北師大版數(shù)學必修二應(yīng)用案鞏固提升：第一章立體幾何初步章末綜合檢測(一)(1)

1、章末綜合檢測（一）（時間：120分鐘，滿分：150分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給岀的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1.下列幾何體是柱體的是（解析：選B.A中的側(cè)棱不平行，所以A不是柱體，C是圓錐，D是球體，B是棱柱.2.已知圓錐的表而積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為（）A. 120°B. 150°C. 180°D. 240°解析：選C.設(shè)圓錐底面半徑為兒 母線為/, r+r2 = 3/2,得/=2兒 所以展幵圖扇形半徑為2兒弧長為2r,所以展開圖是半國，所以扇形的圓心角為18（ ,故選C.3.俯視圖一個

2、由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示則該幾何體的體積為（）A.÷B. +D1C.平而ABC丄平而BDCD.平j(luò)fi ADC丄平而ABC=¥,所以半球的體積V2=×y3=×y×故該幾何體的體積V= V1+ V2=故選C.解析：選C由三視圖可知，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，高為1.其體積Vl = ×12×1=.設(shè)半球的半徑為R,則2R=即R4. 若一個圓臺的上、下底而半徑和髙的比為1： 4： 4,圓臺的側(cè)而積為400,則該圓 臺的母線長為（）B. 20A. 10解析：選B設(shè)圓臺上底面半徑為幾 則下底面半徑.高分別為4

3、兒4兒 于是其母線/= y （4r） 2÷ （4/r） 2 = 5r> 又側(cè)面積為 400兀，所以 （r÷4）5r=400t 解得 r=4» 于是圓 臺的母線長為20.5. 若/,加，“是互不相同的空間直線，, ”是不重合的平面，則下列命題中為真命題 的是（）A. 若 a/I a、H則/畀B. 若丄艮I g則/丄C若/丄a, l9則丄0D若±ZB Hl丄",則/M解析：選C對于選項C,若/介 則在B內(nèi)必有直線與/平行，從而丄;于是丄86. 正四棱錐（頂點在底而的射影是底而正方形的中心）的體積為12,底而對角線的長為 26,則側(cè)面與底面所成

4、的二而角為（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析：選C由棱錐體積公式可得底面邊長為2L高為3,在底面正方形的任一邊上， 取其中點，連接棱錐的頂點及其在底面的射影，根據(jù)二面角定艾即可判定其平面角，在直角 三角形中，因為tan =3,所以二面角為60° ,選C.7. 已知直線"和平而, , aCR=l, a二a, a匚0,且"在a, D內(nèi)的射影分別為直線“ 和c,則方和C的位置關(guān)系是（）A.相交或平行B.相交或異而C.平行或異面D.相交、平行或異而解析：選D由題意，若al.則利用線面平行的判定，可知“a, a.

5、從而"在a, “內(nèi)的射影直線方和C平行：若aCl=A,則“在a, “內(nèi)的射影直線b和e相交于點A：若 UCya= A. a=B.且直線"和/垂直，則"在a, 內(nèi)的射影直線方和C相交：否則直線 b和C異面.綜上所述，b和C的位置關(guān)系是相交、平行或異面，故選D.8如圖，四邊形 ABCD 中，ADBC, AD=AB, ZBCD=45° , ZBAD=90° , AABD 沿BD折起，使平面ABD丄平而BCD構(gòu)成四而體ABCD9則在四面體ABCD中，下列結(jié) 論正確的是（）A.平而ABD丄平而ABCCBCB.平j(luò)fi ADC丄平而BDC解析：選D易知在A

6、BCD中，ZDBC=450 , ZBDC=90°又平面ABD丄平面BCD、而CD丄BD.所以CD丄平面ABD,所以AB丄CD而AB丄AD, CDnAD=D,所以AB丄平面ACD.所以平面ABC丄平面ACD.9.若正方體的外接球的體積為43,則以該正方體各個而的中心為頂點的凸多面體的體積為（A 亍解析：選C.設(shè)正方體的棱長為“，其外接球的半徑為r,則由題意可得43,解 得r=3.5l2r=3,故a=2.以正方體各個面的中心為頂點的凸多面體是兩個全等的正四 棱錐，該棱錐的鬲是正方體爲的一半，底面面積是正方體一個面面積的一半，則凸多面體的V=2××Q×2

7、15;2）x×2=,故選 C.一個圓錐形容器和一個圓柱形容器的軸截而如圖所示，兩容器內(nèi)所盛液體的體積正好相 等，且液而高度力也相等，貝唸等于（）A，2由已知得zy=（£）1,所以彳=羋故選C.11.如圖，正方體ABCD-ACiDX中，E是棱Bb的中點，用過點A, E, Cl的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為（）解析：選C如圖補全過久E, C的平面，將上半部分切去，所以左視圖如C選項，故選C12.«1如圖，在直三棱柱 ABC-AIBICl 中，AB=Be=曲 BB = 2, ZABC=90° , E, F 分別 為AA"的中點，

8、沿棱柱的表而從E到F兩點的最短路徑的長度是()B. 2D. 22解析：選C將直三棱柱側(cè)面、底面展開有三種情形，如圖.在(2)中，EF=yEG2+FG2 C(3)=y) (d 2 + (宀卜辱在(3)中，EF=yEG2+FG2比較知(3)最小二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13.有一木塊如圖所示，點P在平而A'Cv內(nèi)，棱BC平行于平而AfC.要經(jīng)過P和棱BC將木料鋸開，鋸開的而必須平整，則有種鋸法.解析：因為BC 平面Au BC/BC所以平面 AVjLii P 作 EF/BC 則 EF/BC,所以過EF, BC所確定的平面鋸開即可.又由于此平面唯一確定所以只有一種鋸法.答案： 11

9、4.在四面體ABCD中，已知棱AC的長為邁，其余各棱長都為1,則二面角A-CD-B 的余弦值為.解析：取AC的中點E,取CD的中點F（圖略），則EF=*, BE=誓,BF=半，結(jié)合圖FF 形知二面角A-CD-B的余弦值COS &=祚=專.答案:零15.半徑為R的半球，一正方體的四個頂點在半球的底而上，其余四個頂點在半球的球而上，則該正方體的表而積為解析:如圖，作出半球沿正方體對角面的軸截面，設(shè)正方體的棱長為心2所以 a2=R2,所以 S=6×a2=4R2.答案: 4用16.如圖是古希臘數(shù)學家阿基米徳的墓碑，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的髙相等

10、,則圓柱的體枳與球的體積之比和圓柱的表而枳與球的表而積之比分別為,解析：設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為高為2乩所以 V=R2×2R=2Rl¼ =細?3,所以護=嚴=彳3 W詁22R×2R-i2×R2=6R2, S*=4r,所以S田竝_6?23答案: 3 : 2 3 : 2三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分10分）某幾何體的三視圖如圖,主視圖 左視圖!X EX俯視圖英中俯視圖的內(nèi)外均為正方形，邊長分別為2和4,幾何體的髙為3,求此幾何體的表 而枳和體積.解：依題意得側(cè)面的離f= （2-1） 2+32=T,S=S上成+S下

11、成+S林= 22+42+4×y×(2+4)×T0=20+12T0,所以幾何體的表面積為20+12T0.體積 V=（42+22+2×4）×3 = 2818（本小題滿分12分）如圖所示，四邊形ABCD是直角梯形，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表 面積和體積.（單位：Cm）解：由題意知該幾何體的表面積等于圓臺下底面積、圓臺的側(cè)面積與半球面面枳的和.又 S +* × 4 × 22=8(cm2),S(2 + 5) (5-2) 2+42 = 35(cm2),S =×52=25(cm2)t所以所成幾何體的表面積為8+3

12、5+25=68(cm2).由題意知該幾何體的體積等于圓臺的體積減去半球的體積.又 Vra=×(2證明：連接PO,因為P, O分別為SB, AB的中點，所以PO/SA因為Po 平面PCD, SAg平面PCD,所以SA平面PCD 因為 PO/SA,所以ZDPO為異面直線SA與PD所成的角.因為 AB丄CD, SOICD, ABSO=O,所以CD丄平面SOB因為Po 平面SOB,所以 OD丄Po在 RlADOP 中，OD=2, OP=*SA=*SB=d所以 tan ZDPO=jy= L所以異面直線SA與PD所成角的正切值為+2×5+52)×4=52(cm20.(本小題滿

13、分12分),I.IKZ 4t Vyz> 1 16兀/ 補V× 2,CnT),所以該幾何體的體積為,r f 16 140 VOH臺 一 V =52一一 =丐一(Cm3).19(本小題滿分12分)如圖，圓錐So中，AB, CD為底而圓的兩條直徑，ABCiCD=O,且AB丄CD, SO= OB=2, P為SB的中點.(IpRiiE: SA平而 PCD；(2)求異而直線SA與PD所成角的正切值.解：如圖所示，正三棱柱AifiiCrABC中，點D是Be的中點，BC=逗BBX=F.求證：設(shè) BlDoBCl(I)AIC 平 ABiD:(2)BCl 丄平 WABD.證明：(1)連接A0,設(shè)A/

14、與AS交于& 連接DE因為點D是BC的中點，點E是A】B的中點.所以 DEAC.因為AlC峯平面ABD, DE 平面ABiD,所以AiC平面ABiD.(2)因為AABC是正三角形，點D是BC的中點， 所以AD丄Bc因為平面ABC丄平面BiBCCi9平面ABCrl平面DBeC】=BC, AD 平面ABG 所以AD丄平面BIBCCl因為Bel 平面BBCC,所以AD丄BCi因為點D是BC的中點，BC=&BB, 所以BD=卑BBi.心型_冬1_返為BB廠BC 一 2 '所以 RtZ5BDsRzkBCC.所以 ZBBlD=ZCBCI,ZBDB = ZCCB,且ZCBC1+ ZC

15、C1B=90o ,所以ZCBCl+ZBDB=90° 所以 BCl丄BiD,又 ADQBID=D9所以Bel丄平面ABD.21.(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABGAlBlG的底而是邊長為2的正三角形，£, F 分別是BG CCl的中點.(1) 證明：平面AEF丄平而BiBCCi;(2) 若直線AlC與平而AIABBl所成的角為45° ,求三棱錐F-AEC的體積.解：(1)證明：如圖，因為三棱柱ABC-AlBlCl是直三棱柱，所以AE丄BB|又E是正三角形ABC的邊BC的中點，所以AE丄BC因此AE丄平面BiBCCi.而AE 平面AEF,所以平面AEF丄平面Bi

16、BCCi.(2)設(shè)AB的中點為D,連接AlD, CD因為 ABC是正三角形，所以CD丄AB.又三梭柱ABC-AIBlCl是直三棱柱，所以CD丄A.因此CD丄平面AABB于是ZCAlD為直線AC與平面AlABBI所成的角.由題設(shè)，ZCAlD=45° ,所以 AlD=CD=-AB=y3.在 RtZkAAiD 中，AAI=AD2-AD2=3=2,所以 FC=4Al=爭.故三棱錐F-AEC的體積V=ISEC FC=I22.(本小題滿分12分)在四棱錐/MBCD中，底而ABCD是矩形，AB=2, BC= 又 側(cè)棱刊丄底而ABCD.(1) 當“為何值時，BD丄平而¾C?試證明你的結(jié)論：(2) 當“=4時，求證：BC邊上存在一點使得PM丄DM：(3)若在BC邊上至少存在一點使PM丄DM,求“的取值范用. 解：(1)當a=2時，ABCD為正方形，則BD丄Aa又因為用丄底面ABCD, BD 平面ABCD,所以BD丄刊，又因 PAQAC=A.所以BD丄平面用C.故當/=2 0寸，BD丄平面/