高等數(shù)學(xué)中微積分證明不等式的探討

1、    高等數(shù)學(xué)中微積分證明不等式的探討    沈鵬源【摘要】本文圍繞高等數(shù)學(xué)中的微積分證明不等式進(jìn)行討論，利用函數(shù)極值、函數(shù)的單調(diào)性以及拉格朗日中值定理等，對(duì)于函數(shù)相關(guān)的不等式加以證明，并通過(guò)相關(guān)例子描述在對(duì)不等式進(jìn)行證明時(shí)微積分的應(yīng)用，以及在不同的不等式證明過(guò)程中采用不同中值定理的區(qū)別.【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；微積分證明；不等式在高中數(shù)學(xué)中，不等式具有一定的普遍性和困難性，在高等數(shù)學(xué)發(fā)揮著重要的作用，在對(duì)不等式進(jìn)行證明時(shí)，模式并不固定，會(huì)因?yàn)轭}目的不同，解題的方法也不盡相同，具有較強(qiáng)的技巧性和靈活性.而微積分證明不等式對(duì)高等數(shù)學(xué)的發(fā)展具有至關(guān)重要的作用.

2、一、運(yùn)用函數(shù)最小值、最大值和極值對(duì)不等式加以證明（一）最小值、最大值和極值的求法1.最小值、最大值求法（1）閉區(qū)間a，b連續(xù)函數(shù)的最小值與最大值的求法：需要先把可疑點(diǎn)求出來(lái)，再把端點(diǎn)a，b和可疑點(diǎn)處的兩個(gè)函數(shù)值進(jìn)行比較，最大者即為最大值，反之則為最小值.（2）開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)的最小值、最大值求法：如果f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，并且極值點(diǎn)具有唯一性，那么這個(gè)極值點(diǎn)就是最小值點(diǎn)或最大值點(diǎn)1.2.極值求法（1）將可疑點(diǎn)求出來(lái)，即不可導(dǎo)連續(xù)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn).（2）通過(guò)極值充分條件對(duì)可疑點(diǎn)進(jìn)行判斷，判斷其是否為極值點(diǎn).（二）證明方法在相同的“形式”在不等式兩邊出現(xiàn)時(shí)，輔助函數(shù)可以通過(guò)此形式來(lái)構(gòu)造.

3、例1 證明：如果p>1，則對(duì)應(yīng)0，1中的任意x有：1xp+（1-x）p12p-1.分析 設(shè)輔助函數(shù)f（x）=xp+（1-x）p（0x1），如果設(shè)g（x）=12p-1，f（0）=f（0）-g（0）=1-12p-1=f（1）0（0x1），所以，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明具有一定的難度.不等式的兩端都為常數(shù)形式，因此，可以運(yùn)用最值的方法進(jìn)行計(jì)算.證明 設(shè)函數(shù)f（x）=xp+（1-x）p（0x1）.有f（x）=pxp-1-p（1-x）p-1=pxp-1-（1-x）p-1，令f（x）=0，得到唯一駐點(diǎn)x=12，從而，f12=p（p-1）12p-2+p（p-1）12p-2=2p（p-1）12p-2&g

4、t;0，p>1，所以，x=12是極小值點(diǎn)同時(shí)也是最小值點(diǎn)，最小值為f12=12p-1，兩邊界為f（0）=f（1）=1.所以1xp+（1-x）p12p-1.說(shuō)明：運(yùn)用該方法需要題設(shè)滿(mǎn)足以下條件：1.所設(shè)函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在所討論區(qū)間上不屬于單調(diào)函數(shù).2.可以證明不夠嚴(yán)格的不等式，對(duì)于嚴(yán)格性較強(qiáng)的不等式不能證明2.二、運(yùn)用可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)不等式加以證明可以運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系對(duì)可導(dǎo)函數(shù)類(lèi)的不等式加以證明，以下是這類(lèi)函數(shù)的證明方法和特征：如果f（x），g（x）可導(dǎo)，證明f（x）>g（x）.證明 1.用減法，設(shè)x>a，可以轉(zhuǎn)換成證明f（x）-g

5、（x）>0.構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=f（x）-g（x），如果f（x）>0，f（a）=0，則f（x）單調(diào)遞增，所以，f（x）>f（a）=0，所以f（x）=f（x）-g（x）>0.從而f（x）>g（x）.如果f（x）不能判斷是否大于0，而f（a）=0，則求f（x）.如果f（x）>0，則f（x）單調(diào)遞增，即f（x）>f（a）=0，從而f（x）單調(diào)遞增，即f（x）>f（a）=0，從而f（x）單調(diào)遞增，則f（x）>f（a）=0，所以f（x）>g（x）.2.用除法，設(shè)a<x1，從而構(gòu)造輔助函數(shù)：f（x）=f（x）g（x）.f（a）=1或f（b

6、）=1，f（x）=f（x）g（x）-g（x）f（x）g2（x）.因?yàn)間2（x）>0，所以考察分子可設(shè)為：（x）=f（x）g（x）-g（x）f（x），（x）=f（x）g（x）+f（x）g（x）-f（x）g（x）-f（x）g（x），（x）=f（x）g（x）-f（x）g（x）.如果（x）>0，f（a）=1，（a）=0，則（x）單調(diào)遞增，f（x）>0，即f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）>f（b）=1，即f（x）>g（x）.例2 求證sinx>x-16x3（x>0）.證明 f（x）=sinx-x-16x3，f（0）=0，f（x）=cosx-1+x22，f（0）=0

7、，f（x）=-sinx+x，f（0）=0，f（x）=-cosx+10，得f（x）單調(diào)遞增，f（x）>f（0）=0，得f（x）單調(diào)遞增，f（x）>f（0）=0，得f（x）單調(diào)遞增，則f（x）>f（0）=0，即sinx>x-16x3.本題中f（x）是否大于0無(wú)法判斷，但端點(diǎn)值為0，因此，求f（x），f（x）仍然不能判斷是否大于0，但f（0）>0，繼續(xù)求f（x），f（x），f（x）單調(diào)遞增，最后得出需要求證的結(jié)論，還可用定積分的方法來(lái)證明.例3 當(dāng)0x2，求證sinx2x.分析 如果令f（x）=sinx-2x，f（x）=cosx-2，由于導(dǎo)數(shù)符號(hào)的不斷變化，所以輔助函數(shù)

8、f（x）無(wú)單調(diào)性，需要重新設(shè)定輔助函數(shù)f（x），可以使用除法. </x證明 令f（x）=sinxx，f（0）=limf（x）=1，f2=2，f（x）=xcosx-sinxx2，令g（x）=xcosx-sinx，g（0）=0，g（x）=cosx-xsinx-cosx0，g（x）單調(diào)遞減，因此，g（x）g（0）=0.f（x）0，f（x）單調(diào)遞減，f（x）f2=2，sinx2x.說(shuō)明：在使用函數(shù)的單調(diào)性對(duì)不等式進(jìn)行證明時(shí)，不等式兩邊函數(shù)需要具有可導(dǎo)性，而輔助函數(shù)f（x）的構(gòu)造需要在某開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，閉區(qū)間上連續(xù)，并保證閉區(qū)間端點(diǎn)f（x）值為0，f（x）的單調(diào)性需要通過(guò)f（x）的符號(hào)進(jìn)行判斷，通常

9、會(huì)先用減法，如果減法不能成立，且滿(mǎn)足除法的具體要求，則可以使用除法進(jìn)行證明3.三、運(yùn)用拉格朗日中值定理對(duì)不等式加以證明（一）拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則有：f（b）-f（a）b-a=f（），其中（a，b），b>a.（二）證明思想拉格朗日中值定理存在的方式為等式，運(yùn)用該定理對(duì)不等式加以證明，在拉格朗日的公式中（a，b），根據(jù)在（a，b）間的取值可以對(duì)f（）的取值范圍加以估計(jì)，最終得到不等式4.（三）證明步驟1.對(duì)函數(shù)所在區(qū)間內(nèi)是否滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的具體條件加以驗(yàn)證，a，b為自變量的所在區(qū)間.2.求導(dǎo)f（x），得到f（），并以此建立等式.f（）=f

10、（b）-f（a）b-a，（a，b）.3.f（）的范圍可以通過(guò)的范圍加以確定，從而對(duì)不等式進(jìn)行驗(yàn)證.例4 設(shè)0證明 設(shè)f（x）=lnx，則f（x）=1x，對(duì)于f（x）=lnx在xa，b運(yùn)用拉格朗日中值定理有l(wèi)nb-lna=1（a，b），（a，b），即lnb-lnab-a=1，a2+b22ab，1b2aa2+b2.1b（0lnb-lnab-a=1，2aa2+b2< p>說(shuō)明：拉格朗日中值定理將導(dǎo)數(shù)值和函數(shù)值相連接.在本題中并沒(méi)有明確的位置，對(duì)于不等式來(lái)說(shuō)，也不必精確，所以可以運(yùn)用中值定理進(jìn)行證明，但要注意f（a）和區(qū)間a，b的選擇5.四、結(jié) 語(yǔ)綜上所述，為使用微積分對(duì)不等式加以證明的主要方法，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還要結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)方法進(jìn)行選擇，部分不等式的證明可以使用多種方法，應(yīng)對(duì)證明方法的選擇技巧加以熟練的掌握，多思考，多總結(jié)，對(duì)微積分的理論和方法加以靈活的運(yùn)用，明確問(wèn)題的本質(zhì)，找出切入點(diǎn)，將證明不等式的問(wèn)題簡(jiǎn)單快捷地解決.【參考文獻(xiàn)】1左淑梅.高等數(shù)學(xué)中微積分證明不等式的探討j.高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013（2）：52-53+55.2王鳳莉.微積分在證明不等式中的應(yīng)用j.石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（6）：78-80.3劉