利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1(2020 張家口期末 )已知 a 為實(shí)數(shù)， f(x)ax33x2，若 f(1) 3，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為() a(2，2)b. 22，22c(0，2) d. 2，22解析： 選 b因?yàn)?f(x)ax3 3x2，則 f(x)3ax23.又 f( 1)3a3 3，解得 a 2，故f(x) 6x23.由 f(x)0 得22x22，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為22，22.故選 b. 2函數(shù) f(x)在定義域r內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)f(2x)，且當(dāng) x(， 1)時(shí)，(x1)f (x)0，設(shè) af(0)，bf12，cf(3)，則 () aabcbcbaccabdbca解

2、析： 選 c由題意得， 當(dāng) x0，f(x)在(，1)上為增函數(shù) 又 f(3)f(1)，且 10121，因此有f(1)f(0)f12，即有 f(3)f(0)f12，即 cab. 3(2020 湘西期末 )已知函數(shù)f(x)ax36x23x1 在 (1,2)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 () a.(， 3b.，74c.3，74d.74，解析： 選 a f(x)ax36x2 3x1，f(x) 3ax212x 3. f(x)在(1,2)上是減函數(shù)，在 (1,2)上恒有 f(x)0，即 3ax212x3 0 在 (1,2)上恒成立，即a1x24x1x 224 恒成立x(1,2)，1x12，1 ，1x

3、224 3，74，a 3.實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(， 3故選 a. 4(2020 洛陽、許昌聯(lián)考)設(shè)函數(shù)y f(x)，xr 的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且f(x)f( x)，f(x)f(x)，則下列不等式成立的是(注： e為自然對數(shù)的底數(shù))() af(0)e1f(1)e2f(2) be1f(1)f(0)e2f(2) ce2f(2)e1f(1)f(0) de2f(2)f(0)e1f(1) 解析： 選 b設(shè) g(x)f xex，則 g(x)f x exf x exex2f x f xex，因?yàn)閒(x)f(x)，則 g(x)g(0)g(1)，所以 e1f(1)f(0)e2f(2)5(2020 南平質(zhì)檢 )已

4、知函數(shù)f(x)(xr)圖象上任一點(diǎn) (x0，y0)處的切線方程為yy0(x02)(x201)(xx0)，那么函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是() a1， ) b(， 2c(， 1)和 (1,2) d2， ) 解析：選 c因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(x r)圖象上任一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為yy0(x02)(x201)(xx0)，所以函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn) (x0， y0)處的切線的斜率k(x02) (x201)，函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)(x2)(x21)由 f(x)(x2)(x2 1)0，得 x1 或 1x0. 答案： (0， ) 7已知函數(shù)f(x)12x24x3ln x 在區(qū)間 t，t1上不單

5、調(diào)，則實(shí)數(shù)t 的取值范圍是_解析： 由題意知f(x) x 43xx1x3x，由 f(x)0 得函數(shù) f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為 1 和 3，則只要這兩個(gè)極值點(diǎn)有一個(gè)在區(qū)間(t，t1)內(nèi)，函數(shù) f(x)在區(qū)間 t，t1上就不單調(diào)， 1(t， t1)或 3(t，t 1)?t 1，t 11或t3，t1 3? 0t1 或 2t3. 答案： (0,1)(2,3) 8已知 f(x)x22aln x，ar，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間解： 因?yàn)?f(x)x22aln x，x(0， )，所以 f (x)xaxx2ax. 當(dāng) a0 時(shí)， f (x)0，所以 f(x)在(0， )上為單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng) a0 時(shí)， f(x)xa

6、xax. 當(dāng) x(0，a)時(shí)， f(x)0，所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a， )綜上所述，當(dāng)a0 時(shí)， f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0， )，無單調(diào)遞減區(qū)間當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(a， )9已知函數(shù)f(x)bex1(br，e 為自然對數(shù)的底數(shù))在點(diǎn) (0，f(0)處的切線經(jīng)過點(diǎn)(2, 2)討論函數(shù)f(x)f(x)ax(ar)的單調(diào)性解： 因?yàn)?f(0)b1，所以過點(diǎn) (0，b1)，(2， 2)的直線的斜率為kb1 202b12，而 f(x)bex，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f(0) bb12，所以 b1，所以 f(x)1ex1. 則 f(x)ax1e

7、x1，f(x)a1ex，當(dāng) a0 時(shí)， f(x)0 時(shí)，由 f(x)0，得 x0，得 xln a. 故當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)在 r上單調(diào)遞減；當(dāng)a0 時(shí)，函數(shù)f(x)在(， ln a)上單調(diào)遞減，在 (ln a， )上單調(diào)遞增10已知函數(shù)f(x)ln xx12x. (1)求證： f(x)在區(qū)間 (0， )上單調(diào)遞增；(2)若 fx(3x2)13，求實(shí)數(shù)x 的取值范圍解： (1)證明：由已知得f(x)的定義域?yàn)?(0， )f(x)ln xx12x，f(x)1x12x2x12x24x23x1x 1 2x2. x0， 4x23x10， x(12x)20. 當(dāng) x0 時(shí)， f(x)0.f(x)在

8、 (0， )上單調(diào)遞增(2)f(x)ln xx12x，f(1)ln 1112113. 由 fx(3x2)13得 fx(3x2) f(1)由(1)得x 3x2 0，x 3x2 1，解得13x0 或23x1. 實(shí)數(shù) x 的取值范圍為13，0 23，1 . 11設(shè)函數(shù)f(x)x(ex1)ax2. (1)若 a12，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng) x0 時(shí) f(x)0，求 a 的取值范圍解： (1)當(dāng) a12時(shí)， f(x)x(ex1)12x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)當(dāng) x(，1)時(shí)，f(x)0； 當(dāng) x(1,0)時(shí)，f(x)0；當(dāng) x(0， )時(shí)，f(x)0. 故 f(x)在(，

9、 1)，(0， )上單調(diào)遞增，在(1,0)上單調(diào)遞減(2)f(x) x(ex 1ax)令 g(x)ex1ax，則 g(x) ex a. 若 a1，則當(dāng) x(0， )時(shí)， g (x)0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)0，從而當(dāng)x 0 時(shí)g(x)0，即 f(x)0. 若 a1，則當(dāng) x(0，ln a)時(shí)， g(x)0， g(x)為減函數(shù)，而g(0)0，從而當(dāng)x(0，ln a)時(shí) g(x)0，即 f(x)0，其圖象的對稱軸為直線x12，g12m12，g(0) m，當(dāng) g120，即 m12時(shí)， g(x)0，即 f(x) 0. 此時(shí)， f(x)在(0， )上單調(diào)遞增；當(dāng) g120，即 0m12時(shí)，令 g(x)0，得 x1112m2，x2112m2，此 時(shí) ， f(x) 在0，112m2，112m2， 上 單 調(diào) 遞 增 ， 在112m2，112m2上單調(diào)遞減；當(dāng) g(0)0，即 m0 時(shí)，令 g(x)0，得 x0112m2，此時(shí) f(x)