復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)資料復(fù)習(xí)課程

1、復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)資料22、復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)的表示 直角坐標(biāo)：z=x+iy 復(fù)平面與直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 向量表示 模 幅角 三角表示： 指數(shù)表示：0 xy)(x,yiyxzOxyqPz=x+iy|z|=r2200|Argarg2arg ,zrxyzzkzqqqz=0時(shí)輻角不確定(cossin)zriqqcossinieiqqqizreq6區(qū)域區(qū)域：平面點(diǎn)集：平面點(diǎn)集D D稱(chēng)為區(qū)域稱(chēng)為區(qū)域, , 必須滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：必須滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件： 1 1）D D是一個(gè)開(kāi)集。是一個(gè)開(kāi)集。 2 2）D D是連通的。是連通的。不連通單連通域：?jiǎn)芜B通域：區(qū)域區(qū)域B B中任做一條簡(jiǎn)單閉曲線，曲線內(nèi)中任做一條簡(jiǎn)

2、單閉曲線，曲線內(nèi) 部總屬于部總屬于B B，稱(chēng)，稱(chēng)B B為單連通區(qū)域。為單連通區(qū)域。多連通域：多連通域：不滿(mǎn)足單連通域條件的區(qū)域。不滿(mǎn)足單連通域條件的區(qū)域。單連通域多連通域區(qū)域的概念區(qū)域的概念7復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) w=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y)單值函數(shù)：?jiǎn)沃岛瘮?shù)：z 的一個(gè)值對(duì)應(yīng)一個(gè)的一個(gè)值對(duì)應(yīng)一個(gè)w值。值。多值函數(shù)：多值函數(shù)：z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)兩個(gè)或以上的一個(gè)值對(duì)應(yīng)兩個(gè)或以上w值。值。反函數(shù)：反函數(shù)：z=g(w)兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)的的討討論論復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)的的討討論論 復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性、可導(dǎo)、解析性的判定復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性、可導(dǎo)、解析性的判定81、

3、極限、極限lim( ) ( )zzf zAzzf zA00或，。都都要要趨趨于于同同一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)論論從從哪哪個(gè)個(gè)方方向向趨趨近近；的的方方式式是是任任意意的的，即即無(wú)無(wú)Azfzz)(0定理一：定理一：設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0lim( )( )lim( )( )lim( ), lim( ):( )lim( )zzzzzzzzzzfzg zABfzg zA BfzAg zBfzAg zB00000有l(wèi)im( )lim( , ), lim ( , )zzxxxxyyyyf zAu x yuv x yv0000000的充分必要 件：條定理

4、二：定理二：92、連續(xù)性、連續(xù)性000lim( )(),( )zzf zf zf zz如果稱(chēng)在 處連續(xù)。( )D( )Df zf z如果在區(qū)域 內(nèi)處處連續(xù),稱(chēng)在 內(nèi)連續(xù)。),(),(lim),(),(lim)(000000000yxvyxvyxuyxuzzfyyxxyyxx 為為：處處連連續(xù)續(xù)的的充充分分必必要要條條件件在在定定理理三三、)(, 0)()()(),()(),()()()(000zgfzgzgzfzgzfzgzfzzzgzf 處處都都連連續(xù)續(xù)。處處連連續(xù)續(xù)，下下列列函函數(shù)數(shù)在在在在，定定理理四四、如如果果( )( )( )( )nnnwzw P zaa za zP zwQ zQ

5、z010多 式：=有理式：=在復(fù)平面內(nèi)，下列各式連續(xù)：復(fù)平面內(nèi)，下列各式連續(xù)：項(xiàng)10導(dǎo)數(shù)定義形式與實(shí)變相同，求導(dǎo)法則與實(shí)變相同。121 ( )02 ()3( )( )( )( )4( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )5( )( )6 ( )( )( )( )nncznznf zg zfzgzf zg zfz g zf z gzf zfz g zf z gzg zg zf g zfw gzwg z 、正整數(shù)、17( ),( )( ),( )0.( )fzwf zzwww、與是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù) 且3、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)()()( ) lim( )zf zzf zw

6、f zzDzf zz 00000，如果存在， 在00000()()()limzzzf zzf zdwfzdzz 定義在區(qū)域D內(nèi)，稱(chēng) 可導(dǎo)11為為奇奇點(diǎn)點(diǎn)。不不解解析析在在00)(zzzf000( )( )f zwfzzzz及 的鄰域內(nèi)處處可,則在點(diǎn)導(dǎo)在解析內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)解解析析。在在內(nèi)內(nèi)解解析析：在在區(qū)區(qū)域域DzfD)(可導(dǎo)解析可導(dǎo)解析z0點(diǎn)：區(qū)域D：4、解析、解析00( )( )( )( )( ), ( )( ), (g(z)0), ( ) ( )f zg zzf zf zg zf zg zf g zzg z定理五：如果，在 處解析,則 在 處都解析。01( )( )0( )nnwP za

7、a za zP zwQ z有理多項(xiàng)式 在整個(gè)復(fù)平面上解析。有理分式 （兩個(gè)多項(xiàng)式的商）除分母不為 的點(diǎn)外， 處處解析,使分母為零的點(diǎn)是它的奇點(diǎn)。12( )( , )( , )1( , ), ( , )( , )2-C-R),f zu x yiv x yzxiyu x y v x yz x yuvuvxyyx 定理一：在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件為：（ ）在點(diǎn)可微(可導(dǎo))；（ ）滿(mǎn)足柯西 黎曼(方程：重要定理：重要定理：函數(shù)解析的條件函數(shù)解析的條件柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程( )( , )( , )1( , ), ( , )2,f zu x yv x y iDu x

8、y v x yDuvuvDCRxyyx 定理二：在區(qū)域 內(nèi)解析的充分必要條件為：）在 內(nèi)可微(可導(dǎo))；）在 內(nèi)（方程）：( )uvvufziixxyy求導(dǎo)公式:13連續(xù)、可導(dǎo)、解析的關(guān)系：內(nèi)內(nèi)解解析析在在 D)z(f可可導(dǎo)導(dǎo)在在0z)z(f解解析析在在0z)z(f內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在 D)z(f連連續(xù)續(xù)在在0z)z(f高高層層中中層層低低層層14初初 等等 函函 數(shù)數(shù), Ln , , sinzaezzz注意性質(zhì)：周期性; 多值性; 奇偶性; 解析性1.指數(shù)函數(shù)：( ) exp(cossin )zxf zzeeyiy12121. ( )02. 3. 4. 2zzzzzzzf zeeee eek i處

9、處解析滿(mǎn)足加法定理：周期性：周期為ze 的性質(zhì)：152.對(duì)數(shù)函數(shù)：lnlnargargLnln21, 2zzizzzzkik 主值： 分支： LnlnArgzziz多值！lnarg2zizi k性質(zhì)性質(zhì):1212(1) Ln()LnLn,zzzz1122(2) LnLnzLn,zzz(4) (), , , 在除去負(fù)實(shí)軸 包括原點(diǎn) 的復(fù)平面內(nèi) 主值支和其它各分支 處處連續(xù) 處處可導(dǎo) 且11(ln ),(Ln ).zzzz13LnLnLnLnnnznzzzn（ ）16乘冪乘冪 Ln . bbaae Lnln(arg2) , .baaiaka由于是多值的 因而也是多值的3bbaz.乘冪與冪函數(shù)：、a

10、bikbaiabeeln2)arg(ln 單值(2) (, 0): pbpqqq與 為互質(zhì)的整數(shù)ln(arg2)ln(arg2)lnarg2 ppppppaiakaiakaiaikbqqqqqqaeeeelnarg cos2 sin2 ppaiaqqppekikqq q個(gè)值: 0,1,2,(1) kq(1) b 為整數(shù):)2arg(lnLn kaiababbeea3 ba( )除此以外，具有 無(wú)窮多個(gè)值17Lnbbzwze11 , .nnnbnwzwzzn當(dāng)與 時(shí) 就分別得到復(fù)數(shù)的冪及根運(yùn)算：及冪函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)的解析性?xún)绾瘮?shù)的解析性(1) nz冪函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)是單值解析的：1().nnznz

11、1(2) , . nzn冪函數(shù)是多值函數(shù) 具有 個(gè)分支各分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的:1111.nnzzn各分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的:1(3) ( ) , bwzbnn冪函數(shù)與也是一個(gè)多值函數(shù)1().bbzbz ,. b當(dāng)為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí) 是無(wú)窮多值的1811sin()sin ,cos()cos .22sin(2 )sin ,cos(2 )cos .3 sincos , cossin4cossin5 cos(izzzzzzzzzzzzzezizz （ ） 奇偶性： （ ）周期為的周期函數(shù)： （ ）在復(fù)平面內(nèi)處處解析：（ ）歐拉公式仍然成立：（ ）一些三角公式仍然成立

12、：22212),sin(),sincos1, sin1& cos1zzzzzzz但不成立三角函數(shù)性質(zhì)：4. 三角函數(shù)cos2izizeezsin2izizeezi19一、曲線積分計(jì)算：1212(1) ( )()()(2) ( ),( )( )( )(3) ( )( )( )( )(4) ( )(nCCCCCnCCCCf z dzuiv dxidyudxvdyivdxudyCzz ttf z dzf z tz t dtCCCCCf z dzf z dzf z dzf z dzf zf 通過(guò)兩個(gè)二元線積分求：當(dāng)曲線 可表示為參數(shù)方程時(shí)：為分段光滑曲線：為解析函數(shù)時(shí)，若可求得1010)( )

13、 ( )( )()zzzF zf z dzF zF z的原函數(shù)則有：第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分習(xí)題3-8(1)20二、閉路積分問(wèn)題：1-( )0 ( )Cf z dzCf z（）柯西 古薩定理：其中 所包圍區(qū)域?yàn)閱芜B通域，在該區(qū)域內(nèi)解析12( )( )CCf z dzf z dz（ ）閉路變形原理：在多連通域解析的函數(shù)，不因閉曲線作連續(xù)變形而改變積分值。11( )( )( )0 knCCknf z dzf z dzf z dzCCC （）3（ ）復(fù)合閉路定理：在多連通域解析的函數(shù)CC1DC1C2C3C000( )0104( )1( ),( )2!( ) ( )(1,2,)2Cn

14、nCf zBCzf zCBf zdzizznf zfzdznizz（ ）柯西公式、高階導(dǎo)數(shù)公式： 在 上處處解析， 為圍繞的一條閉曲線，且 的內(nèi)部全含與 則： 習(xí)題3-7(8)、3-9(1)21三、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類(lèi)似的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類(lèi)似的性質(zhì).(1)( )( );CCf z dzf z dz (2)( )( );() CCkf z dzkf z dzk為常數(shù)(3) ( )( )( )( );CCCf zg z dzf z dzg z dz(4) , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML設(shè)曲線的長(zhǎng)度為函數(shù)在上滿(mǎn)足

15、那么估值不等式估值不等式221、調(diào)和函數(shù)的定義2222 ( , ) , 0, ( , ) .x yDxyx yD如果二元實(shí)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 并且滿(mǎn)足拉普拉斯方程:則稱(chēng)為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)四、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 2、解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定理：定理：任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即有：2222 0,uuxy22220,vvxy( )wf zuiv23, , , .uvuvDxyyxvu換句話說(shuō) 在內(nèi)滿(mǎn)足方程的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)中稱(chēng)為 的共軛調(diào)和函數(shù)3、 共軛調(diào)和函數(shù) ( , ) , ( , ) ( , ) .u x yDuivDv x yu

16、x y設(shè)為區(qū)域內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù) 把使在內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)稱(chēng)為的共軛調(diào)和函數(shù)區(qū)域區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù). .4、 偏積分法和不定積分法求解析函數(shù)（簡(jiǎn)單了解即可簡(jiǎn)單了解即可）如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)u, 利用柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v, 從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)u+vi的方法稱(chēng)為偏積分法. ( , ) ( , ), .u x yv x y已知調(diào)和函數(shù)或用不定積分求解析函數(shù)的方法稱(chēng)為不定積分法24一、一、 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本概念復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本概念 1、復(fù)數(shù)列 收斂的充要條件: 同時(shí)收斂.2、復(fù)級(jí)數(shù): 收斂的充要條件: 同時(shí)收斂

17、.3、復(fù)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂: 絕對(duì)收斂的充要條件: 同時(shí)絕對(duì)收斂. nnnaib ,nnab 1nn 11nnnnba1 nn收斂11,nnnnab第四章第四章 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)lim0nn1lim0.nnnn級(jí)數(shù)發(fā)散1nn復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件是25 收斂范圍為圓域收斂范圍為圓域,圓內(nèi)絕對(duì)收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂,圓外發(fā)散圓外發(fā)散,圓上不定圓上不定.0nnnc z1 1、收斂定理：、收斂定理： ( (阿貝爾阿貝爾AbelAbel定理定理) )如果級(jí)數(shù) 在 收斂,那么對(duì)滿(mǎn)足 的z, 級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,如果在 級(jí)數(shù)發(fā)散, 那么對(duì)滿(mǎn)足 的z, 級(jí)數(shù)必發(fā)散。0nnnc z0( 0)z z0zz0zz0zz二二

18、、冪級(jí)數(shù)：、冪級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的情況有三種冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的情況有三種: :(1) (1) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂. . 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂: :(2) (2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z z=0=0外都發(fā)散外都發(fā)散. . 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散: :例如例如, ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnznzz2221RR0(3) (3) 既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù), , 也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù)也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù). . 級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)處處絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)處處絕對(duì)收斂 0R+262

19、、收斂半徑求法、收斂半徑求法:11010limlimnnnnnncifRcifcR比值法：根值法：0( )nnnfzc z如果如果:001.0, .2. (), 0 ,0.nnnnnnc zRc zzzR 則級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處收斂,即 極限不存在 則級(jí)數(shù)對(duì)于復(fù)平面內(nèi)除 以外的一切 均發(fā)散 即 3、性質(zhì)、性質(zhì):和函數(shù)和函數(shù) 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi): 解析解析,可逐項(xiàng)求導(dǎo)可逐項(xiàng)求導(dǎo),可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. 習(xí)題4-6274 4、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)(1)(1)冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算1200( ),( ),nnnnnnf za zRrg zb zRr設(shè)000( )( )()

20、nnnnnnnnnnf zg za zb zab zRz 00( )( )() ()nnnnnnf zg za zb z01 100()nnnnna baba b zzR12min( ,)r r12min( ,)r r(2) 冪級(jí)數(shù)的代換冪級(jí)數(shù)的代換( (復(fù)合復(fù)合) )運(yùn)算運(yùn)算如果當(dāng)如果當(dāng)rz 時(shí)時(shí), ,)(0 nnnzazf又設(shè)在又設(shè)在Rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿(mǎn)足解析且滿(mǎn)足,)(rzg 那么當(dāng)那么當(dāng)Rz 時(shí)時(shí), , 0.)()(nnnzgazgf說(shuō)明說(shuō)明: 此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).習(xí)題4-1128答案答案:. 為為中中心心的的圓圓域域是是以以

21、az 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0)(nnnazc的收斂范圍是何區(qū)域的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題問(wèn)題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不能作出一般的結(jié)論一般的結(jié)論, 要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.答案：答案：?jiǎn)栴}問(wèn)題2: 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?有關(guān)冪級(jí)數(shù)的兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：有關(guān)冪級(jí)數(shù)的兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：29三三 、泰勒級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù):定理定理:在以在以 為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù) f(z) ，可以在該圓域內(nèi)展開(kāi)成可以在該圓域內(nèi)展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式求法泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式求法:直接法直

22、接法,間接法間接法.0z0()zz( )00000()( )()()!nnnnnnfzf zczzzzn30,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z311020100( )( )()1( )0, 1, 2,2()

23、nnnnncf zRzzRf zczzfcdnizcz 定理： 在圓環(huán)域內(nèi)處處解析，則：其中：為圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線。四、洛朗級(jí)數(shù)：四、洛朗級(jí)數(shù)：洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式求法洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式求法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 在計(jì)算閉路積分中的應(yīng)用：在計(jì)算閉路積分中的應(yīng)用：1( )2cf z dzic101( ) d2()nnCfciz令n=-1, 得11( )d2Ccf zzi或習(xí)題4-16(2)32的的負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)。多多個(gè)個(gè)、本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)：含含有有無(wú)無(wú)窮窮級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)。為為，稱(chēng)稱(chēng)冪冪項(xiàng)項(xiàng)，最最高高負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)為為：、極極點(diǎn)點(diǎn)：只只含含有有限限個(gè)個(gè)負(fù)負(fù)的的負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)。、可可

24、去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)：不不含含)(3)(2)(10000zzmzzzczzmm 一、孤立奇點(diǎn)的三種類(lèi)型：第五章第五章 留數(shù)留數(shù)為為本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在且且不不為為、為為極極點(diǎn)點(diǎn)；、為為可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)；存存在在且且有有限限、：孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)類(lèi)類(lèi)型型判判斷斷方方法法000)(lim3)(lim2)(lim1000zzfzzfzzfzzzzzz 33零點(diǎn)與極點(diǎn)零點(diǎn)與極點(diǎn) ： 零點(diǎn)定義：零點(diǎn)定義：f(z)=0f(z)=0的點(diǎn)的點(diǎn) 0)()1.,1 , 0(0)(,)(0)(0)(00zfmnzfmzzzfmn必必要要充充分分級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)為為解解析析在在定定理理一一：級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)的的是是級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的是是系系）定定理理二二：（零零、極極點(diǎn)點(diǎn)關(guān)關(guān)mzfzmzfz)(1)(00習(xí)題5-1(1、2、4)340000001001000001:,:Res( ),lim() ( )2:,:1Res( ),lim()( )