異面直線(xiàn)所成的角求法-答案

1、異面直線(xiàn)所成的角的兩種求法初學(xué)立幾的同學(xué),遇到的第一個(gè)難點(diǎn)往往便是求異面直線(xiàn)所成的角。難在何處？不會(huì)作！下面介紹兩種求法一傳統(tǒng)求法-找、作、證、求解。求異面直線(xiàn)所成的角，關(guān)鍵是平移點(diǎn)的選擇及平移面的確定。平移點(diǎn)的選擇：一般在其中一條直線(xiàn)上的特殊位置，但有時(shí)選在空間適當(dāng)位置會(huì)更簡(jiǎn)便。平移面的確定：一般是過(guò)兩異面直線(xiàn)中某一條直線(xiàn)的一個(gè)平面，有時(shí)還要根據(jù)平面基本性質(zhì)將直觀圖中的部分平面進(jìn)行必要的伸展，有時(shí)還用“補(bǔ)形”的辦法尋找平移面。例1 設(shè)空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點(diǎn)，若AB12，CD4 ，且四邊形EFGH的面積為12 ，求AB和CD所成的角. 解 

2、; 由三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)知，HGAB，HECD， EHG就是異面直線(xiàn)AB和CD所成的角.  EFGH是平行四邊形，HG AB6，HE ，CD2，  SEFGHHG·HE·sinEHG12 sinEHG, 12 sinEHG12.  sinEHG,故EHG45°.  AB和CD所成的角為45°注：本例兩異面直線(xiàn)所成角在圖中已給，只需指出即可。例2.點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn)，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且EF= AD，求異面直線(xiàn)AD和BC所成的角。（如圖）解：設(shè)G是AC中點(diǎn)，連接DG、FG。因D、F分別

3、是AB、CD中點(diǎn)，故EGBC且EG= BC，F(xiàn)GAD，且FG=AD，由異面直線(xiàn)所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線(xiàn)AD、BC所成角，即EGF為所求。由BC=AD知EG=GF=AD，又EF=AD，由余弦定理可得cosEGF=0，即EGF=90°。 注：本題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G，按定義過(guò)G分別作出了兩條異面直線(xiàn)的平行線(xiàn)，然后在EFG中求角。通常在出現(xiàn)線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，常取另一線(xiàn)段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線(xiàn)，既可用平行關(guān)系，又可用線(xiàn)段的倍半關(guān)系。例3.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)。 求：AM與CN所成的角的余弦值；解：(1)連接D

4、M,過(guò)N作NEAM交DM于E，則CNE 為AM與CN所成的角。 N為AD的中點(diǎn), NEAM省 NE=AM且E為MD的中點(diǎn)。設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，則NC=·= 且ME=MD= 在RtMEC中，CE2=ME2+CM2=+= cosCNE=,又CNE (0, ) 異面直線(xiàn)AM與CN所成角的余弦值為.注：1、本題的平移點(diǎn)是N，按定義作出了異面直線(xiàn)中一條的平行線(xiàn)，然后先在CEN外計(jì)算CE、CN、EN長(zhǎng)，再回到CEN中求角。2、作出的角可能是異面直線(xiàn)所成的角，也可能是它的鄰補(bǔ)角，在直觀圖中無(wú)法判定，只有通過(guò)解三角形后，根據(jù)這個(gè)角的余弦的正、負(fù)值來(lái)判定這個(gè)角是銳角（也就是異面直線(xiàn)所成的角）或鈍角（

5、異面直線(xiàn)所成的角的鄰補(bǔ)角）。最后作答時(shí)，這個(gè)角的余弦值必須為正。例4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求異面直線(xiàn)AB與CD所成的角。 解：在BD上取一點(diǎn)G，使得，連結(jié)EG、FG 在BCD中，故EG/CD，并且， 所以，EG=5；類(lèi)似地，可證FG/AB，且， 故FG=3，在EFG中，利用余弦定理可得 cosFGE=，故FGE=120°。 另一方面，由前所得EG/CD，F(xiàn)G/AB，所以EG與FG所成的銳角等于AB與CD所成的角，于是AB與CD所成的角等于60°。 例5 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，

6、AA1=c，AB=a，AD=b，且ab求AC1與BD所成的角的余弦解一：連AC，設(shè)ACBD=0，則O為AC中點(diǎn)，取C1C的中點(diǎn)F，連OF，則OFAC1且OF=AC1，所以FOB即為AC1與DB所成的角。在FOB中，OB=，OF=，BE=，由余弦定理得cosFOB=解二：取AC1中點(diǎn)O1，B1B中點(diǎn)G在C1O1G中，C1O1G即AC1與DB所成的角。解三：延長(zhǎng)CD到E，使ED=DC則ABDE為平行四邊形AEBD，所以EAC1即為AC1與BD所成的角連EC1，在AEC1中，AE=，AC1=，C1E=由余弦定理，得cosEAC1=0所以EAC1為鈍角根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義，AC1與BD所成的角的余

7、弦為二利用兩個(gè)向量的夾角公式（），可以求空間兩條直線(xiàn)所成的角。例 6 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D中，E、FFA1B1C1D1BCDAE分別是BB1、CD的中點(diǎn). 求AE與D1F所成的角解: 取AB中點(diǎn)G,連結(jié)AG,FG.因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四邊形,AGD1F. 設(shè)A1G與AE相交于點(diǎn)H,則AHA1是AE與D1F所成的角,因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn),所以RtA1AGRtABE, GA1A=GAH，從而AHA1=90°,即直線(xiàn)AE與D1F所成角為直角.  下邊看

8、利用向量的有關(guān)知識(shí)解答該題： 證明：如右圖建立空間直角坐標(biāo)系：Dxyz。FA1B1C1D1BCDAEYXZ設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則有A（2，0，0）、（2，0，2）D（0，0，0）、D1（0，0，2）、F（0，1，0）、E（2，2，1）（I）=（0，2，1），=（0，1，2）=（0，2，1）（0，1，2）= 0AED1FAE與D1F所成的角為90即直線(xiàn)AE與D1F所成角為直角.   由上述的解答，可以看到傳統(tǒng)方法解決立體幾何問(wèn)題，過(guò)程、圖形都比較復(fù)雜，而用向量解答目標(biāo)明確，在未計(jì)算之前，就已經(jīng)知道結(jié)果了，證明的過(guò)程只是計(jì)算驗(yàn)證，通過(guò)空間直角坐標(biāo)系，把復(fù)雜的

9、幾何證明轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算，學(xué)生對(duì)于代數(shù)運(yùn)算較熟悉，避免了傳統(tǒng)方法造成邏輯推理上的不便和由于輔助線(xiàn)的添加造成圖形的復(fù)雜化等問(wèn)題，相比傳統(tǒng)方法更容易接受和掌握。因此，空間向量是處理立體幾何問(wèn)題的強(qiáng)有力工具。例7已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。求AC與PB所成的角；解：因?yàn)镻APD，PAAB，ADAB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.因用傳統(tǒng)方法解決兩異面直線(xiàn)所成的角問(wèn)題，通常都必須添加輔助線(xiàn)，并且要經(jīng)過(guò)各種手段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，它具有較大的靈活性，學(xué)生掌握起來(lái)比較困難。空間向量的引入，給傳統(tǒng)的立體幾何內(nèi)容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有圖形的直觀性，又有代數(shù)推理的嚴(yán)密性，是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)很好的橋