齊次式法與圓錐曲線斜率有關(guān)的一類(lèi)問(wèn)題

1、“齊次式”法解圓錐曲線斜率有關(guān)的頂點(diǎn)定值問(wèn)題定點(diǎn)問(wèn)題是常見(jiàn)的出題形式，化解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積.比例關(guān) 系等，根搖等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題通法，是設(shè)出直線方程， 通過(guò)韋達(dá)定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可。技巧在于：設(shè)哪一條直線如 何轉(zhuǎn)化題目條件圓錐曲線是一種很有趣的載體，自身存在很多性質(zhì)，這些性質(zhì)往往成為出題老師的參考。 如果大家能夠熟識(shí)這些常見(jiàn)的結(jié)論，那么解題必然會(huì)事半功倍。下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見(jiàn)的幾種定點(diǎn) 模型：例題.（07山東）已知橢國(guó)C: + = 1若與X軸不垂直的直線/與曲線C相交于A,

2、B兩點(diǎn)（A, B不是左右頂點(diǎn)）,43y = kx + m3x2+4y2=12 伶且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解法一（常規(guī)法）：I :y = kx+ m 設(shè)人（州，（欠22）,（3 + 4/ 疋 + 8皿 + 4（加2 一 3）= o , = 64加咲2-16（3 + 4疋）（_3）>0, 3 + 4疋一加2 >oSmk4（-3）-3+4/-3+4疋X y2 =+ m） （kx、+ m） = k綜上可知，直線/過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（-.0）.方法總結(jié)：本題為“孫對(duì)定點(diǎn)張直角”的一個(gè)例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)P做相互垂直的直 線交圓儺曲

3、線于AB.則AB必過(guò)定點(diǎn)（也一）。（參考百度文庫(kù)文幸：“圓錐曲線的弦 （r+b a +lr對(duì)定點(diǎn)張直角的一組性質(zhì)”）模型拓展：本題還可以拓展為：只要任意一個(gè)限定AP與BP條件（如kAP kHP =定值或kAP+kBP = 定值），直線AB依然會(huì)過(guò)定點(diǎn)。此模型解題步腺Stepl:設(shè)AB直線y = kx+m9聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范圍；Step2:由AP與BP關(guān)系（如忍p 仏卩=-1）.得一次函數(shù)£ = /（?）或者m = f（k）:Step3:將k = /（?）或者“2 = f（k）代入 y = kx+m，得 y =比（兀_兀定）+ y定。方法評(píng)估：此方法求解過(guò)程中（*）

4、 （*）化簡(jiǎn)整理計(jì)算非常繁瑣。下面介紹齊次式法。（上述方法改 進(jìn)還有“點(diǎn)乘雙根法"）解法二（齊次式法）由以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)知P4丄P3,即kpAkpB=° （kPA - kPB為定值）xlx2 + mk（xl + x,） + in2 =3 + 4k以AB為直徑的圓過(guò)橢國(guó)的右頂點(diǎn)D（2,0）,且心° 忍=-1 ,. " ' =-1, 2（州 + xj + 4 = 0, （*）召_2 x2 -23（-4k）4（nr -3） 16伙 c ,、+- + +4 = 0, （*）3 + 4 疋3 +4k23 + 4/整理得：7也2+ 16比+4

5、=0,解得：m、=-2kj%=-且滿(mǎn)足3 + 42-/2 >07當(dāng)m = 2k時(shí)，l:y = k（x-2）9直線過(guò)定點(diǎn)（2,0）,與已知矛盾：2k22當(dāng)m =-時(shí)，I: y = k（x-）,直線過(guò)定點(diǎn)（y,0）依題意直線/不過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)P(2,0)設(shè)直線/:"心一 2) + ny = 1,由 3x2 + 4b = 12 得 3(x 2 + 2)2 + 4y2 =12(湊出因式(x 2), (y0)故3(x-2)2+12(x-2) + 4/=0(此式不是齊次式，有2次式和1次式，下面齊次化)故 3(x 一 2)2 + 4y 彳 +12(% 一 2)m(x 一 2) + ny =

6、 0(1 的代換)即 3(x 2)2 + 4y彳 + 12/n(x一 2)2 + 2n(x一 2)y = 0 (下面湊出斜率 kPA. kPH o 兩邊同除(x 2)2)故 45-2（因?yàn)锳,3是直線與曲線的交點(diǎn)，故人3的坐)2+ 12+(12 加+ 3) = 0x-2兒 >212？ +3(=一1-7解得m =,代入I: m(x-2) + ny = 得12a kpfkpB 故標(biāo)滿(mǎn)足此式，即兒一 2 '心一 2是相應(yīng)方程4 + 2nt + （12加+ 3） = 0的解）£ 2 X】247.7八x + = 0 1212 得 <y = 0_ 2A = 7 ,故/過(guò)定點(diǎn)(

7、-,0)o7y = 0變式此題若改為：已知橢圓C： + = 1的右頂點(diǎn)P,若直線與橢岡C相交于A, B兩點(diǎn)（A. B不 43是左右頂點(diǎn)），且kpA+kpB=3,求證：直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。此題用傳統(tǒng)法解得時(shí)要計(jì)算，_+i_ = 3,化簡(jiǎn)變形比原題更難，用齊次式法，與原題類(lèi)似。 X 2 as 2解：由原題齊次式解法得4（72）_ +12n72 +（12m + 3）= °,故%、 kpB = -3n = 3解得n = - , 代入/:m（x2）+ny = l,知/:?（x-2）-y = 1,過(guò)定點(diǎn)（2,-1）。x2 y2P（L ）變式此題若改為：已知橢圓C: 一+ =1上一點(diǎn)

8、 2 ,若直線與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)（A, B 43不是左右頂點(diǎn)），且kpAkpB=_ ,求證：直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。遷移訓(xùn)練練習(xí)仁 過(guò)拋物線M: y2=2px上一點(diǎn)P （1,2）作傾斜角互補(bǔ)的直線PA與PB,交M于A、B兩點(diǎn)，求 證：直線AB過(guò)定點(diǎn)。（注：本題結(jié)論也適用于拋物線與雙曲線）練習(xí)2:過(guò)拋物線M: y2 =4x的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦0A、0B,求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)。（經(jīng)典 例題，多種解法）練習(xí)3：過(guò)2，一尸=1上的點(diǎn)4（1）作動(dòng)弦AB、AC且kAB kAC = 3 ,證明BC恒過(guò)定點(diǎn)。（本題參考 答案：（?一扣練習(xí)：4：設(shè)A、B是軌跡C： y2=2pY（p&g

9、t;0）上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線04和03的傾斜角分別為Q和0,當(dāng)Z0變化且a + /3 = -時(shí)，證明直線A3恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。（參考答案 4（-2p,2p）【答案】設(shè)A（召,牙）,8（吃,兒），由題意得£宀工0,又直線OA,OB的傾斜角滿(mǎn)足a + 0 = f, 故0<a、卩 d 所以直線A3的斜率存在，否則，OA,OB直線的傾斜角之和為龍從而設(shè)AB方程為42 2y = kx + b9 顯然X =,%,=丄二，2p - 2p將 y = Ax + Z?與 y2 = 2px(P > 0)聯(lián)立消去兀，得ky2 -2py + 2pb = 0 由韋達(dá)定理知y +

10、 y2 =半，) y2 =二尹. c 兀 p “兀 , c、 tan a + tan B 2/?(y. + yJ由 & + 0 = _,1 = tan = tan(& + 0)二二一"二-441 tan a tan P 4p"將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：2/? =1,所以b = 2p + 2pk,b-2pk此時(shí)，直線A3的方程可表示為y = kx + 2p + 2pk即k(x+2p)-(y 2p) = O 所以直線A3恒過(guò)定點(diǎn)(-2/?, 2p).練習(xí)5: (2013年高考陜西卷(理)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)/1(4, 0),且在p軸上截得的弦例的長(zhǎng)為8(I )求動(dòng)圓圓

11、心的軌跡C的方程;(II)已知點(diǎn)8(T,0),設(shè)不垂直于“軸的直線/與軌跡0交于不同的兩點(diǎn)只Q、若x軸是ZPBQ的角 平分線，證明直線/過(guò)定點(diǎn).【答案】解：(I ) >4(4, 0),設(shè)圓心CMN(x,y),MN線段的中點(diǎn)為&由兒何圖像知= -.CA2 = CM2 =ME2+EC22=>(x-4)2 +y2 =42 +x=> y2 =8x(ID 點(diǎn) 3(T,0),設(shè)P(xl,yl),g(x2,y2),由題知x +y2 HO, yy2 <O,yj =8x,y22 = 8x2.亠斗=飛亠4 = 亠8(兀+)'2)+)'2('2+”)=

12、76;亠8 + 兒'2= 0直線 PO 坷 +1 X2 +1+8 y2 +8方程為：=丄二(尤_坷)亠_兒=一!一(8x_yj)心-“兒+”=> )'(2 +X)一兒(兒 +X)= 8x-yj => y(y2 +) + 8 = 8a y = 0,x = 1 所以，直線PQ過(guò)定點(diǎn)(1,0)練習(xí)6：已知點(diǎn)B(-1,O),C(1,O),P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)PC BC=PB CB(1) 求點(diǎn)P的軟跡C對(duì)應(yīng)的方程：(2) 已知點(diǎn)A(也,2)在曲線C上，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的兩條弦AD和AE ,且AD丄AE ,判斷：直 線DE是否過(guò)定點(diǎn)試證明你的結(jié)論.【解】(1)設(shè)P(X)代入I處

13、I I就1=兩質(zhì)得J(x-1)2 +=1 + X,化簡(jiǎn)得y2=4x.(5分)(2)將A(加,2)代入護(hù)=4x得加=1,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).設(shè)直線DE的方程為x = my +；代入尸=4x,得尸-4?/ -4/ = 0,設(shè)£>(%,E(x2,y2)則+ y2 = 4/n, y-y2 =-4t, = (一4m)2 +16r >0(*)/. ADAE=(x -l)(x2 -1) + ( - 2)(y2-2) = x1x2-(x1 +x2) + +y-y2- 2© +y2)+4 + 今)+ X )，2-2(兒+兒)+ 5164耳匸一冃川）二 2（ 4'）+

14、（“/）_ 2（4加）+ 5 = 0化簡(jiǎn)得尸 _6/ + 5 = 4/h2 + Sin-血空一血止沁+心2-2(卩+肋+ 54即尸 一6/ + 9 = 4+8/77 + 411 卩(r-3)2 =4(/?/ +1)2 .r-3 = ±2(/?/ + l):.t = 2m + 5或f = -2加+ 1,代入(*)式檢驗(yàn)均滿(mǎn)足>()直線DE的方程為x = m(y + 2) + 5或x = 心一 2) +1直線DE過(guò)定點(diǎn)(5-2).(定點(diǎn)(1,2)不滿(mǎn)足題意)練習(xí)7:已知點(diǎn)A (-1, 0), B (1, 一 1)和拋物線.C:y2 =4x, 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)S的動(dòng)直線/ 交拋物線

15、C于饑P,直線胎交拋揚(yáng)線0于另一點(diǎn)0,如圖.(I) 證明：OM OP為定值；(II) 若的面積為丄，求向量麗與亦的夾角;:.OM 麗=丄旦+兒)、=5.44(11)庁殳 z POAf= a ,則 I OM I -I OP I -cosa = 5.5-J S mom=»OM I -1 OP I -sina = 5.由此可得 tan a=1.2又a w (0,),a = 45。,故向藥販與麗I勺夾角為15。(III)設(shè)點(diǎn)、B、0三點(diǎn)共線,：.%=%、即4=車(chē)眞，即輕二丄，21 + 12£_>1 巧一° >i + >3444(兒+1)01 + >

16、3)= yl 一4,即”兒 + X + 兒+4 = o.11分兒兒=4,即兒 y3+ +y3 + 4 = 0,y2 y2 y2即 4(2 + 兒)+“3 + 4 = Of)444y2 + y3直線PQ的方程是y-y?即(y - y2)( y2 + 兒)=4x 一 y；，即，(兒 + 兒)一 y2 兒=4x由(*)式,-y2y3 =4(y2 + y3) + 代入上式，得(y+4)(y2+y3) = 4(x-l).由此可知直線P0過(guò)定點(diǎn)E (1, 一4)模型二：切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)類(lèi)比也例題：有如下結(jié)論：“圓x2+y2 =r2±一點(diǎn)P(x0oT0)處的切線方程為xoy + yoy = r2過(guò)橢

17、圓C：有結(jié)論：“橢圓二+厶_ = 1(。>/,>0)上一點(diǎn)P(x0o!0)處的切線方程為也3 + 卑 =1 ” cr Zr'cr lr2+ v2 =1的右準(zhǔn)線/上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B.4(1) 求證：直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)：(2) 當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求AABM的面積。4 /ay v【解】設(shè) M(,/)(/ e/?), A(xi ylB(x29y2則MA的方程為 + yy = JT點(diǎn) M 在 MA X, +0 =1 同理可得x2 + ty2 =1(2)3由©知AB的方程為-x + ty = h即x = Ji(l -fy)易知右焦點(diǎn)F (、你,

18、0)滿(mǎn)足式，故AB恒過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F (3,0)(2)扌巴 AB 的方程x = y/3( - y)A + y2 = 1,化簡(jiǎn)得7y-6y 1 = 0 4z,4V3Al AB = Vl + 3 0 + 2"=又 M 到 AB 的距離 d =77V1T3 3AABM的面積S =丄 I AB I = 旦丄2 21方法點(diǎn)評(píng)：切點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用.但是在正式的考試過(guò)程中直接不能直接引用，可以用 本題的書(shū)寫(xiě)步驟替換之，大家注意過(guò)程。方法總結(jié)：什么是切點(diǎn)孩解題步驟有哪些參考：“尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下”，優(yōu)酷視頻拓展：相交弦的蝴蝶特征蝴堞定理，許料練習(xí)1: (2013年廣東省數(shù)學(xué)(理)卷)

19、已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線b.x-y-2 = 0的距離為羋.設(shè)P為直線/上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA, PB,其中A,B為切點(diǎn)(I )求拋物線C的方程；(II) 當(dāng)點(diǎn)P(xo,>'o)為直線/上的定點(diǎn)時(shí)，求直線A3的方程;(III) 當(dāng)點(diǎn)P在直線/上移動(dòng)時(shí)，求AFBFJ最小值.S依題意，設(shè)拋揚(yáng)線c的方程為宀心由歸牙羋結(jié)合小,解得心所設(shè)心，X），B（勺,y2）（其中X =牛兒=知,同理可得切線PB的方程為一 2y 2兒=0因?yàn)榍芯€PA、PB均過(guò)點(diǎn)卩（心,y（）,所以尤氐一 2y0 - 2“ = 0, x2x0 - 2y0 - 2y2

20、 = 0 所以（召,yt）,（x2,y2）為方程xQx一2y0 一2y = 0的兩紐解.所以直線A3的方程為xox-2y-2yo =0.（Ill）由拋物線定義可知阿=廿+1, BF = y2+l,所以 |AF| |BF| =（乃 + l）（y2 + 1） = yy2 +（比 +%）+】聯(lián)立方程rf 2>'2兒 °,消去x整理得r+（2yo-v）y+>v=o；r=4yv八由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y + y2 = Aq2 - 2y0, y,y2 =）所 AF-BF = yy2 +（必 +旳）+1 =）訃 + 對(duì)-2y° +1又點(diǎn)P（無(wú)>（）在直

21、線/上,所以兀）=兒+ 2,1H練習(xí)2：（2013年遼寧數(shù)學(xué)（理）如圖，拋揚(yáng)線C, : %2 = 4 y, C2: x2 = -2pyp > 0）,點(diǎn)（心兒）在 拋物線C?上，過(guò)M作G的切線，切點(diǎn)為A,B （M為原點(diǎn)O時(shí)，A,B重合于O）勺=1 一 J5 ,切線MA.的 斜率為-!（I）求p的值；（II）當(dāng)M在C?上運(yùn)動(dòng)吋，求線段A3中點(diǎn)N的軌跡方（A3重合于00寸,中點(diǎn)為O） I ）1燈為柚物線點(diǎn)（兒刃的幼汽斜華為弓X切線 M人的解率為-所以力點(diǎn)坐標(biāo)為（一 1土）故切線M/1的方軒為y = -y（V + 1） + 土閡為點(diǎn)M（l-JLy°）人切線M/1仏她物線G I:. 址(

22、1 - 迂)-:玖V°=2? = 2廠山12得p = 2.K 2:n )設(shè)N(x.y). S(M 土) RXZ.6分III N力纟戈段中點(diǎn)知心十X22i/Jfl MA AfB的力程為III 5X6 (! MA. MB 的交點(diǎn) Af(x0.y0)的來(lái)標(biāo)為HO Xo2 = -4y0.廿勺/戸8。兒）念C? Irli> i W24xJ = 丁y k * 0當(dāng)心-X>ilt/!"血合戶(hù)比AR山點(diǎn)N為0屮棟滿(mǎn)址x£ = - y.丙此汕屮點(diǎn)N的幼I邊力殲為 宀分模型三：相交弦過(guò)定點(diǎn)12分相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)性質(zhì)的拡展，結(jié)論同樣適用。參考尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3

23、下，優(yōu)酷視頻。 但是具體解題而言，相交弦過(guò)定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多，計(jì)算量相對(duì)較大，解題過(guò)程一定要注在思路，同時(shí)注意 總結(jié)這類(lèi)題的通法。2 2例題：如圖，已知直線L： x = my + liS橢圓C :亠+丄亍=1（“ > Z? > 0）的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于 cr XA、B兩點(diǎn)，點(diǎn)、A、B在直線G:x = /上的射影依次為點(diǎn)D、Eo連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化吋，直線AE、 BD是否相交于一定點(diǎn)N若交于定點(diǎn)N,請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說(shuō)明理由。法一：解：F(l,0),k=(/,0)先探索，當(dāng)m=0吋，直線L丄ox軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱(chēng)性知, 2 * 匕2 + AE與B

24、D相交于FK中點(diǎn)N ,且N( .0) 猜如當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)/V( ,0)2 。 2證明：設(shè)A(e ,3(心，y2), E(a2 ,y2 D(a ? j )當(dāng)m變化時(shí)首先AE過(guò)定點(diǎn)N9 7 廠 B|J(6/2 + trm2 )y2 + 2mb2y + b2(-a2) = 0.8分b* -crlr =0 = 4a2b2(a2 + m2b2 -l)>0 (. a > 1)_ 1一（”+兒）一砒而 K刖 _一： ：:=。-a ,a -1、-（?。?a 1(這是 (比 + 兒)一 myy22mb2、戻(1一/) cr +nrlr(a2 一 1) (加- mb2 )八、/+”苗

25、=0)A K=Ka：4 N、E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線AAE與BD相交于定點(diǎn)N（匕上1,0）2法2:本題也可以直接得出AE和BD方程，令y=0,得與x軸交點(diǎn)仏N,然后兩個(gè)坐標(biāo)粕城二0.計(jì)算量 也不大。方法總結(jié)：方法1釆用歸納猜想證明，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，是證明定點(diǎn)問(wèn)題一類(lèi)的通法。這一類(lèi)題在答 題過(guò)程中要注意步腺。例題、已知橢圓C: +V2=1,若直線l:x = t（t>2）與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線/上異于點(diǎn)T的任4一點(diǎn)，直線PAbPA2分別與橢圓交于M. N點(diǎn)，試問(wèn)直線MN是否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)并證明你的結(jié)論。方法仁點(diǎn)Ax A2的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA“ PA2 的方程，直線PAi

26、和橢圓交點(diǎn)是A, （-2, 0）和M,通過(guò)韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn)N 的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線/:x = f（/>2）上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PAx PA2的方程可以求出 P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過(guò)所求的M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方程，將交點(diǎn)的 坐標(biāo)代入，如果解出的t>2,就可以了，否則就不存在。解：設(shè)N（x2,y2）,直線的斜率為/ ,則直線的方程為y = k （x + 2）,由 _'（： + 2）消 丫 整理得（+ 4葉）F+ehx + w好一4 = 0+4y =46k2 -42 腫4k一2叭是方程的兩個(gè)嚴(yán)船尹心孟，卄

27、穴,即和的坐標(biāo)為（驚，誌），同理，設(shè)直線AN的斜率為k?,則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（逖二二1 +欽1 +欽兒=«(+ 2),兒=込(/_2):直線mn的方程為：k +k2 tx-xx x2 -x.令尸0,得x =,將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入.化簡(jiǎn)后得：x = -開(kāi)_兒/5Lvr>2,0<-<2v 圓的焦點(diǎn)為（5/3,0） /.- = >/3,即 r = tt34J3故當(dāng)t = 時(shí)，MN過(guò)橢國(guó)的焦點(diǎn)。32_腫4k韋達(dá)定理，得到點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)：舛= ,'=一 ；其實(shí)由1 1 + 4 葉-1 1 + 4 好（1 + 4斥）疋_163+16用一 4 = 0,得到2勺=些,即

28、兀1 + 4k】方法總結(jié)：本題由點(diǎn)人（-2,0）的橫坐標(biāo)一2是方程（1 + 4燈慶+ 16£% + 16葉一 4 = 0的一個(gè)根，結(jié)合y = &（“一2）2 消y整理得f+4十=4_4h=_- , * = 很快。不過(guò)如1 + 4府 1 + 4疋果看到：將一2禹=厲燈_4中的人用人換下來(lái)，召前的系數(shù)2用一2換下來(lái)，就得點(diǎn)N的坐標(biāo) 1+4好腫一2 -4（2.）.如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算瑩將減少，這樣真容易出錯(cuò)，但這樣減少計(jì)算董。1 + 4 燈 1+4£；k _k 2本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P即在直線上也在直線A?N上，進(jìn)而得到 一=-一,由直 +k2

29、t線MN的方程上二21 =丄1二21得直線與X軸的交點(diǎn)，即橫截距x= ' v|、兒,將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入，x-冊(cè) 吃一州兒一為44l4x/T4x/3化簡(jiǎn)易得兀=一，由一 =>/亍解出/= 亠到此不要忘了考察t = 是否滿(mǎn)足/>2。tt33方法2:先猜想過(guò)定點(diǎn)，設(shè)弦MN的方程，得出A|M、A?N方程,進(jìn)而得出與T交點(diǎn)Q、S,兩坐標(biāo)相減fO 如下：設(shè)厶?。簒 = ,ny+聯(lián)立橢圓方程，整理：（4 + m設(shè)x,=2, x2=|,求點(diǎn)T的坐標(biāo)） y2 + 2V3/z?y -1 = 0; 求出范用；設(shè)M（X,”）,N （x2,y2）,得直線方程：厶也：y =（% 一 2）,厶屮:y

30、=（x2）；Xj zZ若分別于”相較于0、S：易得Q (人二M/-2),S(f.(/-2)Xj 2尤2 _ 2A(r 2)A(r 2)（3）設(shè)t=9,求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）解析：?jiǎn)?與上題同。整理=一 4州兒+ 2（石）（兒+兒）+ （、4）（）1 一兒）（X - 2）（2+ 2）韋達(dá)定理代入=-! 羊2（、冋-4） +（伍-4）（”-”）（召一2）（心+2） 4 + 7?"顯然，當(dāng)=竺時(shí)，猜想成立。3方法總結(jié)：法2計(jì)算量相對(duì)較小，細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)是上W切點(diǎn)弦恒過(guò)定點(diǎn)”的一個(gè)特例而已。因 此，法2采用這類(lèi)題的通法求解，就不至于思路混亂了。相較法1,

31、未知數(shù)更少，思路更明確。2 2練習(xí)仁（10江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓詢(xún)二1的左右頂點(diǎn)為A,B,右焦點(diǎn)為F,設(shè)過(guò)點(diǎn)T（匕m）的直線TA, TB與橢圓分別交于點(diǎn)M （xi, yi）, N （x2, y2）,其中m>0, yi>0, y2<0.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PF2-PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡18.本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考査運(yùn)算求解 能力裙|究佝嗣幼.滿(mǎn)分16分.解：由澈鈿如3), B(3,0). F(2, 0) (1)設(shè)點(diǎn)卩(® /)則 PF2=(x-2)2+/, PB2 = (x-3)2+/.由 P尸-加=

32、4,得(x-2)2+/-(x-3)3-/=4,化簡(jiǎn)得 % =備.故所求點(diǎn)P的軌跡為直線X =|-.0®2+ y = 1及Ti潑.=y 則點(diǎn)紳而克線AM的方程為y = yx + l；膚兔=y» , +y = 及Ji <0,得力=-y>則點(diǎn)"(* -y).從而宜線胎的方程為 廠召-斗.5解得(2)由衍x = 7110r叫論腫5所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(7,由題設(shè)知.直線必的方程為廠醫(yī)&+3).宜線酊的方程為尸才(一3) 點(diǎn)M(%人)滿(mǎn)足 y =卷(衍 +3),則m &彳 91? * 5從而得八二老8U 4- 771I2 (") za240

33、 3m® Xl=16T?2?冷GXcP°則由程為x = i, a點(diǎn)(i)n=f(xa-3)t玄2“ t >2T 3比*3腫鬻帶駕轡及皿>0,得和=2飾嚴(yán)線刑的方3m2 -60 - -20 m20 + m乃二20+m240/n若衍淪S則F2/IU直線MO的斜率%二需于f 瀘4240 -3/n40 - m80 + m"20肌ICm=r40 -m*得%d =気所以直線MV過(guò)D點(diǎn).因此.直線MV必過(guò)工軸上的點(diǎn)(1.0)3)練習(xí)2：已知橢圓E中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)人(一2,0)、3(2,0)、C 1,二 三點(diǎn).過(guò)2)橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不

34、平行的直線/與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)、,AM與3/V所在的直線交于 點(diǎn)Q.(1) 求橢圓E的方程：(2) 是否存在這樣直線加，使得點(diǎn)Q恒在直線加上移動(dòng)若存在，求出直線加方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：(1)設(shè)橢圓方程為 nix2 + my2 = l(/n > 0,n > 0),3將A(2,0)、3(2.0)、C(l,-)代入橢圓E的方程，得24/7/ = 1,(9->V-*<9解得？ = ," = 一：橢圓E的方程一+ = 1m + n = 143434(也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，知a = 2類(lèi)似計(jì)分)(2)可知：將直線l:y = k(x-)代入橢圓E的方程+ = 1并

35、整理.得(3 + 4疋)/一洙+ 4伙2一3) = 0 43設(shè)直線/與橢圜E的交點(diǎn)M(召，”),N(x2,y2),由根系數(shù)的關(guān)系，得壬+ W =?皿2 V3 + 4k3 + 4k直線AM的方程為：y = l(x + 2),即y = ®l二U(x + 2)X + 2斗 + 2由直線AM的方程為：y = (x-2),即y= _ (x-2) x2 -2x2 -2由直線AM與直線BN的方程消去y,得2(XjX2 一3召 + £) _ 22xrv2 一3(x( +x2) + 4x2x = =:=x + 3x2 - 4(xt +x2) + 2x2 _ 4伙23)24k2 A I / 4

36、“+62 +4x)4+x73 + 4疋3 + 4L 3 +4k2J =L± = = 42(x2 -3x + x2) _ 22xx2 一3(x( + x2)+ 4x2 x + 3x2 - 48(宀3) 2叫 + %(%1 +) + 2耳2 43+4“3+4疋7T"r 4 + 2x=3 + 4/ 2+3 + 4Q - 4k2 +6._ 一 +23 + 4L直線AM與直線3N的交點(diǎn)在直線x = 4上.故這樣的直線存在模型四：動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題本質(zhì)上是垂直向量的問(wèn)題，也可以理解為“脈對(duì)定點(diǎn)張直角”的新應(yīng)用。例題1.已知橢圓c：+ = 1(«>/?>0

37、)的離心率為“，并且直y = x + b是拋物線y2 = 4x的一 a2 b22條切線。(I)求橢圓的方程；(II )過(guò)點(diǎn)5(0-1)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得 3* '消去y得:x2 +(2b - 4)x + ", = o 廣=4%因直線y = x + b與拋物線-2 =4a-相切/. A = (2Z?-4)2 -4Z?2 =0 /./? = 1/T*2»22£ = = .a2 = b +c2,.-.；= ,. a = y/2 ,故所求橢圓方程為y" = 1. (II)當(dāng) L 與 xa 2cr 2

38、2以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(I)由<1 4=0=1宀(+ $ =(扌)X2 + b = I軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程:宀(y + sF當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2 +y2 =19由'即兩圓相切于點(diǎn)(0, 1)因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是(0, 1)事實(shí)上，點(diǎn)T (0, 1)就是所求的點(diǎn)，證明如下。 當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T (0, 1)若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L： y = kx-y = kx-由丿消去y 得：(18/+9疋一12 心一16 = 0 + / =12 2k£

39、; + £ =記點(diǎn) A(x, y,) x 8(兀2，兒),則又因煩一1),麗=(心小一1),1腫+9-16x 宀= ； 18/+9 44所以TA TB =+(J| -l)(y2 -D = 1-2 +(鋼一一)(總2 -一)=(1 + k2)xx2 - kg +x2)Z1 八、 4,、16 Z1 廠、-164.2k16 n3 1"91 腫+931 加+99TA丄TB,即以AB為直徑的圜恒過(guò)點(diǎn)T (0, 1)，故在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T (0, 1)滿(mǎn)足條件. 方法總結(jié)：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可以先取特殊值或者極值，找出這個(gè)定點(diǎn)，再證明用直徑所對(duì)圓周角為直角。 例題2：如圖，已知橢圓

40、C:二+ = l(a>/?>0)的離心率是匹，4,4分別是橢圓C的左、右兩個(gè) cr lr21 1 2頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)。點(diǎn)£)是x軸上位于金右側(cè)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足可+戸可=崗 =2。(1) 求橢圓C的方程以及點(diǎn)D的坐標(biāo)：(2) 過(guò)點(diǎn)£)作兀軸的垂線”，再作直線I: y = kx + m 與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P,直線/交直線"于點(diǎn) Q。求證：以線段PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定 點(diǎn)的坐標(biāo)。解：(1) A(-d,0),q2(4°)，F(xiàn)(G°)，設(shè) D(x,0).由為+廿=2有丄+又|F£)| = 1,x-c = ,

41、.x = c + l,于是!+!= 211c+1+ac+l-a=> c +1 = (c +1 + a)(c +1 - d),又. £ => a = a/2c ,a 2. c +1 = (c +1 + 近c(diǎn))(c +1->/2c)2=>c2 -c = 0 , 5Cc>0, :.c = ,：.a = >/2,b = ,橢圓 C:- + y2 = ,且£)(2,0)。y = kx + m 三<2)方法 1： 9Q(2,2k + m) 9 設(shè) P(x(”)b),由“X2 2嚴(yán)牛+ Q +滬=1 一 + y2 = 1212=> x2 +

42、2(kx + m)2 = 2 =>(2k2 +l)x2 +4kmx+2m2 -2 = 0 ,由于 = 16疋加2 _4(2疋 +1)(2加2 _2)= o =>2上2-nr +1 = 0 => m2 =2k2+ (*),子七 a - c一4如72km 由(4)-2hn 2k而由韋達(dá)定理：2x0 =一；一=>心=； = 一7°2k2+°2k2+ m2>0 =仇+加=2k212k 1+ /?/ = , P(,),nimm m設(shè)以線段PQ為直徑的圓上任意一點(diǎn)A/(x, y),由麗 MQ = 0有2k1,? 2k12k(x + )(x-2) + (y)

43、(y-(2& + 7) = 0=>+(2)x + (2k + m + )y + (l) = 0 由對(duì)m' in ' inm ' m稱(chēng)性知定點(diǎn)在x軸上，令y = 09取x = l吋滿(mǎn)足上式，故過(guò)定點(diǎn)K(l,0)。法2:本題又解：取極值，PQ與AD平行，易得與X軸相交于F （1,0）。接下來(lái)用相似證明PF丄FQ。設(shè)P （心兒）,易得P0切線方程為恥+ 2 v0y = 2;易得D（0,上衛(wèi)）>0設(shè)PH丄FDPH =y°HF = 7 ;DQ = ；DF = 1;y（）竺=坐，固APHF相似于 FDQ,易得APFQ = 90°PH FD問(wèn)題得證。兀2 丫2練習(xí)：（10廣州二模文）已知橢圓q :+ = 1（«>/?>0）右焦點(diǎn)&