(完整)高中三角函數(shù)知識點與常見習題類型解法,推薦文檔

1、1三角函數(shù)知識點與常見習題類型解法1 任意角的三角函數(shù):(1)弧長公式:I aRR 為圓弧的半徑,a為圓心角弧度數(shù),I為弧長。1(2)扇形的面積公式：S IRR2(3)同角三角函數(shù)關(guān)系式：倒數(shù)關(guān)系：tan a cot a 1為圓弧的半徑，I為弧長。商數(shù)關(guān)系:, sin a tanacosa, cosa cotasin a(4)平方關(guān)系：sin2a cos2a 1x函數(shù)sin xcosxtanxcotxasi nacosatanacot a2 asi nacosatan acot aa2cosasi nacot atan a誘導公式：(奇變偶不變，符號看象限)-k所謂奇偶指的是整數(shù)k的奇偶性;2

2、、兩角和與差的三角函數(shù):(1)兩角和與差公式：cos( ) cosa cos sin a sinsin(a ) sin a coscosasintan a(a【注：)tana tan1tan ata n公式的逆用或者變形】.(2)二倍角公式：2sin acosa22 2 2cos a sin a 1 2sin a 2cos a 12ta n a1 tan2asin2acos 2atan 2a從二倍角的余弦公式里面可得出：降幕公式：cos2a1 cos2a,sin2a12cos2a2.a sin21cosaa cos-2cosa2，2，tan -2jcosasin a1cosa1cosa1 co

3、sasin a(3)半角公式(可由降幕公式推導出)：233、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：（其中k z）三角函數(shù)y sin xy cosxy tanx圖像y0Ir? y xI yL產(chǎn)Y即H Jz14T1定義域(-oo,+x)(-co,+o)x k2值域-1,1-1,1(-co,+o)最小正周期T 2T 2T奇偶性奇偶奇單調(diào)性2k-,2k-單調(diào)遞增222k一,2kJ 單調(diào)遞減22(2k 1) ,2k 單調(diào)遞增(2k ,(2k 1)單調(diào)遞減(k -,k-)單調(diào)遞增2 2對稱性對稱軸：x k2對稱中心：（k ,0）對稱軸：x k對稱中心：（k一,0）2k對稱中心：（,0）2零值點x kx k2x k最值點x

4、 2k, ymax12x2k,ymax12x 2k ,ymax1x (2k1) , ymax1無4、函數(shù)y Asin（ x）的圖像與性質(zhì):及對應的y值再描點作圖。（4）關(guān)于平移伸縮變換可具體參考函數(shù)平移伸縮變換，提倡先平移后伸縮。切記每一個變換總是對字 母x而言，即圖像變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。（本節(jié)知識考Asin( x）圖像及性質(zhì)）(1)函數(shù)yAsin( xAcos( x）的周期都是(2)函數(shù)yAtan( xA cot( x）的周期都是(3)五點法作y Asi n(）的簡圖，設(shè)tx，取0、3、2來求相應x的值以24【函數(shù)的平移變換】【函數(shù)的伸縮變換】：11y f (x

5、) y f (wx)(w 0)將y f (x)圖像縱坐標不變，橫坐標縮到原來的倍(w 1縮w短，0 w 1伸長)2y f(x) y Af (x)( A 0)將y f (x)圖像橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的A 倍(A 1伸長，0 A 1縮短)【函數(shù)的對稱變換】y f ( x)將y f (x)圖像繞y軸翻折 180 (整體翻折)；(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于x軸對稱)2y f(x) y f (x)將y f (x)圖像繞x軸翻折 180 (整體翻折)；(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于y軸對稱)3y f(x)y f (x)將y f (x)圖像在y軸右側(cè)保留，并把右側(cè)圖像繞y軸翻折到左側(cè)(偶函數(shù)局部翻折)；4

6、y f (x)y f (x)保留y f (x)在x軸上方圖像，x軸下方圖像繞x軸翻折上去(局部翻動)5、方法技巧一一 三角函數(shù)恒等變形的基本策略。(1 )常值代換：特別是用“ 1”的代換；女口1 sin2a cos2a tanx cot x tan45等。(2 )項的分拆與角的配湊。如分拆項：22sin a 2 cos a(si n2a2cos a)22cos a 1 cos a；配湊角：( )；等。22(3)降次與升次; 切化弦法。(4)引入輔助角。y asi ni2bcos- a b2sin().a22b cos()，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tanb&宀確疋。

7、a【典型例題】：y f(x)y f (x a)(a 0)將yf (x)圖像沿x軸向左(右)平移a個單位(左加右減)y f (x)y f (x) b(b 0)將yf(x)圖像沿y軸向上(下)平移b個單位(上加下減)y f(x)51、已知tanx2，求sin x, cosx的值.6解：因為tanxsinx 2，又sin2a cos2a 1,cosxsinx 2cosx聯(lián)立得.22/sin x cos x 12運sin xsin x解這個方程組得5cosxcosx52 55,552、求tan( 120 )cos(210)sin( 480 )的值tan( 690 )sin( 150 ) cos(330

8、 )解：原式tan( 120 180 )cos(18030 )sin( 360 120 )八工tan( 72030)sin( 150 )cos(36030 )tan60 ( cos30 )( sin 120 )3V3.tan 30 ( sin 150 ) cos30sin x cosx3、右2,求sin xcosx的值.sin x cosx解：法一：因為sinx cosx2, sin x cosx所以sinx cosx 2(sin x cosx)得到sinx3cosx，又sin2a cos2a 1，聯(lián)立方程組，解得sin x3 10sin x3 1010101-?!- ?、10.10cosxc

9、osx1010所以sin xcosx310sin xcosx c法 一：因為2,sin xcosx所以sin x cosx2(sinx cosx)2 2所以(si nx cosx)4(si nx cosx)，所以1 2sin xcosx 43_10所以有sinxcosx8sin xcosx，74、求證：tan2xs in2x tan2x sin2證明：法右邊= tan2x sin2x tan2x (tan2xcos2x)tan2x(1 cosx2) tan2xsin x2；左邊=tan2x sin2x tan2x (1 cos2x)tan2x tan2xcosx2tan2x(1 cosx2)

10、tan2xs in x25、求函數(shù)yx n2sin()在區(qū)間0,2 上的值域。2 6解：因為0 x 2 ，所以o -x7由正弦函數(shù)的圖象，得到26 2 66x ny 2si%n,1所以y 2sin(K )1,22，2 66、求下列函數(shù)的值域.2(1)y sin x cosx 2；2sin xcosx(sin x cosx)2解：(1)y sin x cosx 2=1 cos2x cosx 2(cos2x cos x) 3令t cosx，則t 1,1, y(t2 t) 3 (t1)2利用二次函數(shù)y 1,爭48(2)y 2sinxcosx (sin x cosx)2=(sinx cosx) 1 (

11、sin x cosx)令t sinx cosx42 sin(x -)，則t J2,J245_則y t2t 1,利用二次函數(shù)的圖象得到y(tǒng) ,1.、2.47、若函數(shù)y=Asin(x+0)(0,00)的圖象的一個最高點為(2, .2)，它到其相鄰的最低點之間的圖象與x軸交于(6，0)，求這個函數(shù)的一個解析式。解：由最高點為(2,、.2)，得到 A 、2，最高點和最低點間隔是半個周期，從而與x軸交點的間隔是 丄4Tn個周期，這樣求得T4,T=16，所以n48又由.2, 2 sin( 2)，得到可以取y , 2 sin(x).84848、已知函數(shù)f(x)=cos4x 2sinxcosx sin4x.n1

12、 sin x(I)求f(x)的最小正周期；(n)若x 0,求f(x)的最大值、最小值.數(shù)y的值域.23 cosx42222解: ( I)因為f(x)=cosx 2sinxcosx si n4x= (cosx sinx)(cosx+ sinx) si n2x(cos2x sin2x) sin 2x9cos2x sin 2x2s in(n2x)2 s in (2xn)44所以最小正周期為7t 10（n）若 xo，n，則（2xnn3n，所以當x=時,心取最大值為佞泊（七當 x 茫時,f（x）取最小值為29、已知tanjecuuin.2，求(1)； (2)sin2sin . cos2cos2的值.co

13、s sin說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。10、求函數(shù)y 1 sinx cosx (sin x cos x)的值域。解：設(shè)tsin x cosx2 si n(xn） 2, r 2，則原函數(shù)可化為yt2t 1 (t3因為t、.2,一2，所以24當t2時，ymax32當t1 3時，ymin24所以,函數(shù)的值域為y4，3-2。解:(1)空cossinsinsin2sin cos.2sinsin2coscos.2sin2coscos1tan1 , 2sin1tan12cos22cossin2sincos.2 sincos2 22422

14、13sin3 2 2；1222 cos21111、已知函數(shù)f(x) 4sin2x 2sin 2x 2, x R； (1 )求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及解：f(x) 4sin2x 2sin 2x 2 2sin x 2(1 2sin2x)2sin 2x 2cos2x 2sin(2x -)4(1)所以f(x)的最小正周期Tn,因為x R,所以，當2x2k n，即x k n時，f (x)最大值為2 2；428n證明：欲證明函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線x對稱，只要證明對任意x R,有nn(8f(8x)f(x)成立，8因為f(nx)2邁sin2(nx) n2、.2 sin(- 2x)2、co

15、s2x，8842f(n8x)2 ,2sin2(n8x)42、2sin(n22x)22 cos2x，所以f(nx)f( x)成立,從而函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線nx對稱。88812、已知函數(shù)y=12 3cos x+ si nx cosx+1(x R),2 2此時x的集合；(2)證明：函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線xn對稱。812(1)當函數(shù) y 取得最大值時，求自變量x 的集合；(2)該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?13解：(1) y=1cos2x 3sinx cosx+1=1(2cos2x 1)+132 21. $3=cos2x+ sin 2x+4=1

16、sin( 2x+24-)+564(2sinx cosx) +1451= (cos2x sin _ +sin2x426cos_)+64所以 y 取最大值時，只需 2x+ =+2k n , ( k Z),即 x= +k n , (k Z)。6 2 6所以當函數(shù) y 取最大值時，自變量 x 的集合為x|x= +kn ,k Z6（2）將函數(shù) y=sinx 依次進行如下變換:（i ）把函數(shù) y=sinx 的圖像向左平移 ，得到函數(shù) y=sin（x+ 一）的圖像;6圖像;（ii ）把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的（iii ）把得到的圖像上各點縱坐標縮短到原來的1倍（縱坐標不變），得到函數(shù) y=sin（

17、2x+ ）的圖像;2-倍2（橫坐標不變）61，得到函數(shù) y= sin(2x+ )的6（iv ）把得到的圖像向上平移5個單位長度，得到函數(shù)4叫3x+sin xcosx+121綜上得至 U y= cos2的圖像。、選擇題:1、（08 全國一 6）y(sin x cosx)2A、最小正周期為2n勺偶函數(shù)C、最小正周期為n的偶函數(shù)2、（08 全國一 9）為得到函數(shù)ycos1y=sin( 2x+2）+5的圖像。64歷年高考綜合題1是（B 最小正周期為2n的奇函數(shù)最小正周期為n的奇函數(shù)n的圖象，只需將函數(shù)ysi nx的圖像（3A、向左平移n個長度單位6C 向左平移士個長度單位63、（08 全國二 1）若s

18、inB、向右平移向右平移丄個長度單位65n個長度單位6A、第一象限角4、（08 全國二 10）.函數(shù)A、10且tanB、第二象限角C 第三象限角f（x） sinx cosx的最大值為（第四象限角14155、（ 08 安徽卷 8）函數(shù)ysin（2x）圖像的對稱軸方程可能是（36、（08 福建卷 7）函數(shù)y=cosx（x R）的圖象向左平移 個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，2析式為（）A -sinxB、sinxC、 -cosxD、cosx7、（ 08 廣東卷 5）已知函數(shù)f （x）（12cos2x)sin x, x R,則f（x）是（)A、最小正周期為的奇函數(shù)B、最小正周期為一2的奇函數(shù)C、

19、最小正周期為的偶函數(shù)D、最小正周期為2的偶函數(shù)8、（08 海南卷 11）函數(shù)f (x)cos2x2sin x的最小值和最大值分別為（)A 3, 1B、2, 2C 3,-D、一 2,3229、（08 湖北卷 7）將函數(shù)y sin（x）的圖象F向右平移一個單位長度得到圖象F,若F3八551111A、B、C、D、1212121210、（ 08 江西卷 6）函數(shù)f （x）sin x是()sin x 2sin2A、以4為周期的偶函數(shù)B、以2為周期的奇函數(shù)軸是直線x,則 的一個可能取值是（）1C、以2為周期的偶函數(shù)D、以4為周期的奇函數(shù)B、x1212g（x）的的一條對稱11、若動直線x a與函數(shù)f （x）

20、 sinx和g（x）cosx的圖像分別交于的最大值為( )A 1B 、212、（ 08 山東卷 10）已知cosn sin6A2罷23AB、5513、08 陜西卷 1）sin330等于（)A 仝B、1C22C . 3D 24二,則sin7n的值是（)56C 、44D、-55D.二221614、(08 四川卷4)tanx cotx cos2x17A、tanxBsinxC、cosxD、COtXsin x（x R）的圖象上所有的點向左平行移動一個單位長度，再把所得3B、a c的交點個數(shù)是（A、0二、填空題322、 (08 浙江卷 12)若sin()，則cos2。2523、 (08 上海卷 6)函數(shù)f

21、(x) = V3si nx+si n( 3+x)的最大值是 _三、解答題24、（08 四川卷 17）求函數(shù)y 7 4sin xcosx 4cos2x 4cos4x的最大值與最小值。圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（sin2x -3siny sin2xsin 2x16、（ 08 天津卷9）sin72cos 一，7c tan 7,則15、（08 天津卷 6）把函數(shù)y17、（ 08 浙江卷2）函數(shù)y(sin xcosx）21的最小正周期是3218、（ 08 浙江卷在同一平面直角坐標系中，函數(shù)cos(i)(x0,2 ）的圖象和直線19、（08 北京卷9）若角的終

22、邊經(jīng)過點P（1，2），則tan2的值為20、（ 08 江蘇卷 1）f xcos x的最小正周期為一，其中650,則=_21、（ 08 遼寧卷 16）設(shè)x0,，則函數(shù)y22sin2x 1sin 2x的最小值為18期是25、(08 北京卷 15)已知函數(shù)f(x) sin2x一3 sin xsin x (022n一求 的值；(n)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,-丄上的取值范圍.326、( 08 天津卷 17)已知函數(shù)f(x) 2cos2x 2sin xcos x 1(x R,；(i)求 的值；(n)求函數(shù)f (x)的最大值，并且求使f (x)取得最大值的227、(08 安徽卷 17)已知函數(shù)f(x) co

23、s(2x ) 2sin( x)sin(x),344)求函數(shù)f (x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程；(n)求函數(shù)f (x)在區(qū)間的最小正周期為n；0)的最小值正周x的集合.匸即上的值域19XXx28、(08 陜西卷 17)已知函數(shù)f(x) 2sin cos2、3 sin23.444n(i)求函數(shù)f(x)的最小正周期及最值；(n)令g(x) f Xn，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并3說明理由.620、選擇題:1 10: DC C B、B、A D、C11 20:11C、 13、B、14、參考答案:9、A、A;D 15、C 16、D 17 、B 18、C;二、 填空題：24、 解:y 74sin xc

24、osx4cos2x 4cos4x72sin 2x4cos2x 12cos x72sin 2x2 24cos xsinx72sin 2xsin22x12sin 2x6由于函數(shù)z2u 16在1,1中的最大值為：zmax最小值為：Zmin121 6 64719、20、1021、,322、23325三、 解答題：6 10故當sin2x1時y取得最大值10，當sin 2x1時y取得最小值6【點評】：此題重點考察三角函數(shù)基本公式的變形，配方法，符合函數(shù)的值域及最值；【突破】：禾 U用倍角公式降幕，禾 U用配方變?yōu)閺秃虾瘮?shù)，重視復合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵;25、解：(I)f(x)1 cos 2 x2-sin2 x2cos2 x2n1sin 2 x.62