函數(shù)的極值與最大最小值實(shí)用教案

1、一、函數(shù)一、函數(shù)(hnsh)的極值及的極值及其求法其求法.0是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)x,)(0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xUx 第1頁(yè)/共27頁(yè)第一頁(yè)，共28頁(yè)。注意注意(zh y):3x1x4x2x5xxaboy為極大為極大(j d)點(diǎn)點(diǎn)為極小為極小(j xio)點(diǎn)點(diǎn)不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2) 對(duì)常見函數(shù)對(duì)常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為 0 或或 不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn).1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)局部性質(zhì).例如例如 (P146例例4)1x為極大點(diǎn)為極大點(diǎn) , 2) 1 (f是極大值是極大值 1)2(f是極小值是極小值 2x為極小點(diǎn)為極小點(diǎn) , 12xoy12第2頁(yè)/共27頁(yè)第

2、二頁(yè)，共28頁(yè)。函數(shù)函數(shù)(hnsh)極值極值的求法的求法費(fèi)馬費(fèi)馬(fermat)引理引理-必要條件必要條件(b yo tio jin)xyo0 x在駐點(diǎn)在駐點(diǎn)(zh din)(zh din)或者是連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)或者是連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)中去尋找中去尋找. .因此尋求極值點(diǎn)的方法因此尋求極值點(diǎn)的方法: :注意注意: :例如例如, ,第3頁(yè)/共27頁(yè)第三頁(yè)，共28頁(yè)。定理定理(dngl) 1 (極值第一判別極值第一判別法法)xyo0 xxyo0 x(是極值是極值(j zh)點(diǎn)點(diǎn)情形情形)且在空心且在空心(kng xn)鄰域鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1) )(xf “左左正正右右負(fù)負(fù)” ,(2) )(xf “左

3、左負(fù)負(fù)右右正正” ,第4頁(yè)/共27頁(yè)第四頁(yè)，共28頁(yè)。xyoxyo0 x0 x求極值求極值(j zh)(j zh)的步驟的步驟: :( (不是極值不是極值(j (j zh)zh)點(diǎn)情形點(diǎn)情形) )(1)(1)給出定義域給出定義域, ,并找出定義域內(nèi)所給函數(shù)并找出定義域內(nèi)所給函數(shù)(hnsh)(hnsh)的駐點(diǎn)及連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)的駐點(diǎn)及連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn); ;(2)(2)考察這些點(diǎn)考察這些點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào), ,從而確定極值點(diǎn)從而確定極值點(diǎn); ;(3)(3)求出極值點(diǎn)的函數(shù)值求出極值點(diǎn)的函數(shù)值, ,即為極值即為極值. .第5頁(yè)/共27頁(yè)第五頁(yè)，共28頁(yè)。例例1. 求函數(shù)求函數(shù)的極值的極值(j

4、 zh) .解解:1) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)(do sh)2) 求極值求極值(j zh)可疑點(diǎn)可疑點(diǎn)令令得得得得3) 列表判別列表判別x)(xf )(xf5200)0,(),0(52),(52是極大點(diǎn)，是極大點(diǎn)，其極大值為其極大值為是極小點(diǎn)，是極小點(diǎn)，其極小值為其極小值為注意注意: :函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn), ,也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn). .第6頁(yè)/共27頁(yè)第六頁(yè)，共28頁(yè)。定理定理2 (極值第二極值第二(d r)判判別法別法)二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)(do sh) , 且且則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極大值取極大值 ;)(xf0 x則則 在點(diǎn)在點(diǎn) 取極小值取極小值 .)(xf0 x 證證: (1

5、)存在(cnzi)0 x0 x0 x由第一判別法知(2) 類似可證 .第7頁(yè)/共27頁(yè)第七頁(yè)，共28頁(yè)。例例2解解20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下第8頁(yè)/共27頁(yè)第八頁(yè)，共28頁(yè)。Mm第9頁(yè)/共27頁(yè)第九頁(yè)，共28頁(yè)。注：運(yùn)用第二充分條件注：運(yùn)用第二充分條件(chn(chn fn tio jin) fn tio jin)求極值也有它的局限性求極值也有它的局限性. .若若(x)在駐點(diǎn)在駐點(diǎn)(zh din)這三個(gè)函數(shù)這三個(gè)函數(shù)(hnsh)在在 x = 0 處就分別屬于這三種情處就分別屬于這三種情況況.從而當(dāng)從而當(dāng)只能用第一充分條件來(lái)判定只能用第一充分條件來(lái)判定處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù)

6、(x) 在在處可能有處可能有極大值極大值, 也可能有也可能有極小值極小值, 例如例如:也可能也可能沒有極值沒有極值. (只需點(diǎn)連續(xù)即可只需點(diǎn)連續(xù)即可)第10頁(yè)/共27頁(yè)第十頁(yè)，共28頁(yè)。例例3. 求函數(shù)求函數(shù)的極值的極值(j zh) . 解解: 1) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)(do sh)2) 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn)(zh din)令令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)3) 判別判別因因,06)0( f故故 為極小值為極小值 ;0)0(f又又,0) 1 () 1( ff故需用第一判別法判別故需用第一判別法判別.1xy1第11頁(yè)/共27頁(yè)第十一頁(yè)，共28頁(yè)。例例4第12頁(yè)/共27頁(yè)第十二頁(yè)，共28頁(yè)。定理定理3 (判別判別(pnbi)法的

7、推廣法的推廣)則則:數(shù)數(shù) , 且且1) 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)為偶數(shù)時(shí)時(shí),n0 x是極小點(diǎn)是極小點(diǎn) ;0 x是極大點(diǎn)是極大點(diǎn) .2) 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)時(shí),n0 x為極值點(diǎn)為極值點(diǎn) , 且且0 x不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn) .)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)( 當(dāng)當(dāng) 充分接近充分接近 時(shí)時(shí), 上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定 ,0 xx故結(jié)論故結(jié)論(jiln)正確正確 .證證: 利用利用 在在 點(diǎn)的泰勒公式點(diǎn)的泰勒公式 ,)(xf0 x可得可得第13頁(yè)/共27頁(yè)第十三

8、頁(yè)，共28頁(yè)。例如例如(lr) , 例例3中中所以1x不是極值點(diǎn) .極值極值(j zh)的判別法的判別法( 定理定理1 定理定理3 ) 都是充分都是充分的的. 說(shuō)明說(shuō)明(shumng):當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí)當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí), 不等于極值不存在不等于極值不存在 .例如例如:為極大值 ,但不滿足定理1 定理3 的條件.xy11第14頁(yè)/共27頁(yè)第十四頁(yè)，共28頁(yè)。二、最大值與最小值問題二、最大值與最小值問題(wnt) 則其最值只能則其最值只能(zh nn(zh nn) )在極值點(diǎn)或端點(diǎn)在極值點(diǎn)或端點(diǎn)(dun (dun din)din)處達(dá)到處達(dá)到 . .求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法:

9、:(1) 求求 在在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn)內(nèi)的極值可疑點(diǎn))(xf),(ba(2) 最大值最大值最小值最小值, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf-駐點(diǎn)和不可駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)導(dǎo)點(diǎn)第15頁(yè)/共27頁(yè)第十五頁(yè)，共28頁(yè)。特別特別(tbi): 當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),)(xf,ba 當(dāng) 在 上單調(diào)單調(diào)時(shí),)(xf,ba最值必在端點(diǎn)最值必在端點(diǎn)(dun din)處達(dá)到處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大(j d) 值 , 則也是最大 值 . (小) 對(duì)應(yīng)用問題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .(小)第16頁(yè)/共27頁(yè)第十六頁(yè)，共28頁(yè)。例例5. 求函數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間在閉

10、區(qū)間(q jin)上的最大值和最小值上的最大值和最小值 .解解:)(xf故函數(shù)在故函數(shù)在2x取最小值取最小值 0 ; 在在3x取最大值取最大值 .3e第17頁(yè)/共27頁(yè)第十七頁(yè)，共28頁(yè)。求求 最大值。最大值。 例例6. 6. 設(shè)設(shè) 是任意是任意(rny)(rny)兩兩正數(shù)，滿足：正數(shù)，滿足：解解: 設(shè)設(shè)即求即求 f (x) 在在 ( 0, a ) 內(nèi)的最大值內(nèi)的最大值 令令得得是區(qū)間是區(qū)間(q jin)唯一的駐點(diǎn)，唯一的駐點(diǎn)，故故 為區(qū)間為區(qū)間(0, a)之間的最大值之間的最大值)(0 xf)(0 xf第18頁(yè)/共27頁(yè)第十八頁(yè)，共28頁(yè)。( k 為某一常數(shù)為某一常數(shù)(chngsh) )例例

11、7. 鐵路鐵路(til)上上 AB 段的距離為段的距離為100 km , 工廠工廠C 距距 A 處處20AC AB ,要在要在 AB 線上選定線上選定(xun dn)一點(diǎn)一點(diǎn) D 向工向工廠修一條廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為 3:5 ,為使貨為使貨D 點(diǎn)應(yīng)如何選取點(diǎn)應(yīng)如何選取? 20AB100C解解: 設(shè)設(shè)則則令令得得 又又所以所以 為唯一的為唯一的15x極小點(diǎn)極小點(diǎn) ,故故 AD =15 km 時(shí)運(yùn)費(fèi)最省時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .總運(yùn)費(fèi)總運(yùn)費(fèi)物從物從B 運(yùn)到工廠運(yùn)到工廠C 的運(yùn)費(fèi)最省的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn)從而為最小點(diǎn) ,問問DKm ,公路公路, 第19頁(yè)/

12、共27頁(yè)第十九頁(yè)，共28頁(yè)。實(shí)際問題實(shí)際問題(wnt)(wnt)求最求最值應(yīng)注意值應(yīng)注意: :(1)(1)建立目標(biāo)建立目標(biāo)(mbio)(mbio)函數(shù)函數(shù); ;(2)(2)求最值求最值; ;第20頁(yè)/共27頁(yè)第二十頁(yè)，共28頁(yè)。清楚清楚(qng chu)(視角視角 最大最大) ? 觀察者的眼睛觀察者的眼睛(yn jing)1.8 m ,例例8. 一張一張 1.4 m 高的圖片高的圖片(tpin)掛在墻上掛在墻上 , 它的底它的底邊高于邊高于x4 . 18 . 1解解: 設(shè)觀察者與墻的距離為設(shè)觀察者與墻的距離為 x m ,則則令令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)根據(jù)問題的實(shí)際意義根據(jù)問題的實(shí)際意義, 觀察者最佳站位

13、存在觀察者最佳站位存在 ,唯一唯一,駐點(diǎn)又駐點(diǎn)又因此觀察者站在距離墻因此觀察者站在距離墻 2.4 m 處看圖最清楚處看圖最清楚 .問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最第21頁(yè)/共27頁(yè)第二十一頁(yè)，共28頁(yè)。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 連續(xù)函數(shù)的極值連續(xù)函數(shù)的極值(j zh)(1) 極值極值(j zh)可疑可疑點(diǎn)點(diǎn) :使使導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為0 或不存在或不存在的點(diǎn)的點(diǎn)(2) 第一充分條件第一充分條件過過由由正正變變負(fù)負(fù)為極為極大大值值)(xf 過過0 x由由負(fù)負(fù)變變正正)(0 xf為極為極小小值值(3) 第二充分條件第二充分條件)(0 xf為極為極大大值值)(0 xf為極為

14、極小小值值第22頁(yè)/共27頁(yè)第二十二頁(yè)，共28頁(yè)。最值點(diǎn)應(yīng)在極值最值點(diǎn)應(yīng)在極值(j zh)點(diǎn)和邊界點(diǎn)上點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找找 ; f (x)在某開區(qū)間或閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，若有唯一在某開區(qū)間或閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，若有唯一(wi y)的極值點(diǎn)，則必最值點(diǎn)。的極值點(diǎn)，則必最值點(diǎn)。2. 連續(xù)函數(shù)的最值連續(xù)函數(shù)的最值 在實(shí)際在實(shí)際(shj)問題中，如果問題中，如果 f (x)有唯一的駐點(diǎn)，則一般有唯一的駐點(diǎn)，則一般為最值點(diǎn)。為最值點(diǎn)。第23頁(yè)/共27頁(yè)第二十三頁(yè)，共28頁(yè)。思考思考(sko)與與練習(xí)練習(xí)1. 設(shè)設(shè)則在點(diǎn)則在點(diǎn) a 處處( ).)()(xfA的導(dǎo)數(shù)存在的導(dǎo)數(shù)存在 ,)()(xfB取得極大值取得極大

15、值 ;)()(xfC取得極小值取得極小值;)()(xfD的導(dǎo)數(shù)不存在的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示提示: 利用利用(lyng)極限的保極限的保號(hào)性號(hào)性 .第24頁(yè)/共27頁(yè)第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。2. 設(shè)設(shè))(xf在在0 x的某鄰域內(nèi)連續(xù)的某鄰域內(nèi)連續(xù), 且且,0)0(f則在點(diǎn)則在點(diǎn)0 x處處).()(xf(A) 不可不可(bk)導(dǎo)導(dǎo) ;(B) 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且(C) 取得取得(qd)極極大值大值 ;(D) 取得取得(qd)極極小值小值 .D由由保號(hào)性保號(hào)性第25頁(yè)/共27頁(yè)第二十五頁(yè)，共28頁(yè)。P45 2（3）. 當(dāng)當(dāng)0 第26頁(yè)/共27頁(yè)第二十六頁(yè)，共28頁(yè)。感謝您的觀看(gunkn)！第27頁(yè)/共27頁(yè)第二十七頁(yè)，共28頁(yè)。NoImage內(nèi)