中考數(shù)學(xué)解題思路之三_2

1、a c b p q 圖（ 1）中考數(shù)學(xué)解題思路之三分類思想與討論方法東格致中學(xué)郁強(qiáng)所謂“分類討論”就是在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)某一標(biāo)準(zhǔn)把研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后按類進(jìn)行討論。分類思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)中的基本邏輯方法，初中數(shù)學(xué)中分類思想的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生逐步建立邏輯思維能力較為有效的載體。初中四年，是學(xué)生由形象的接受知識(shí)到抽象的感知知識(shí)的階段。學(xué)生通過(guò)對(duì)分類思想的建立和研究，培養(yǎng)了學(xué)生思維的條理性和縝密性，提高了學(xué)生全面周密地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。分類是討論的前提，討論是分類的延續(xù)，在建立了合理的分類后，只有找到正確的討論方法，才能認(rèn)為是完整的解決了問(wèn)題。分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)與屬性的

2、相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)分類思想須滿足兩點(diǎn)要求： （1）對(duì)稱性，即保證分類的對(duì)象既不重復(fù)又不遺漏。（2）同一性，即每次分類必須保持同一的分類標(biāo)準(zhǔn)。初中數(shù)學(xué)分類思想的研究主要體現(xiàn)在以下三個(gè)基本的層面：一、數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)定義下的分類。具體的體現(xiàn)在等腰三角形的底角和頂角的分類；等腰三角形的腰和底邊的分類；不確定的相似三角形中對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的分類等等。此類問(wèn)題的主要特點(diǎn)是由于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)在定義時(shí)自身產(chǎn)生了分類，而問(wèn)題的提問(wèn)方式?jīng)]有對(duì)該定義的分類內(nèi)容進(jìn)行解釋，題意本身要求學(xué)生在解題的時(shí)候，根據(jù)定義的分類要求進(jìn)行合理的分類討論。例 1、如圖（ 1） ，在直角三角形 abc中，直角邊

3、 ac=3cm,bc=4cm. 設(shè) p，q分別為 ab ，bc上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)p自點(diǎn) a沿 ab方向向點(diǎn) b作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)q自點(diǎn) b沿 bc方向向點(diǎn) c作勻速移動(dòng)，它們移動(dòng)的速度均為每秒 1cm ，當(dāng) q點(diǎn)到達(dá) c點(diǎn)時(shí)， p點(diǎn)就停止移動(dòng)設(shè)p，q移動(dòng)的時(shí)間 t 秒（1）當(dāng) t 為何值時(shí)，pbq為等腰三角形？（2）pbq能否與直角三角形abc 相似？若能，求 t 的值；若不能，說(shuō)明理由（2008年黃浦區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷第24題）此題是典型的根據(jù)定義分類討論的問(wèn)題，第一小題要求確定pbq為等腰三角形，但是題目中未確定哪兩條邊相等，所以根據(jù)等腰三角形的定義進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻摚瑸榱嗽谟懻撝胁恢貜?fù)和不

4、遺漏，對(duì)三條邊 bp 、pq 、bq兩兩相等進(jìn)行了組合分類討論，分成了(1)bp=pq ；(2)pq=bq ；(3)bp=bq三種不同的情況。第二小題要求確定pbq使其與abc相似，但是題目中未確定相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，所以根據(jù)相似三角形的定義進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻?，而本題根據(jù)圖形特點(diǎn)存在公共角，則若pbq與abc，存在 (1)bcbqabbp；(2)abbqbcbp兩種不同的情況。這類問(wèn)題的分類思想還是明確的，學(xué)生也是容易掌握分類和討論的方法，相對(duì)的難點(diǎn)在于分類后的解題方法會(huì)有一些困難，需要學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練和總結(jié)。二、數(shù)學(xué)問(wèn)題中圖形形狀及位置不確定情況下的分類。如不確定的三角形銳角、鈍角與直角的分類

5、；不確定三角形的高存在外高和內(nèi)高的分類；圓中兩條平行弦在圓心同側(cè)和異側(cè)的分類；兩圓相切存在內(nèi)切和外切的分類；兩圓相交兩圓心在公共弦同側(cè)和異側(cè)的分類等等。此類問(wèn)題較多也較為復(fù)雜和隱蔽，很多情況下的分類是學(xué)生意想不到的。例 2、若等腰三角形一腰上的高與該腰所對(duì)底角平分線的夾角是10，則此三角形的頂角是多少度. 例 3、半徑為 25的圓 o中的兩條平行弦， ab=40 ，cd=48 ，求兩弦之間的距離？此兩題并不是很難理解，對(duì)于例2，學(xué)生很快會(huì)告訴我答案為3144度，我告訴他們答案不完整，還存在另一個(gè)解3220度，很多學(xué)生的疑惑是“另一解是如何產(chǎn)生的？”“此題我為什么不知道要分類？” 。由于問(wèn)題中沒(méi)

6、有給出具體的圖形，所以要求我們自己進(jìn)行畫圖，學(xué)生思維的習(xí)慣性會(huì)畫出圖(2) ，而很多人會(huì)忽略了圖(3) 的情況，即不確定的一個(gè)三角形的同一條邊所對(duì)的高和角平分線存在兩種不同的位置關(guān)系。同樣分析例3，學(xué)生也是想不到畫兩條弦時(shí)有在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種不同情況的分類。對(duì)于這類問(wèn)題，學(xué)生不是不會(huì)做，而是分類思想是學(xué)生在解題時(shí)不容易想到，對(duì)于這類問(wèn)題一方面在平時(shí)不斷的積累，不斷的總結(jié)，使再次遇上同類型問(wèn)題時(shí)有分類的意識(shí)。其次是在分析題目時(shí)要不斷的問(wèn)自己（特別是未給出圖形，自己畫圖時(shí)） ，是否有其他情況存在的可能性。三、數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中不同情況下的分類。具體體現(xiàn)在點(diǎn)在線段、射線、直線及折線上運(yùn)動(dòng)時(shí)在不同的

7、位置產(chǎn)生的分類；圖形運(yùn)動(dòng)中構(gòu)成相應(yīng)圖形不同情況下的分類等等。此類問(wèn)題的主要特點(diǎn)是點(diǎn)或是圖形在運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了不同的情況。例 4、如圖（ 4） ，acb 與dfe是全等的兩個(gè)直角三角形，其中acb= dfe=900，ac=df=4 ，bc=ef=3 ，點(diǎn) d、c、f、b在同一條直線上，點(diǎn) e在邊 ac上，dfe沿著直線 db向右平移的過(guò)程中，設(shè)平移過(guò)程中的平移距離為x，dfe與acb 的公共部分的面積為y，在70 x移動(dòng)過(guò)程中，求y與 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域. 此題的題意非常清楚，我們通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)dfe在移動(dòng)過(guò)程中與acb的公共部分分成了四種情況：(1)如圖(5) 圖形構(gòu)成梯形， 此時(shí) x 的范圍為430 x；(2) 如圖(6) 圖形構(gòu)成五邊形， 此時(shí) x 的范圍為343x；(3)如圖(7) 圖形構(gòu)成四邊形，此時(shí)x 的范圍為43x；(4) 如圖(8) 圖形構(gòu)成三角形，此時(shí)x 的范圍為74x。此類問(wèn)題涉及點(diǎn)或圖形的運(yùn)動(dòng)，一方面要仔細(xì)分析題意，對(duì)題中的字詞引起重視（如邊、線段、射線和直圖 (4) b e a c （f）d 圖(5) b e a c d f 圖 (6) b e a cd f ce a 圖(7) b d f e a 圖(