面就要討論的問題 與

15、建議正是要誘發(fā)這樣一種好念頭。 為了弄清學生的心理活動，老師應當回想他自己的經(jīng)驗，回顧他自己在解題時碰到的困難與取得成功的經(jīng)驗。我們當然知道，如果我們對該論題知識貧乏，是不容易產(chǎn)生好念頭的。如 果我們完全沒有知識，則根本不可能產(chǎn)生好念頭。一個好念頭的基礎是過去的 經(jīng)驗和已有的知識。僅僅靠記憶不足以產(chǎn)生好念頭。但若不重新收集一些有關 事實，則也不會出現(xiàn)好念頭。只有材料還不足以蓋房子，但是不收集必需的材 料也蓋不了房子。解決數(shù)學問題所必需的材料是我們早已獲得的數(shù)學知識的某 些有關內(nèi)容，如以前解決的問題，以前證明過的定理。因此，以下列問題開始 工作常常是合適的：你知道一個與此有關的問題嗎?困難就在于

16、：通常有相當多的問題與我們現(xiàn)在手上的問題有關，即，與它 有某種共同之處。我們怎樣挑出其中一個或幾個確實有用的問題呢?我們建議把 力量放在主要的共同之處上：看著未知數(shù)!試想起一個具有相同或相似未知數(shù)的 熟悉的問題來。如果我們成功地回想起一個與當前問題密切相關的早已解決的問題，那是 很幸運的。我們應當爭取這樣的運氣；通過探索我們是可以得到它的。這里 有個問題與你的問題有關，且早已解決，你能利用它嗎?上述問題，如能很好地理解和認真地加以考慮，常常有助于激發(fā)起一連串 正確的想法；但它們并不總是有用的，它們并非魔法。如果這些問題不行，我 們必須尋找某些其他的適當接觸點，并且探索問題的各個方面；我們不得不

17、變 化、變換、修改該問題。你能否重述這個問題?我們表中的某些問題提示了改變 問題的專門方法，例如普遍化、特殊化、應用類比、舍去一部分條件等等；具 體細節(jié)是重要的，但我們現(xiàn)在不能深入討論。改變問題可能導致提出某種適當 的輔助問題：如果你不能解決所提出的問題，則應首先嘗試去解決某些與此有 關的問題。嘗試去應用各種已知的問題或定理，考慮各種修改，對各種輔助問題進行 試驗，我們可能離開原來的問題太遠，甚至最后有失掉它的危險。但是還有一 個很好的問題可以把我們帶回原處：你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用 了整個條件?10例子我們回到第8節(jié)中的例子?！澳闶欠裰酪粋€與此有關的問題?” “看著未知數(shù)，你

18、是否知道一個具有相同未知數(shù)的問題?” “好，未知數(shù)是什么?”“平行六面體的對角線?！?“你是否知道任何具有相同未知數(shù)的問題?” “不，我們還沒有任何關于平行六面體對角線的問題” “你是否知道任何具有相似未知數(shù)的問題?”“你看，對角線是個線段，就是直線的一段。你從來沒有解決過一個未知 數(shù)是直線長度的問題?”“當然，我們曾經(jīng)解決過這樣的問題，例如找出直角三角形的一個邊?！?“好啊!這里有一個知你的問題有關的問題，且早已解決，你能利用它嗎？”“你真走運，你想起了一個與你當前問題有關的問題，而且這個問題你以前已經(jīng)解決了。你愿意利用它嗎?為了能利用它，你能否引進某個輔助元素?”圖1“看這里，你所想起的是

19、一個關于三角形的問題。圖中有三角形嗎?”我們希望這最后的提示已明白得足以誘發(fā)出解題的思路(即引入一個在圖1中用陰影畫出的直角三角形)。這個引入的直角三角形的斜邊就是我們所要求 的對角線。但是教師應當對下述情況有所準備：即使這樣明白的提示也不能使 學生開竅，那么他應當動用所有越來越明顯的提示?！澳闶欠裣朐趫D1中有個三角形?” “在圖中，你想有哪種三角形?”“你現(xiàn)在還不能求出這對角線；但你說過你能求出三角形的一個邊。那么現(xiàn)在你該怎么辦呢?” “如果對角線是三角形的一個邊，你能找出它嗎?”經(jīng)過或多或少的幫助后，學生終于成功地引進了決定性的輔助元素，即圖 中陰影三角形，在鼓勵學生進入實際計算之前，教師

20、應確信其學生對問題的理 解已有足夠的深度?！拔蚁?，畫出那個三角形是個好主意，你現(xiàn)在有了個三角形，但是你是否有未知數(shù)?” “未知數(shù)是三角形的斜邊，我們可用畢達哥拉斯定理去計算它” “如果兩邊為已知，你會計算。但它們是已知的嗎?” “一個邊已給定，是c。另一個邊，我想也不難求出。是的，另一邊是另一個直角三角形的斜邊?！?“很好!現(xiàn)在我看出你有個計劃了?！?1實現(xiàn)計劃想出一個計劃，產(chǎn)生一個求解的念頭是不容易的。要成功需要有許多條件， 如已有的知識、良好的思維習慣、目標集中，還要有好運氣。但實現(xiàn)計劃則容 易得多，我們所需要的主要是耐心。計劃僅給出一個一般性的大綱，我們必須充實細節(jié)并耐心地檢查每一個細節(jié)

21、，直到每一點都完全清楚了，沒有任何可能隱藏錯誤的含糊之處為止。如果學生真的擬定出一個計劃，則教師就比較清閑了。現(xiàn)在的主要危險是 學生可能會忘記他的計劃。因為那些從外界接受計劃的和根據(jù)教師的權威來采 納某個計劃的學生，很容易發(fā)生這種現(xiàn)象；但若是學生自己搞出來的計劃(即便 經(jīng)過某種幫助)并且學生滿意地看出了最終的思路，則他就不那么容易忘記。教 師必須堅持讓學生檢查每一步驟。根據(jù)“直觀”或“形式”上的論證，我們可以使自己相信每一步驟的正確 性。我們可以集中力量在有問題的疑點上，直到完全搞清楚，毫不懷疑每一步 驟都是正確的為止；或者我們可以根據(jù)形式推理的法則推導出有問題的這一點 (在許多重要的場合，直

22、接觀察與形式證明二者間的區(qū)別是足夠明顯的；更進一 步的討論讓我們留給哲學家們?nèi)ミM行吧!)主要之點是：學生應當真正地相信每一步驟的正確性。在某些情況老師可 以強調(diào)“看出來”與“證明”二者之間的差別而提出：你能清楚地看出這一步 驟是正確的嗎?同時你也能證明這一步驟是正確的嗎?12例子我們繼續(xù)第10節(jié)末尾留下的工作。學生最后已經(jīng)得到了解題的思路。他看 出未知數(shù)x是直角三角形的斜邊，而給定的高度c是邊長之一，另一邊則是六面 體的一個面的對角線。很可能這剛學生被催促引入一個適當?shù)姆?。他應當選 擇y表示另一邊，即面上的對角線，其兩邊為a和b。學生現(xiàn)在可能看得更清楚： 解題的思路就是應該引進一個輔助未知數(shù)

23、y0最后，陸續(xù)對這兩個直角三角形進 行考慮之后，他得到2x =y2+c2y2=a2+b2于是消去輔助未知數(shù)y，從而有222x2=a +b +cx= a 2 + b 2 + c 2如果學生正確地進行上述細節(jié)運算，老師沒有理由去打斷他，除非必要時提醒他應當檢查每一步。這樣，教師可以問： “你能清楚地看出具有三邊x，y，c的三角形是直角三角形嗎?”對于這個問題，學生可能老老實實回答：“是”。但是如果老師不滿足于學生的直觀猜測，他應該繼續(xù)提問：“但是你能證明這個三角形是個直角三角形嗎?” 除非整個班級對于立體幾何已經(jīng)有了良好的起點，否則教師不應當提出這個問題。即使如此，也仍然存在某些危險性，即對這個偶

24、然提出問題的回答可 能成為大多數(shù)學生的主要困難。13回顧即使是相當好的學生，當他得到問題的解答，并且很干凈利落地寫下論證 后，就會合上書本，找點別的事來干干。這樣做，他們就錯過了解題的一個重 要而有教益的方面。通過回顧所完成的解答，通過重新考慮與重新檢查這個結 果和得出這一結果的路子，學生們可以鞏固他們的知識和發(fā)展他們解題的能力。 一個好的教師應該懂得并且傳授給學生下述看法：沒有任何問題是可以解決得 十全十美的?？偸Ｏ滦┕ぷ饕?。經(jīng)過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個 解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。現(xiàn)在學生已經(jīng)完成了他的計劃。他已經(jīng)寫出了答案，檢查了每一步。這樣

25、， 他似乎有充分理由相信他的解答是正確的了。然而，出現(xiàn)錯誤總還是可能的， 特別當論證冗長而復雜的時候更是如此。所以要驗證。特別是，如果有某種快 速而直觀的辦法來檢驗結果或者檢驗論證，決不要忽略。你能檢驗這結果嗎? 你能檢驗這個論證嗎?為了確信某個東西的存在或其質(zhì)量的好壞，我們總喜歡去看看它，摸摸它。 我們總是通過兩種不同的感官來感知它。同樣，我們也寧可通過兩種不同的證 明使我們對結果確信無疑。因此要問：你能用不同方法來導出這結果嗎?當然， 我們寧愿要簡短而直觀的論證，而不要冗長而煩瑣的，所以要問：你能一下子 看出它嗎?教師的首要職責之一是不要給學生以下述錯覺：數(shù)學題目之間很少有聯(lián) 系，和任何其

26、他事物則完全沒有什么聯(lián)系。當我們回顧問題解答的時候，我們 自然有機會來考察一個問題與其它事物的聯(lián)系。如果學生已經(jīng)作出了真誠的努 力并且意識到自己完成得不錯，那末他們將發(fā)現(xiàn)對解答加以回顧確實饒有趣味。 這樣，他們就熱切地想知道用真誠的努力還可干些什么別的，以及下次他如何 能干得同樣好。教師應該鼓勵學生設想一些情況，在那些情況下，他能再一次 利用所使用的辦法，或者應用所得到的結果。你能把這結果或這方法用于某個 其它問題嗎?14例子在第12節(jié)，學生最后得到了解答：如果長方體自同一角引出的三個邊為a，b，c，那末對角線為a 2 + b 2 + c 2 你能檢驗這個結果嗎?教師不能指望從缺乏經(jīng)驗的學生那

27、里得到這個問題 的良好回答。但是學生應該很早就獲得下述經(jīng)驗：用字母表達的問題比純粹數(shù) 字題好。對于用字母表示的題，其結果很容易進行幾次檢驗，而用數(shù)字表示的 題則不然。我們的例子雖然很簡單，也足以證明這點。教師可以對結果提出好 幾個問題，對這些問題，學生可以很容易地回答“是”；但如回答“不是”， 這將表明結果中存在嚴重的缺點。“你是否使用了所有的數(shù)據(jù)?是否所有數(shù)據(jù)a，b，c都在你的對角線公式中出現(xiàn)?”“長、寬、高在我們的問題中起的作用是一樣的，我們的問題對a，b，c 來說是對稱的。你所得的公式對a，b，c對稱嗎?當a，b，c互換時公式是否保持 不變?”“我們的問題是一個立體幾何問題給定尺寸a，b

28、，c，求平行六面體的對 角線。我們的問題與平面幾何的問題類似：給定尺寸a、b，求矩形的對角線， 這里立體幾何問題的結果是否與平面幾何的結果類似?”“如果高c減小，并且最后等于零，這時平行六面體變成平行四邊形。在 你的公式中，令c=0，是否得到矩形對角線的正確公式?”“如果高c增加，則對角線也增加。你的公式是否表明這點?” “如果平行六面體的三個量度a，b，c按同一比例增加，則對角線也按同一比例增加。在你的公式中，如將a，b，c分別代以12a，12b，12c，則對角線也將乘以12，是否這樣?”“如果a，b，c的單位是尺，則你的公式給出的對角線的單位也是尺；如 果將所有單位改為寸，則公式應保持正確

29、，是否如此?”(后兩個問題基本上是等價的。參見“量綱檢驗”一節(jié))上述一些問題有幾個好處。首先，公式通過這么多的檢驗，這一事實不能 不使一個聰明的學生產(chǎn)生深刻的印象。學生以前就相信公式是正確的，因為公 式是他仔細推導出來的。但是現(xiàn)在經(jīng)過這么多檢驗，他就更深信無疑了，這種 信心的增加來源于一種“實驗的數(shù)據(jù)”。正是由于上述問題，公式的細節(jié)獲得 了新的意義，而且和不同的事實聯(lián)系起來了。這樣，公式就更容易記住，學生 的知識得以鞏固。最后，上述問題很容易轉到類似的題目上。對于類似題目獲 得一些經(jīng)驗以后，一個聰明的學生就能覺察出所包含的普遍概念：即，利用所 有有關數(shù)據(jù)，改變數(shù)據(jù)，對稱，類比。如果他養(yǎng)成了把注

30、意力集中在這些地方 的習慣，他解題的能力肯定會提高。你能檢驗這個論證嗎?在困難而重要的場合，可能需要逐步地重新檢驗論 證。但通常，重新檢查一下令人惱火之點就夠了。在本例，可以建議討論以前 提過的問題：你能證明具有三邊x，y，c的三角形是直角三角形嗎(見第12節(jié)末尾處)?你能把這結果或方法用于其它問題嗎?在受到一些鼓勵并且經(jīng)過一兩個示 范例子以后，學生們很容易找到應用，這些應用實質(zhì)上就是把問題的抽象數(shù)學 元素賦予具體的解釋。當教師在進行討論的教室里，把教室當作問題中的長方 體，他自己就使用了這樣一種具體的解釋。一個笨拙的學生可能會提議計算食 堂的對角線，而不是教室的對角線來作為一種應用。如果學生

31、們自己提不出來 更有想象力的內(nèi)容，那么教師本人可以提出一個稍許不同的問題，例如：“給 定長方體的長、寬、高，求中心到一角的距離”。學生可以利用剛才解決的問題的結果，因為所求距離是對角線的一半?；?者他們也可以利用引入適當?shù)闹苯侨切蔚姆椒?后一種辦法對于本例來說，是 不那么顯而易見的，并且多少有點笨拙)。在這個應用例子之后，教師可以討論長方體四個對角線和六個棱錐體的結 構，這六個棱錐體的底是長方體的六個面、公共頂點是長方體的中心、而側棱 是長方體對角線的一半。當學生的幾何想象力被充分激發(fā)以后，教師應當回到 他的問題上來：你能把結果或方法用于某個其他問題嗎?現(xiàn)在學生有機會找到更 有趣的具體應用了

32、，例如，下面就是一個：“在一個長21碼、寬16碼的建筑物 的長方形平屋頂?shù)闹行囊⒁粋€高8碼的旗桿。為了支撐這根旗桿，我們需要四 根等長的拉線。規(guī)定四根拉線要離旗桿頂點為2碼處的同一點開始，而另一端是 建筑物頂部的四個角。問每根拉線有多長?”學生可以采用上面已詳細求解過的問題中所用方法，即在一個垂直平面上 引入一個直角三角形而在水平平面上引入另一個三角形?；蛘咚麄円部梢岳?上面的結果：設想有一個長方體，其對角線x就是四根纜繩之一而它的邊是a=10.5, b=8, c=6直接應用公式可求出x=14.5。更多的例子可見“你能利用這個結果嗎?”那一節(jié)。15不同的方法 我們對前面8、10、12、14

33、幾節(jié)所考慮的問題繼續(xù)討論一下。主要的工作，即提出計劃，已在第10節(jié)加以敘述。讓我們觀察教師用不同的方式來進行。 從 與第10節(jié)相同之點出發(fā)，以后可以沿著稍許不同的路線提出下列各問題：“你是否知道任何與此有關的問題?” “你是否知道一個類比的問題?”“你看，所提的問題是關于空間的圖形，它與長方體的對角線有關。關于平面中的類比問題可能是什么?它應該與長方形的對角線有關”?！捌叫兴倪呅巍?。即便非常遲鈍和平凡、并且以前沒有能力推測任何事物的學生，最后也會 被迫對解題的思路至少作出微小的貢獻。此外，如果學生確實比較遲鈍，為了 使學生有所準備，教師應該事先討論平行四邊形的類比問題，否則不能一下子 就端出現(xiàn)

34、在的這個長方體問題。然后，教師可以繼續(xù)提問如下： “這里有一個與你有關且已解決了的問題，你能利用它嗎?” “為了有可能利用它，你是否應當引入某個輔助元素?”最后教師可以成功地向?qū)W生提出他所希望的概念。這就是把給定長方體的 對角線想象為必須引入圖中的一個合適的平行四邊形的對角線(這個平行四邊 形是通過長方體和兩個對邊的平面的截面)。此概念本質(zhì)上和前面(第10節(jié))相 同，但方法卻不一樣。在第10節(jié)是通過未知數(shù)來觸及到學生的可用的知識的； 我們回想起一個以前已解決的問題是因為其未知數(shù)和當前提出的問題中的未知 數(shù)相同。而在本節(jié)，是用類比的方法使學生觸及到解題的概念。16教師提問的方法 在第8，10，1

35、2，14，15各節(jié)所闡述的提問方法主要是先從表中一般化的問題和建議開始，在需要時，逐步轉向更特殊更具體的問題和建議，直到在學 生的頭腦中能引出一個回答為止。如果你必須幫助學生開拓某種思路，如果可 能的話，從表中一個一般化的問題或建議重新開始提問，并在必要時再一次回 到某個更特殊的問題，如此等等。當然，這張表僅僅是這種類型的第一張表，看來對大多數(shù)簡單情況是夠用 了。但無疑它還應該改進。重要的是，我們開始提的問題與建議應該簡單、自 然和一般化，同時表應當短。建議必須簡單而自然，否則就會太唐突。 如果我們想培養(yǎng)學生的能力而不是特殊技巧的話，那么建議必須一般化，不僅可用于目前的問題，而且可用于各類問題

36、。表必須簡短，使得在不同情況下，能夠不矯揉造作地重復提問，從而有機會最終能為學生所掌握，并對培養(yǎng)思維習慣作出貢獻。為了培養(yǎng)學生的獨立工作能力，必需逐步改為提出特殊的建議。 這種提問的方法不是一成不變的，幸好如此，因為在這類事情中，任何一成不變的、機械的、陳舊的程序必然很糟糕。我們允許有一定的靈活性，它允 許采用各種辦法(見第15節(jié))，它可以而且應該這樣來實施，使得教師所提的問 題可以由學生自已提出來。如果有讀者希望在他的班上試一試這里所提出的方法，他當然應該小心地 進行，他應該仔細地研究第8節(jié)的例子和后面笫18、19、20節(jié)中的例子。他應當 仔細地準備他打算討論的例子，同時也考慮到各種不同的方

37、法。他開始時應作 少量試驗，并逐漸摸索出他應如何掌握這個方法，學生如何學習這個方法并且 需要多少時間。17好問題與壞問題 如果能很好地理解上節(jié)所提出的提問方法，則通過比較可以有助于判斷某些建議的好壞，這些建議是為了幫助學生而可能提出來的。回到原來在第10節(jié)開始時的情況，那時提問下列問題：你知道一個與此有 關的問題嗎?我們從幫助學生的最好意愿出發(fā)，不問這個問題，而改為提問：你 能應用畢達哥拉斯定理嗎?我們的動機可能是極好的，但是這種提問卻大概是最壞的。我們必須認識 是在什么情況下提出這個問題的；然后我們會發(fā)現(xiàn)有一大堆反對意見反對這種 類型的“幫助”。(1)如果學生已接近于問題的解決，他可能理解問

38、題的建議；但是如果他不 是這樣，他十分可能完全看不到問題的著眼點，因而在最需要幫助之處卻得不 到幫助。(2)這建議的針對性太強了，即使學生能利用它解決當前的問題，對于將來的問題來說并沒有學到什么。這種提問不是很有啟發(fā)性的。(3)即使學生理解這建議，他們也極少能理解教師怎么會想到提出這樣一 個問題，而學生他自己又怎樣能想出這樣一個問題呢?它看起來很不自然，很令 人詫異，就好象變戲法耍魔術一樣。它實在沒有什么啟發(fā)性。對第10、15節(jié)中所描述的過程就提不出上述任何反對意見了。18一個作圖題更多的例子在給定三角形中作一正方形。正方形的兩個頂點在三角形的底邊上，另二個頂點分別在三角形的另兩邊上?！拔粗?/p>

39、是什么?” “一個正方形” “已如數(shù)據(jù)是什么?”“一個給定的三角形，其它沒有?！?“條件是什么?”“正方形的四個角在三角形的邊線上，兩個在底上，其余兩邊每邊上有一 個?！薄笆欠窨赡軡M足條件?” “我想如此，但不太有把握?！薄翱雌饋?，你解此題并不太容易。如果你不能解決所提問題，首先嘗試去解決某個與此有關的問題。你能滿足部分條件嗎?” “你說部分條件是什么意思?” “你看，條件與正方形的所有頂點有關，這里有幾個頂點?” “四個。”“所謂部分條件涉及的頂點數(shù)應當少于四個。請僅僅保持部分條件而舍去 其余部分。什么樣的部分條件容易滿足?” “兩頂點在三角形邊線上，甚至三個頂點都在三角形邊線上的正方形，是

40、容易畫出來的!” “畫張圖!”學生畫出圖2。圖2“你僅僅保留了部分條件，同時你舍去了其余條件?，F(xiàn)在未知的確定到了 什么程度?”“如果正方形只有三個頂點在三角形的邊線上，那么它是不確定的?！?“好!畫張圖?！睂W生畫出圖3?！罢竽闼f的，保持部分條件不能確定正方形、它會怎樣變化呢?”圖3“你的正方形的三個角在三角形的邊線上，但第四個角還不在它應該在的 地方。正象你說的，你的正方形是不確定的，它能變化；第四個角也是這樣， 它怎樣變化?”“如果你希望的，你可以用實驗的辦法試試看。按照圖中已有的兩個正方 形的相同辦法，去畫出更多的三個角在邊線上的正方形。畫出小的正方形與大 的正方形。第四角的軌跡看起來

41、象是什么?它將怎樣變化?教師已把學生帶到非常接近于解答的地方。如果學生能猜到第四個角的軌 跡是一條直線，他就得到這個主意了。19一個證明題在不同平面上的兩個角，其中一個角的每一邊平行于另一角的對應邊且方向相同。證明這兩個角相等。我們要證的是立體幾何的一個基本定理。這個問題可以提給那些熟悉平面 幾何以及立體幾何中下列少數(shù)事實的學生，這少數(shù)事實構成了歐幾里得原理中 當前這個定理的預備知識。我們不但把直接引自我們表中的問題與建議劃上線，而且把那些與它們相對應的問題與建議也劃上線。例如，“求證題”是和“求 解題”相對應的(在“求解題，求證題”標題下的第5，6小節(jié)中，我們再系統(tǒng)地 討論這種對應關系)?！?/p>

42、前提是什么?” “兩角在不同的平面上，其中一個的每一邊平行于另一角的對應邊，且方向相同?！?“結論是什么?” “兩角相等?！薄爱嫃垐D，引入適當?shù)姆?。”學生畫出圖4中的線，并在教師的或多或少的幫助下，標出圖4中的字母?！扒疤崾鞘裁?請用你的符號表達出來?！?“A，B，C和A'，B'，C'不在同一平面上，且ABA'B'， ACA'C'。AB的方向與A'B'的方向相同，而AC的方向與 A'C'的方向相同?！眻D4“結論是什么?”“看著結論!嘗試想起一個具有相同或相似結淪的熟悉的定理?！?“如果兩個三角形全等，則對

43、應角相等。”“很好!現(xiàn)在有一個與你的問題有關的定理，且早已證明。你能否利用它?”“我想如此，不過我還不清楚怎么辦?！?“為了可能利用它，你是否應該引入某個輔助元素?” “好，你提得非常好的那個定理是關于三角形的，是關于一對全等三角形的。在你的圖中有沒有三角形?” “沒有，但我能引進一些。讓我連接B與C，B'與C'，這樣就有了兩個三角形，ABC和A'B'C'?！?“做得好，但是這些三角形有什么用?” “去證明結論；BAC=BAC”“好，如果你希望汪明這點，你需要兩個什么樣的三角形?”“全等三角形。噢，對了，我可以選擇B，C，B'，C'，使得

44、AB=A'B'， AC=A'C'” “好極了!現(xiàn)在你希望證明什么?” “我希望證明兩個三角形全等，ABC=A'B'C'如果我能證明這點，則立即可得結論BAC=B'A'C'?！?“妙!你有了一個新目標，這目標是一個新結論。看著這結論!并且嘗試想起一個具有相同或相似結論的熟悉的定理?！薄爱斍覂H當一個三角形的三條邊分別等于另一個三角形的三條邊時，這兩個三角形全等?！眻D5“做得好。本來你有可能會選出一條較差的定理的?，F(xiàn)在這里有了一條與你的問題有關的定理，且早已證明，你能否利用它?”“如果我知道BC=B'C'

45、，我能利用它?！?“對!那么你的目標是什么?” “證明BC=B'C'?！薄霸嚮貞浧鹨粋€具有相同或相似結論的熟悉的定理。” “是的，我知道一個定理，它最后結束的句子是：則兩線相等，但它并不合適?！?“為了能夠利用它，你是否應該引入某個輔助元素?”“你看，在圖中BC與B'C'間并無聯(lián)系，你怎么能證明 BC=B'C'?” “你利用了前提嗎?前提是什么?” “我們假定ABA'B'，ACA'C'。是的，當然我們必須利用這點?！?“你是否利用了整個前提?你說ABA'B'，這是你所知道的關于這些線段的全部情況嗎?

46、” “不，根據(jù)作圖，AB還等于A'B'。它們彼此平行并且相等。AC和A'C'也是這樣?！?“兩個等長的平行線這是很有趣的圖形。你以前見過嗎?”“當然見過!對!平行四邊形!讓我聯(lián)結A與A'，B與 B'，C與C'?！薄斑@主意不太壞?，F(xiàn)在你的圖中有幾個平行四邊形?”“兩個。不，三個。不，兩個。我意思是說，其中有兩個，你可以立刻證 明它們是平行四邊形。還有第三個看來是個平行四邊形。我希望我能證明它是。 這樣證明就結束了!”我們可能從這個學生前面的回答已經(jīng)推測到他很聰明。但是等他作出上述最后一個回答以后，我們對此就深信不疑了。這個學生能夠猜出數(shù)學結

47、果并且能夠清楚地區(qū)分證明與猜測。他也知道猜 測可以多多少少似乎是可信的。確實，他真的從數(shù)學課上得到了教益；他在解 題方面有了某種實際經(jīng)驗，他可以看出并且摸索出一個好的解題思路。20一個速率問題水以速率r流進錐形容器。容器具有正圓錐形狀，底是水平的，頂點在下 方，底的半徑是a，高為b。當水深為y時，求水表面上升的速率。最后，假定a=4 尺，b=3尺，r=2立方尺/分，y=1尺，求未知數(shù)的數(shù)值。圖6我們假定學生知道最簡單的微分法和變化率的概念?！耙阎獢?shù)是什么?” “圓錐底的半徑a=4尺，圓錐的高b=3尺，水流入容器的速率r=2立方尺/分，在某一時刻的水深y=1尺?！薄皩?，從問題的敘述方式看來，是建

48、議你先忽略具體數(shù)值而用字母求解， 把未知數(shù)用a，b，r，y表示出來，而僅在最終得到未知數(shù)的字母表達式以后再 代入具體數(shù)值。我愿意按照這條建議做?，F(xiàn)在未知數(shù)是什么？”“當水深為y時，水面升起的速率?！?“它是什么?你能用其他術語來說嗎?” “水深增加的速率?！?“它是什么?你能否再重新敘述得更不同些?” “水深的變化率?！?“對，y的變化率。但什么是變化率?回到定義去?！?“函數(shù)的變化率是導數(shù)?！薄罢_。現(xiàn)在y是函數(shù)嗎?如前所述，我們不管y的具體數(shù)值。你能否想象y是變化的?” “是的，水深y隨著時間而增加?！?“這樣，y是什么的函數(shù)?” “時間t的。”“好，引入適當?shù)挠浱?。用?shù)學符號，你將怎樣寫

49、y的變化率?” “dy/dt” “好，這就是你的未知數(shù)。你必須用a，b，r，y來表示它。順便說一下，數(shù)據(jù)中有一個是速率，哪一個?” “r是水流進容器的速率?！?“它是什么?你能用別的術語來說它嗎?” “r是容器中水的體積的變化率。”“它是什么?你能否再重新敘述得更不同些?你將怎樣用適當?shù)挠浱杹韺懰?” “r=dV/dt” “V是什么?”“在時間t，容器中水的體積” “好，這樣你必須用a，b，dV/dt，y，來表示dy/dt，你將怎樣做?” “如果你不能解決所提問題，首先嘗試去解決某個與此有關的問題。如果 你到現(xiàn)在還看不出dy/dt與數(shù)據(jù)間的聯(lián)系；嘗試去引入某種能作為中間過渡踏腳 石的更簡單的聯(lián)

50、系?！薄澳憧床怀鲞€有別的聯(lián)系嗎?例如y與V是否彼此獨立?” “不，當y增加，V一定也增加?！?“那么說，是有聯(lián)系了，這聯(lián)系是什么?” “好，V是錐體的體積，y是錐體的高。但我現(xiàn)在還不知道底的半徑?！?“不過，你可以考慮它。叫它什么，譬如設它為x吧!”px 2 y“V=?！?“正確，關于x又知道些什么?它是否與y獨立?” “不，當水深y增加，自由表面的半徑x也增加?！?“這么說，它們之間是有聯(lián)系的。但這聯(lián)系是什么?” “當然是相似三角形。x：y=a：b” “你看，又多了個聯(lián)系，我不愿錯過從它那兒得到的好處。別忘了，你希望知道的是y與V之間的聯(lián)系。” “現(xiàn)在我有x=ay/bpa 2 y 3V=”3

51、b 2“很好，這看來像個踏腳點。難道不是嗎?但你別忠了你的目標。未知數(shù)是什么?” “噢，是dy/dt”?！澳惚仨氄页鰀y/dt，dV/dt與其他數(shù)量間的聯(lián)系。但這里有的卻是y，V和其他數(shù)量間的聯(lián)系。你該怎么辦?” “當然是微分!22¶V = pa y¶y 就是它?！?#182;tb 2¶t“妙!那么從已經(jīng)給出的數(shù)值能得出什么結果呢?” “若a=4，b=3，dV/dt=r=2，y=l，則2 = p ´16 ´1 ¶y ?！币布?¶tdy/dt=0.358尺/分。1熟悉問題第二部分怎樣解題一段對話我應該從哪兒開始?從問題的敘述開

52、始。 我能做什么?觀察揣摩整個問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時先拋開細節(jié)。 這樣做，我能得到什么好處?你會明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標牢記在腦海中。這樣全神貫注地對待問題也會調(diào)動起你的記憶力，做好準備去重新聯(lián)想與問題有關的各點。2深入理解問題我應該從哪兒開始?還是從問題的敘述開始。當你對問題的敘述已如此清楚 并已深深地印入腦海，以致你即使暫時不去看它，你也不怕把它完全忘掉時， 你就可以開始下面的工作了。我能做什么?先把問題的主要部分剖析出來。因為前提與結論是“求證題” 的主要部分。未知、已知與條件是“求解題”的主要部分。再把問題中的主要 部分都弄一遍，并且要逐個地考慮，輪流地考慮，而

53、且在各種組合中來考慮， 同時把每個細節(jié)與其它細節(jié)聯(lián)系起來，把每個細節(jié)與整個問題聯(lián)系起來。這么做，我能得到什么好處?你會準備好并弄清楚以后可能起作用的細節(jié)。3探索有益的念頭應該從哪兒開始?從考慮問題的主要部分開始。當主要部分能很清楚地排 列出來，想得明明白白(這應歸功于你前面的工作)并且也記得住時，這時開始 做下一步。怎樣進行?從各個方面來考慮你的問題，找出與你現(xiàn)有知識有關之處。從各個方面考慮你的問題。分別突出各個部分，考察各個細節(jié)，用不同方 法反復審查同一細節(jié)。把細節(jié)用不同方式組合起來，從不同角度考慮它。試著 在每一細節(jié)中發(fā)現(xiàn)某些新意義，嘗試在整個問題中得出某些新解釋。從你現(xiàn)有知識中找出與問題

54、有關之處。試想過去在類似的情況下有什么曾 幫過你的忙。在你所考察的內(nèi)容中，設法找出熟悉的東西來，在你所熟悉的東 西中，努力找出有用的東西來。能找出什么?一個有用的念頭，也許是個決定性的念頭，它能使你一限看出解決問題的途徑。念頭有什么用?它會給你指出整個或部分解題途徑，它或多或少地清楚地 向你建議該怎么做。念頭多多少少還是完整的。如果你有一個念頭，你就夠幸 運的了。碰上一個不完整的念頭怎么辦?應該加以考慮。如果它看來有好處，就應 該多考慮一會兒。如果它看來是可靠的，你應當確定它能引導你走多遠，并重 新考慮一下形勢。由于這個有益的念頭，情況已經(jīng)變化了。你要從各個方面來 考慮新形勢并找出它與你現(xiàn)有知

55、識之間的聯(lián)系。再次這樣做，還能得到什么好處?如果你走運的話，你或許能找到另一個念頭。也許下一個念頭會引導你去解決問題。也許在下一個念頭以后，你還需要幾個有益的念頭。也許有些念頭會把你引入歧途。無論如何，你應當感謝所 有的新念頭，感謝那些次要的念頭，感謝那些模糊的念頭，也感謝那些使模糊 念頭得以糾正的補充性念頭。即使你暫時還沒有發(fā)現(xiàn)什么有價值的新念頭，但 如果你對問題的概念更完全了，或者更連貫、更和諧或者更平衡了，那你也應 當表示感謝。4實現(xiàn)計劃應該從哪兒開始?從引導到解決問題的思路開始。當你感到你已抓住主要 的聯(lián)系，并且自信能提供可能需要的次要細節(jié)時，就開始。怎幺做?你對問題應抓得很有把握。詳

56、細地進行你以前認為可行的全部代 數(shù)或幾何運算。用形式推理或直接觀察檢查每一步驟的正確性，或者，如果你 能夠的話，兩種方法都用。如果你的問題很復雜，你可以分成“大”步驟和“小” 步驟，每一大步驟又由幾個小步驟組成。首先檢查大步驟，以后再檢驗小步驟。這樣做，我能有什么好處?這樣提出的解，每個步驟無疑都是正確的。5回顧應該從哪兒開始?從解答開始，它的每一個細節(jié)都應該是完整而正確的，怎么做?從各個方面考慮這個解，找出與你已有知識之間的聯(lián)系?？紤]解的細節(jié)，并嘗試使它們盡可能地簡單；研究解答中較冗長的部分， 使它們更短些；試著一眼就看出整個解。試著去改進解的各部分，嘗試去改進 整個解，使它直觀，使它盡量自然地適合于你已有的知識。總結你解題的方法， 嘗試看出它的要點，并且嘗試把它用于其他問題?？偨Y所得結果并試著把它用 于其他的問題。