微分在近似計算中的應(yīng)用教案

1、微分在近似計算中的應(yīng)用教學(xué)目的：1、理解微分的幾何意義 2、掌握微分在近似計算的應(yīng)用 3、掌握微分在誤差估算的應(yīng)用教學(xué)重點：1、微分在近似計算的應(yīng)用 2、微分在誤差估算的應(yīng)用教學(xué)難點：1、微分在近似計算的應(yīng)用 2、微分在誤差估算的應(yīng)用教學(xué)過程：1、回顧函數(shù)微分內(nèi)容，微分的概念，定義，以及微分的運算 2、導(dǎo)入新課 3、講授新課 （1）1、理解微分的幾何意義 （2）微分在近似計算的應(yīng)用 （3）微分在誤差估算的應(yīng)用 4、例題分析 5、課堂小結(jié) 6、布置作業(yè)微分在近似計算中的應(yīng)用在工程問題中，經(jīng)常會遇到一些復(fù)雜的計算公式，如果直接用這些公式進(jìn)行計算是很費力的，利用微分往往可以把一些復(fù)雜的計算公式改用簡

2、單的近似公式來代替。1函數(shù)增量的近似計算如果在點可微,則函數(shù)的增量 ,當(dāng)很小時,有 例1 半徑10厘米的金屬原片加熱后半徑伸長了0.05厘米，問面積增大了多少？解：設(shè)，厘米，厘米，則（）例2 有一批半徑為1cm的球, 為了提高球面的光潔度, 要鍍上一層銅, 厚度定為0.01cm，估計一下每只球需用銅多少g(銅的密度是8.9g/cm 3)?解: 先求出鍍層的體積，再求相應(yīng)的質(zhì)量。因為鍍層的體積等于兩個球體體積之差，所以它就是球體體積 當(dāng)自取得增量時的增量，我們求對的導(dǎo)數(shù):將帶入上式，得 于是鍍每只球需用的銅約為2函數(shù)值的近似計算由，得,令, 有 （用導(dǎo)數(shù)作近似計算公式）.若，則 說明：（1）要計

3、算在點的數(shù)值，直接計算比較困難，而在點附近一點處的函數(shù)值和它的導(dǎo)數(shù)卻都比較容易求出,于是可以利用作為的近似值, 與越接近越精確。（2）常用的近似公式（假定|x|是較小的數(shù)值）: ; , ( x用弧度作單位來表達(dá)); ( x用弧度作單位來表達(dá)); 證明： 取, 則，, 代入，便得 . 取，則，代入，便得 如：（1）（直接開方的結(jié)果是.）（2）（3）（4）（5）例3 計算的近似值。解：設(shè),則，由，取，得.例4 計算的近似值。解：令，3誤差估計 在生產(chǎn)實踐中, 經(jīng)常要測量各種數(shù)據(jù)，但是有的數(shù)據(jù)不易直接測量, 這時我們就通過測量其它有關(guān)數(shù)據(jù)后, 根據(jù)某種公式算出所要的數(shù)據(jù)。由于測量儀器的精度、測量的條

4、件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤差，我們把它叫做間接測量誤差。 下面就討論怎樣用微分來估計間接測量誤差。（1）絕對誤差：如果某個量的精確值為，它的近似值為,那么叫做的絕對誤差。（2）相對誤差：絕對誤差與的比值叫做的相對誤差。 在實際工作中，某個量的精確值往往是無法知道的，于是絕對誤差和相對誤差也就無法求得。但是根據(jù)測量儀器的精度等因素，有時能確定誤差在某一個范圍內(nèi)。如果某個量的精確值為，測得它的近似值為,又知道它的誤差不超過，則（3）絕對誤差限:若，則稱為測量的絕對誤差限。（4）相對誤差限: 為測量的相對誤差限。一般地，根據(jù)直接

5、測量的值按公式計算值時，如果已知測量的絕對誤差限是，即，則當(dāng)時，的絕對誤差即的絕對誤差限約為，的相對誤差限約為.以后常把絕對誤差限和相對誤差限簡稱為絕對誤差和相對誤差。例如.要求得圓的面積S,只能測出其直徑d,后由Sf(d)算出面積S.由于測量得到的直徑d有絕對誤差,于是由此計算出面積S也相應(yīng)地有絕對誤差.在近似計算中知道,當(dāng)很小時,（=）.于是可用算出S的絕對誤差,對于圓面積Sf(d)有,所以有（絕對誤差）； （相對誤差）進(jìn)一步,若已知時,則得絕對誤差限和相對誤差限分布為：；一般地,若x是由測量得到的,量y是由函數(shù)yf(x)計算得到的,在測量時,x的近似值為,.若已知測量值的誤差限為,即,當(dāng)很小時,；1.要給一個半徑為的球表面涂上油漆,油漆的厚度為,試計算這層油漆的體積。解：2.設(shè)測得圓鋼截面的直徑，測量的絕對誤差限欲用公式計算圓鋼截面積，試估計面積的誤差。解：的絕對誤差限約為的相對誤差限約為3.設(shè)測得一球體的直徑為42cm，測量工具的精度為0.05 cm，試求以此直徑計算球體體積時所引起的誤差。解：由直徑計算球體體積的函數(shù)式是 .取,求得，則球體體積的絕對誤差限為 相對誤差限為.4.設(shè)鐘擺的周期是1 s，在冬季擺長至多縮短0.01 cm，試問此鐘每天至多快幾秒？解：由物理學(xué)知道，單擺周期與