專升本數(shù)學(xué)公式大全資料講解

1、精品文檔專升本高等數(shù)學(xué)公式大全導(dǎo)數(shù)公式：2(tgx) sec x(arcsin x)(ctgx)2 csc x(secx)secx tgx(arccos x)(cscx)cscx ctgx(ax)axI na(arctgx)(IogaX)1(arcctgx)11ar21 X2.1 X21 X222a精品文檔基本積分表：三角函數(shù)的有理式積分:tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx C cscxdx In cscx ctgx Cdx2 .2sec xdxtgx Ccos xdx22csc xdxctgx Csin xsecx tgx

2、dx secxCdx22a x1丄xarctg C a adxx2a2dx2 2a x丄 ln|x a2a |x a1 , a x In2a a xcscx ctgxdx cscx CxaxdxCIn ashxdx chx Cchxdx shx C異arcsin 仝 C“ a2 x2adx2222 "( xx a ) C.x a22nn sinxdxncosxdx00'、x22 adxx2 x2 a2x2a2dxx.x2a22<a22 xdxx a22 xIn2a . / In (x2a2I In x2x2 a2)2a . x arcs in C精品文檔1精品文檔2us

3、inx 2, cosx1 u2一些初等函數(shù):雙曲正弦:shx雙曲余弦：chx雙曲正切:thxtg2，dx2duVu兩個重要極限:xxe e2xxe e2xxshx eexxchx eesin x lim1x 0 x lim(1丄廣 x xe 2.718281828459045arshx ln(xx2 1)archxIn (xx2 1)arthx1|n1 x2 1三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：、函數(shù)角sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 °- acos asin actg atg a90 °+ acos a-sin a-ctg a-tg a18

4、0 ° asin a-cos a-tg a-ctg a180 -a-sin a-cos atg actg a270 °- a-cos a-sin actg atg a270 °+a-cos asin a-ctg a-tg a360 °- a-sin acos a-tg a-ctg a360 °+asin acos atg actg a-和差化積公式:sin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtgctg()ctgctg1ctgctg-和差角公式:sinsinsinsincos coscos co

5、s2sincos222 cossin 222 cos cos 2 22 sinsin2 2sin 22 si ncos22 cos2ctg2ctg22ctgtg22tg2倍角公式:cos1-半角公式:1 1 2si n22 cos2 sinsin33si ncos34 cos3tg33tg4si n33 cos-3tg2sin 21 cos21 coscos21 cos21 cossinsin1 cosctg-1 cossin1 cossin1 cos-正弦定理：，一sin Asin B亠2Rsin C-余弦定理:b22abcosC-反三角函數(shù)性質(zhì):arcs in xarccosxarctgx

6、arcctgx高階導(dǎo)數(shù)公式一一萊布尼茲(Leib niz公式:(uv)(n)nCnU(nk 0k)v(k)u(n)vnu(n 1)vn(n 1)u 2!(n 2)vn(n1) (n kk!1)(n k)v(k)uv(n)中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:拉格朗日中值定理:柯西中值定理:f(b)f(b)f (a)f (a)F ()f ( )(b a)當(dāng)F(x) x時,曲率：F(b) F(a)柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。弧微分公式:1 2 .ds 1 y dx,其中 y tg平均曲率：K:從M點到M點，切線斜率的傾角變化量;s： MM弧長。M點的曲率:y|(1 y2)3直線：K 0;半徑為a的圓:定積分

7、的近似計算：矩形法：f(x) b a(yo y1an梯形法：f(x) b a1(yo yn)an2bb拋物線法：f (x)- a(yo yn)a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式:f(x)dx空間2點的距離：d M1M2 向量在軸上的投影：PrjuAByn 1)yiyn 12(y2 y4yn 2)4(yi y?yn J功：W F s水壓力：F p A引力：F kmimP2,k為引力系數(shù)r函數(shù)的平均值：y均方根：.1f2(t)dtb a空間解析幾何和向量代數(shù):.(x2 X1)2 (y2 如)2 (Z2 乙)2 AB cos ,是AB與u軸的夾角。Pr ju(a1 a?) Pr ja1 Pr ja2a b c

8、osaxbxay byazbz，是一個數(shù)量，兩向量之間的夾角:cosaxbx2 2axayayby azbaz2.bx2z2by2bzcabaxbxaybyazbza b sin.例:線速度:向量的混合積:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCzb I c cos ,為銳角時,代表平行六面體的體積精品文檔x精品文檔平面的方程：1、點法式：A(x xo) B( y yo) C(z 般方程：Ax Byzo)0,其中 n A, B,C, Mo(Xo,yo,Zo)2、Cz D 03、截距世方程：-ya b平面外任意一點到該平面的距離:Axo By。Czo D A2 B2 C2Xo空間直

9、線的方程:x XomZopt,其中s m, n, p;參數(shù)方程:y。Z°mtntPt二次曲面:1、2、3、222xyz2.22abc22xyz,(|：2p2q222:xyz: 2 22abc222:xyz: 2.22abc橢球面:1拋物面:雙曲面:11(馬鞍面)單葉雙曲面雙葉雙曲面多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz dxx全微分的近似計算：dy yz dzdu dx dy dz y zfy(x,y) yxfx(x, y) x多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dzdtz fu(t),v(t)z fu(x,y),v(x,y)x當(dāng)u u(x,y), v v(x, y)時，du dx dyx y隱函數(shù)的求

10、導(dǎo)公式：dvdxxdy y隱函數(shù)F(x,y) 0,dydxd2y隱函數(shù) F(x,y,z) 0,Fy，F(xiàn)Fz，dx2(音)+(x FyyFxydydxFz精品文檔FF隱函數(shù)方程組：F(x,y,u,v)0J(F,G)u飛Fu FvG(x,y,u,v) 0(u,v)GGGuGvuvu1(F,G)v1(F,G)Xj(x,v)Xj(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)x空間曲線yz(t)(t)在點M (x0, y0, z )處的切線方程:(t)XXo(to)y y。(to)z Zolt0)在點M處的法平面方程:(to)(x Xo)(to)(y yo)(to)(z Zo)o若空

11、間曲線方程為:F(X，y，Z)°,則切向量tG(x,y,z) oFyFyGyG Z Gz G x GxGy微分法在幾何上的應(yīng)用:精品文檔曲面 F (x, y,z) 0 上一點 M(Xo,y°,Zo),則: 1、 過此點的法向量:n Fx(x°, yo,z°), Fy(x°,yo, zo), Fz(x°, y°,z。)Zo)2、 過此點的切平面方程 :Fx(Xo,yo,z°)(x Xo) Fy(Xo,y°,Zo)(y y°) Fz(x°, y° ,z°)(z3、過此點

12、的法線方程:x Xoy yoz ZoFx(Xo,yo,Zo)Fy(Xo, yo,Zo)Fz(x°,yo,Zo)方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)z f (x, y)在一點p(x,y)沿任一方向I的方向?qū)?shù)為： f cos sinl xy其中為x軸到方向I的轉(zhuǎn)角。函數(shù)z f (x, y)在一點 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i jx y它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：-f grad f (x,y) e,其中e cos i sinj，為I方向上的單位向量f是gradf (x, y)在l上的投影設(shè)fx(xo,yo)fy(Xo, yo)0,令:fxx(Xo, yo)A,fxy (Xo, yo)B,AC2

13、B丄A0時，A0,(X0 ,yo )為極大值0,(X0 ,yo )為極小值則：ACB20時，無極值A(chǔ)CB20時，不確定多元函數(shù)的極值及其求法：fyy(Xo,yo) C重積分及其應(yīng)用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rdrdDD曲面z f (x, y)的面積A2dxdy平面薄片的重心：x業(yè)Mx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量： 對于X軸I X平面薄片(位于xoy平面)(x,y)xdFxy2 (x, y)d ,D對z軸上質(zhì)點M (0,0, a), (a(x, y)ydy (x,y)dD(x, y)dD對于y軸I y0)的引力:3 ?D/222X2(x y

14、 a )柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：FyD /(x y3,a2)2Fzfax2 (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD 2(x3a2)2x r cos柱面坐標(biāo)：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z其中：F(r, ,z) f (r cosx rsin cos球面坐標(biāo)：y r sin sin ，,r sin ,z)dv rd rsindrr2sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,2,)r sin drd重心：xx dv,y dv2d0丄M轉(zhuǎn)動慣量:Ix(y2z2)dv,Iy(x2z2)曲線積分:第一類曲線積分(

15、對弧長的曲線積分)設(shè)f (x, y)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程為:(t)f(x,y)ds f (t),L(t).2(t)2(t)dtr(,)F(r,0)r2 sindrdv,其中Mdvdv,Iz(x2y2) dv),則:特殊情況:y (t)標(biāo)的曲線積分)，則：(t)第二類曲線積分(對坐P( x,y )dx Q(x,y )dyLP (t),(t)兩類曲線積分之間的關(guān)系：PdxQdyL上積分起止點處切向量的方向角。格林公式：(Q _P)dxdy- Pdx QdyDxyL當(dāng) Py,Q x，即：QP 2時，得到xy平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：設(shè)L的參數(shù)方程為y1、G是一個單連通區(qū)域;2、P(x,y)

16、， Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(t) Q(t),(t)(t) dt(P cosLQ cos)ds，其中和分別為格林公式：Q(P)dxdy:PdxQdyDxyLD的面積AdxdyxdyydxD2 L且Q P。注意奇點,如(0,0)，應(yīng)xy減去對此奇點的積分，注意方向相反!在-A =xu(x,y)二元函數(shù)的全微分求積：時，Pdx Qdy才是二元函數(shù)u (x , y )的全微分，其中:y(x,y)P ( x, y) dx Q ( x, y )dy，通常設(shè) x° y 00。(xo ,yo)R( x, y, z) dxdyP(x, y, z)dydzQ(x, y, z)dzdxRx,

17、 y,z(x, y)dxdy，取曲面的上側(cè)時取正DxyPx(y,z), y,zdydz，取曲面的前側(cè)時取正yzQx, y(z,x), zdzdx，取曲面的右側(cè)時取正號;號;號。zx兩類曲面積分之間的關(guān)系：Pdydz Qdzdx高斯公式：PQR()dv Pdydz QdzdxxyzRdxdy(P cosQ cosRcos )dsRdxdy(PcosQcosRcos )ds曲面積分:對面積的曲面積分：f (x, y, z)dsfx, y,z(x,y)1 z；(x,y) zj(x, y)dxdyDxy對坐標(biāo)的曲面積分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxd

18、y，其中：高斯公式的物理意義通量與散度：散度：div ,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div0,則為消失x y z通量：A ndsAs(Pcos Qcos Rcos )ds，因此，高斯公式又可寫 成：div Adv ' - Ands斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系:y zzxdydz dzdx上式左端又可寫成：xyPQ空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：i jk旋度：rot Ax yzP QR()dydz ( )dzdx向量場A沿有向閉曲線Qp()dxdyo PdxQdyRdzxydxdycoscoscoszxyzRPQRRQPRQ Pyzzxx y的環(huán)流量：© Pdx

19、 QdyRdz A tds常數(shù)項級數(shù)：等比數(shù)列：1q2qnn 11 qnM“1 q等差數(shù)列：123(n 1)n n2調(diào)和級數(shù)：1111是發(fā)散的23n級數(shù)審斂法：1、正項級數(shù)的審斂法根植審斂法（柯西判1時，級數(shù)收斂設(shè)：limn:un，則1時，級數(shù)發(fā)散1時，不確定2、比值審斂法：別法）：1時，級數(shù)收斂設(shè)：lim ，則1時，級數(shù)發(fā)散n Un1時，不確定3、定義法：sn Ui u2un； lim sn存在，則收斂；否則發(fā)n交錯級數(shù)u1 u2 u3 u4（或 u1 u2 u3散。,un 0）的審斂法 萊布尼茲定理:如果交錯級數(shù)滿足un un 1lim un 0'n那么級數(shù)收斂且其和su1,其余項

20、rn的絕對值rnun 1。絕對收斂與條件收斂:精品文檔(1)Ui U2Un ，其中Un為任意實數(shù); UiU2| U3I|Un如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù);如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱 為條件收斂級數(shù)調(diào)和級數(shù)：1發(fā)散，而(1)收斂;nn級數(shù)：12收斂；nP級數(shù)：1.pl時發(fā)散n Pp 1時收斂幕級數(shù):1 x x21時，收斂于1 x1時，發(fā)散對于級數(shù)(3)a0a1xa2xanxn，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全函數(shù)展開成幕級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):余項：Rnf(n1)()(n 1)!(x2數(shù)軸上都收斂，則必存求收斂半徑的方法：設(shè)R時收斂R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑

21、R時不定其中an，an 1是的系數(shù)，則f(x) f(xo)(x xo)七嚴(yán)(x xo)2x0)n 1, f (x)可以展開成泰勒級數(shù)的X。 0時即為麥克勞林公式：f (x) f (0) f (0)x f ；0) x2一些函數(shù)展開成幕級數(shù)：m(1 x)1 mx x2 2!m(m 1) (m n 1) nxn!sin x x3 x3!5 x5!1)n2n 11(2n1)!歐拉公式:ixe cos x i sin xcos xix eix e2sin xix eix e2或0時，R丄0時，R時，R 0f(n)(x0)(x xo)nn!充要條件是：lim Rn 0nf(n)(0)n!(1x1)三角級數(shù)

22、:x)精品文檔精品文檔f (t)a0A0An sin( ntn)n 12(an cos nxn 1bn sin nx)其中，a。aA°, anAn sin n， SAn cos n，t x。正交性:1 ,sin x, cos x, sin 2x,cos 2xsin nx, cos nx任意兩個不同項的乘積在,上的積分=0。傅立葉級數(shù)：f(X)a02(an cos nx bsinnx),周期(n0,1,2f (x) cos nxdxan其中b(x)sin nxdx正弦級數(shù):余弦級數(shù):1尹1尹(n1,2,31尹1尹2-(相加)62-(相減)12a n0, bnf (x) sin n xd

23、x0n 1,2,3f (x)bn0, an2f (x) cos nxdxn 0,1,2f (x)0sinnx是奇函數(shù)an cos nx是偶函數(shù)精品文檔周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):f(x)西/n(an cos (x . bnn sinX),周期2l2n 1llan1(x) cos x . dx 1(n0,1,2 )其中l(wèi) ld 1lbn1 f./ 、. n(x) sinx . dx(n1,2,3)i一階微分方程:y f (x, y)或 P(x, y)dxQ(x,y)dy 0為g(y)dyf (x)dx的形式，解法:微分方程的相關(guān)概念:g(y)dyf (x)dx得：G(y)F(x)C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成dy