《運籌學》群決策

1、4上一章所研究的多屬性決策問題是由單個決策者從有限個方案中，選擇一個決策者認為滿意的方案。其決策行為主要表現(xiàn)在單一效用函數(shù)或單一優(yōu)先關系的構造和分析，這一類決策是所謂的獨斷型決策。但在現(xiàn)代社會生活中，實際決策的形成往往不是一個人說了算的。由于各種經(jīng)濟決策問題變得越來越復雜，在許多情況下都有必要集中一群人的智慧來共同解決決策問題。即使是人們每天碰到的日常決策，雖然本質上不屬于群決策的范疇，但也會征求親友或同事們的意見，然后才作出決定。因此，根據(jù)群體各個成員的意見和偏好來制訂統(tǒng)一的決策是人類決策的普遍形式?，F(xiàn)代群決策(GDM)理論的研究范疇已經(jīng)從早期的社會選舉理論發(fā)展到近代的多屬性群決策理論，又從

2、多屬性群決策理論進一步推廣到現(xiàn)代的專家系統(tǒng)理論和對策理論，并與模糊集理論結合在一起，形成了一個十分活躍而廣泛的研究領域。多屬性決策問題從單個決策者的獨斷情形轉變到多個決策者集議的情形，給決策分析帶來許多復雜的因素，并提出一系列的新問題。由于不同的決策者對同一問題的理解和愿望彼此不同，甚至是相互抵觸和矛盾的，如何根據(jù)每個成員的偏好形成整個群體的偏好，即從單一優(yōu)先關系或單一效用函數(shù)形成群體優(yōu)先關系或群體效用函數(shù)，進而排列方案的優(yōu)劣次序，便成為解決多屬性群決策問題的關鍵。12.1 選舉函數(shù)和福利函數(shù)12.1.1 社會選舉理論選舉是民主社會中表達民眾意愿的基本形式，也是最典型的群決策方法之一。當選民在

3、投票的時候，心中對候選人的各方面條件，如資格、能力、誠信度等，都已經(jīng)作了綜合性的衡量與比較，才形成自己的選擇意愿。所以，選舉過程實質上是一個多屬性的群決策過程，只是這里的決策屬性沒有以外在的形式表現(xiàn)出來而已。社會選舉方法的形成和發(fā)展可以劃分為三個主要的歷史時期。第一個歷史時期發(fā)生在十八世紀八十年代的法國，其代表人物為 Borda和Condorcet。第二個歷史時期發(fā)生在十九世紀六十年代和九十年代之間的英國，其代表人物為Dodgson和Nanson。第三個歷史時期發(fā)生在二十世紀五十年代至八十年代的美國，其代表人物為Arrow，Gibbard和 Satterthwaite。選舉需要解決的根本問題是

4、如何在充分考慮個人意愿的基礎上形成合理的全社會的選舉結果。對于只有兩個候選人的選舉情況，簡單多數(shù)的選舉原則被普遍認為是公正可行的。但如果有多名候選人存在時，簡單多數(shù)的選舉原則卻有可能導致矛盾荒謬的結果。譬如，設有三個選民甲、乙、丙和三個候選人，如果甲認為 優(yōu)于 ， 又優(yōu)于 ；乙認為 優(yōu)于 ， 又優(yōu)于 ；而丙認為 優(yōu)于 ， 又優(yōu)于 。那么兩兩比較的結果是： 優(yōu)于 有兩票贊成一票反對， 優(yōu)于 也有兩票贊成一票反對，但是 優(yōu)于 只有一票贊成兩票反對。因此，按簡單多數(shù)原則得到的結果是不傳遞的，即 優(yōu)于 ， 優(yōu)于 ，但 卻不優(yōu)于 。這就是十八世紀末由Condorcet揭示的選舉問題中的"多數(shù)悖

5、論"，稱為Condorcet現(xiàn)象，或Condorcet效應。為了克服Condorcet 現(xiàn)象在選舉理論上造成的極大困擾，許多不同的群決策程序相繼提出，形成了社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)兩大類別。前者主要用于政治選舉問題，后者主要用于經(jīng)濟決策問題。當方案集為有限集時，社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)是完全等價的，只有當方案集為無限集時，社會福利函數(shù)才有別于社會選舉函數(shù)。社會選舉函數(shù)基于Condorcet倡議的簡單多數(shù)原理，并由Borda (1784)，Copeland (1951)，Nanson (1883)，Dodgson (1876)，Kemeny (1959)，Cook和Seiford

6、(1978)，F(xiàn)ishburn (1977)，Bernardo (1981), Miller (1983)，Shepsle和Weingast (1984)，Banks (1985)，Mckelvey (1986)，F(xiàn)eld 及其合作者(1987)，Hartley和Kilgour (1987)，Dutta (1988)，Zavist 和Tideman (1989) 等人圍繞著Condorcet現(xiàn)象從不同角度對社會選舉函數(shù)進行了改進和推廣。Black (1958) 和 Fishburn (1977) 以及Gehrlein (1983) 對早期的這些方法進行了總結，并從理論上作了詳細的比較性研究。社

7、會福利函數(shù)的概念由Bergson (1938) 提出，經(jīng)過Samuelson (1947)，Goodman- Markowits (1952) 的改進和發(fā)展，并由Arrow (1963) 加以創(chuàng)新和推廣。此后，Kirkwood (1972)，Bowman-Colantoni (1973)，Gibbard (1973)，Blin-Whinston (1974)，Satterthwaite (1975)，F(xiàn)arris-Sage (1975)，Parks (1976)，Pollak (1979)，Dyer-Sarin (1979)，Mackay (1980)，Bowers (1981)，Grethe

8、r-Plott (1982)，F(xiàn)ishburn (1983, 1987)，Nurmi (1987)，Merrill (1988)，Enelow-Hinich (1989) 等人在Arrow 的不可能性定理的基礎上，提出了各種各樣的改進方法。Luce-Raiffa (1957)，Rotheberg (1961)，Kelly (1978) 和Fishburn (1973, 1984, 1990) 對各種社會福利函數(shù)都有過精辟的論述。下面我們將扼要介紹社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)的基本理論和方法。12.1.2 社會選舉函數(shù)在社會選舉問題中，候選人集合是一個非空有限集合，記為A。設有n位選民參加投票，每

9、個人將按照自己的意愿對候選人進行排隊。對于任何兩個候選人x, yA，采用符號# (i：x >i y) 表示x優(yōu)于y的票數(shù)，則有# (i：x >i y) + # (i：y >i x) = n, xy。那么簡單多數(shù)原則可以被定義為：x > y 當且僅當 # (i：x >i y) > # (i：y >i x)如果 # (i：x >i y) = # (i：y >i x)，則認為x與y無差異。Condorcet認為，在簡單多數(shù)原則下，如果存在某一個候選人能夠擊敗所有的對手，則該候選人必然是最能代表大多數(shù)選民意愿的選舉結果。換言之，Condorcet原

10、則被定義為：2112.1 選舉函數(shù)和福利函數(shù)x = x* 當且僅當xA, x > y, yAx但是，當選舉結果出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象時，不存在以簡單多數(shù)勝出的候選人。為此，許多學者對上述簡單多數(shù)原則進行了推廣，并由此產(chǎn)生了多種多樣的社會選舉函數(shù)。現(xiàn)選擇其中有代表性的幾種社會選舉函數(shù)分別介紹如下。(1) Condorcet函數(shù)當簡單多數(shù)勝出的候選人不存在時，Condorcet提議采用下面的方法。設則候選人的優(yōu)先順序將按照函數(shù)fC (x)的值來排列。這里，fC (x)的值表示x與其它候選人比較時所處的最不利情形。因此，fC (x)是一個極大極小型的保守函數(shù)。(2) Borda函數(shù)在包含m個候選人的選舉

11、問題中，Borda提議對每一個候選人依據(jù)其排序名次分別記分，稱為Borda分。記分原則是排在第一位得m 1分，第二位得m 2分，這樣依次遞減，直到最后一位得0分。候選人的最終排名取決于Borda總分的高低，其數(shù)學表示式為(3) CookSeiford函數(shù)Cook和Seiford引進了距離函數(shù)d以度量排序的不一致性，并將總距離最小的排序方式定義為一致性排序。設rij表示選民i對候選人j的排序結果，令rj*表示候選人j的一致性排序結果，那么選民i排序的不一致性可以表示為故排序的總偏差為因為rj*只能等于序數(shù)1, 2, , m中的某一個，設rj* = k，則可定義從而假定每個候選人都有m個不同的k值

12、，則一共要計算m×m個距離系數(shù)djk , j, k = 1,2,m。顯然，尋找使總距離最小的一致性排序問題等價于求解一個m×m的分配問題。限于本教材的撰寫目的和篇幅，其它社會選舉函數(shù)不再一一列舉，有興趣的讀者可參閱書后所列的參考文獻。例12.1 假設某班級60位學生擬從3名任課教師中評選1名優(yōu)秀教師，投票結果為：23票：a > b > c17票：b > c > a 2票：b > a > c10票：c > a > b 8票：c > b > a(1) Condorcet函數(shù)：兩兩比較結果為# (i：a >i b)

13、 = 33，# (i：b >i a) = 27，# (i：a >i c) = 25，# (i：c >i a) = 35，# (i：b >i c) = 42，# (i：c >i b) = 18。顯然，這里不存在能以簡單多數(shù)勝出的候選人。采用Condorcet函數(shù)的計算結果可表示為如下矩陣形式：abcfC a332525b274227c351818結論：b > a > c。(2) Borda函數(shù)：abcfB a332558b274269c351853結論：b > a > c。(3) CookSeiford函數(shù)：已知i = 1,2,60，j =

14、a, b, c，k = 1, 2, 3類似地，可算出：以上距離系數(shù)被總結在下面的矩陣表中： kj123a624858b512969c674353這是一個使總偏差達到最小的分配問題，其求解過程為：62485814010000512969220408030674353240101000結論：a > b > c。12.1.3 社會福利函數(shù)福利經(jīng)濟學是西方的一種經(jīng)濟學派，主要研究社會資源和商品的分配理論與方法，旨在發(fā)現(xiàn)某種合理的社會結構，以使由資源和商品產(chǎn)生的社會福利達到最大。福利經(jīng)濟學家從社會福利的觀點去評價各種可能的社會結構，并用一個反映社會狀況的實值函數(shù) 福利函數(shù)去度量和判斷每種社會

15、結構的優(yōu)劣。早期的社會選舉函數(shù)和社會福利函數(shù)對候選人或事所處狀態(tài)的描述采用的都是序數(shù)型變量，即排序比較方法。針對這種情形，Arrow提出了滿足一致性要求的兩條公理和五項條件，并在此基礎上證明了著名的Arrow不可能性定理，即在一般情形下不可能找到一種程序或方法將所有社會成員的個人偏好集成為整個社會的群體偏好而不違背一致性原則。為此，其它學者作出了種種假設，旨在將序數(shù)型的社會福利函數(shù)改寫成基數(shù)型的效用函數(shù)，從而發(fā)展為現(xiàn)代的多屬性群決策理論與方法。在介紹Arrow的不可能性定理之前，我們先引進二元關系和社會福利函數(shù)的定義與性質：定義12. 1 集合A上的一個二元關系R是域A×A上的一個子

16、集，定義為 A上全部有序對 (x, y) 的集合，記作x R y，并用符號 , 和 分別表示x, y之間的強序關系，弱序關系和無差異關系，記作x y，x y和x y。定義12. 2 設R是集合A上的一個二元函數(shù)。則：(1) R是自反的當且僅當：x R x, xA。(2) R是連通的當且僅當：。式中是邏輯"或"的符號，即對于集合A中的任何x, y不是x R y，就是y R x。(3) R是不循環(huán)的當且僅當：不存在 ，使得式中是邏輯"與"的符號。(4) R是可傳遞的當且僅當：，即如果，而且y R z，則x R z。(5) R是一個弱序關系當且僅當：R是連通的

17、和可傳遞的。定義12. 3 設有一組方案 和決策群體D = (D1, D2, , Dm)。社會福利函數(shù)f是將決策者個人在方案集A上的獨立序關系合成為決策群體D在A上的總序關系R的法則，亦即f是從積空間R m到空間R的一個映射，記為, 或 定義12. 4 對于A中的任意方案x, y，當決策者Di認為x i y, x i y和x i y時，分別記 R i = 1, 0 和1。則由社會福利函數(shù) f 確定的群決策法則具有以下性質：(1) 可決策性：；(2) 公正性：；(3) 平等性：如果是1,m上的任一排列，則 (4) 正相關性：；(5) 均分性：對于任意正整數(shù) m，；(6) 弱Pareto最優(yōu)性：；

18、(7) 強Pareto最優(yōu)性：如果中的某些值等于1，而其它值等于0，則 如果中的全部值等于0，則。對定義10.4中的有關性質可作如下解釋，(1) 可決策性：指由社會福利函數(shù)產(chǎn)生的群決策法則對于選民的每一種選擇意向都應該能得到一個有意義的、唯一的決策結果。(2) 公正性：如果所有的人都改變原來的選擇意向，則原決策的結果將會被推翻，其作用是防止任何候選人或候選方案被外部勢力內(nèi)定為決策的必然結果。(3) 平等性：避免某一個決策成員享有高于其它決策成員的權力，體現(xiàn)了一人一票的選舉原則。(4) 正相關性：如果一個或幾個決策成員的選擇意向朝著對方案x有利的方面轉化，而對其它方案的選擇意向保持不變，則方案x

19、所處的選舉地位只會變好，不會變差。(5) 均分性：當某一個決策者認為方案x和方案y無差異時，可設想該決策者被一分為二，其中的半個人投票贊成x，另外半個人投票贊成y。如果有多個方案被認為無差異時，也可用類似的方式進行處理。(6) Pareto最優(yōu)性(也稱為全體一致性)：當所有的人都選擇x時，則x勝，當所有的人都選擇y時，則y勝。容易想見，滿足上述定義的社會福利函數(shù)很多，有些是可以接受的，有些是不能接受的。Arrow 在群決策理論上的重大貢獻之一是為社會福利函數(shù)規(guī)定了一組看起來非?？尚诺墓砗蜅l件，從而導出了群決策理論上著名的"不可能性定理"。它們是：公理1 連通性：設有方案集

20、 和決策群 ，決策者對于A中任意方案的偏好，不是，就是，或者。公理2 傳遞性：對于方案集中的任意方案，如果決策者認為，則必有。條件1 (完備性) 方案集A中至少有三個方案，決策群D中至少有二個決策人，由社會福利函數(shù)產(chǎn)生的群決策法則必須考慮每一個決策者的選擇意愿。條件2 (正相關性) 如果社會福利函數(shù)f給出x優(yōu)于y的結果，則當決策者對x以外的方案進行兩兩比較的結果不變，且對x與其它方案之間的比較結果對x而言沒有任何不利時，社會福利函數(shù)的結果將維持不變。條件3 (無關方案獨立性) 設A 為方案集A中的一個子集，如果每一個決策者都保持對A 中方案兩兩比較的結果不變，而只改變A 以外方案的比較結果，則

21、對A 中的方案來說，兩種情況下的決策次序是一樣的。條件4 (Pareto 最優(yōu)性) 對于A中的任意方案，必須有某些決策者認為優(yōu)于時，才有可能導致群體的選擇結果是優(yōu)于。條件5 (非獨裁性) 對于A中的任意方案，沒有任何一個決策者可以為群體指定一個優(yōu)劣次序，或者，而不管其它決策者的意見如何。定理12. 1 沒有任何一個社會福利函數(shù) 能同時滿足上面的兩條公理和五個條件。在Arrow之后，許多其它形式的不可能性定理相繼提出。其中最有代表性的幾種形式是：Mass-Colell和Sonnenschein (1972), Gibbard (1973) 和Satterthwaite (1975), Parks

22、 (1976) 和Pollak (1979) 以及Grether和Plott (1982)。每一條不可能性定理的后面都伴隨著相應的可能性定理和一系列相互可比的條件，這些條件都是通過松弛或弱化Arrow 定理中的一個或多個條件以達成一致而得到的。感興趣的讀者可以查閱后面的參考文獻或Kelly(1978) 和Fishburn (1987) 對此所作的精辟論述。社會福利函數(shù)之所以不能同時滿足Arrow定義的兩條公理和五個條件，有原理和方法兩方面的原因。從條件本身來說，Goodman和Markowitz(1952) 曾用下面的例子說明了Arrow條件的局限性。設主人擬用茶或咖啡中的一種同時招待兩位客人

23、，如果主人只知道客人甲對咖啡的喜好勝于茶，而客人乙對茶的喜好勝于咖啡，則主人會認為以茶或咖啡待客是沒有區(qū)別的。但如果主人還進一步知道甲的喜好是咖啡勝于茶，茶勝于可可，可可勝于牛奶；但乙的喜好是不僅茶勝于咖啡，而且可可、牛奶甚至白水都勝于咖啡。在這種情況下，主人要招待這兩位客人顯然是以茶為好。這說明表面上看起來似乎無關的方案(在此為可可、牛奶和白水)對于群決策的集成法則并不是完全無關的，因而Arrow 定義的條件3 對社會福利函數(shù)而言并非絕對適當。同時，F(xiàn)ishburn (1970) 已經(jīng)證明，當問題的決策集是無限集合時，Arrow 定義的五個條件將可以被滿足。這里，決策集有限和無限的差別在于，

24、原不可能性定理中獨裁者的角色可以從幕前轉到幕后。從方法上來看，序數(shù)型的社會福利函數(shù)僅僅給出了個人和群體對不同方案的偏好順序，但忽略了他們對不同方案的偏愛程度，因而缺乏對事物的分辨力。以Goodman和Markowitz的例子來說，如果客人甲和乙各自對咖啡和茶的喜愛程度可以被量化，即用某種統(tǒng)一的尺度去衡量的話，譬如甲對咖啡的喜愛是8個單位，對茶的喜愛是6個單位，而乙對茶的喜愛是10個單位，對咖啡的喜愛是2個單位，則主人不難決定待客的飲料以茶為宜。這樣得到的社會福利函數(shù)被稱為基數(shù)型的社會福利函數(shù)。只要經(jīng)過簡單的變換，基數(shù)型的社會福利函數(shù)很容易轉化成所謂的的效用函數(shù)。容易證明，在個人效用函數(shù)基礎上建

25、立的群效用函數(shù)可以滿足Arrow 提出的全部條件和公理。12. 2 群效用函數(shù)基于群效用函數(shù)作出的決策并不是一種簡單的多數(shù)規(guī)則，它包含了更多個人效用的信息和人與人之間的效用的比較。群效用函數(shù)的一般形式為：式中代表第i個決策者對方案x的個人效用函數(shù)值。如果群效用函數(shù)為已知，則群決策問題就可以寫成下面的數(shù)學規(guī)劃問題：為了便于構造群效用函數(shù)，Keeney和Raiffa(1976)為群效用函數(shù)的存在提出了某些必要的條件，并在此基礎上定義了群效用函數(shù)的加法模型和乘法模型。現(xiàn)將這兩種模型分別介紹如下：(1) 加法模型條件1 個人效用函數(shù)和群效用函數(shù)均應滿足關于效用的Neumann-Morgenstern

26、公理系統(tǒng)，即方案集A上的二元關系是完備的、傳遞的、獨立的、和連續(xù)的。條件2 如果群中每個決策成員都認為某兩個方案是無差異的，則決策群也認為這兩個方案是無差異的。條件3 個人效用函數(shù)的效用值是獨立可加的。定理12. 2 滿足上述條件的群效用函數(shù)可以表示為：式中是群中第i個成員的個人效用函數(shù)，而是的權值。(2) 乘法模型條件1 個人效用函數(shù)和群效用函數(shù)均應滿足關于效用的Neumann-Morgenstern 公理系統(tǒng)，即方案集A上的二元關系是完備的、傳遞的、獨立的、和連續(xù)的。條件2 如果群中所有的決策成員除第i個成員外都認為所有方案無差異，則群效用函數(shù)是第i個個人效用函數(shù)的正線性變換。換言之，此時

27、的群偏好等價于第i個成員的偏好。條件3 如果群中所有的決策成員除第i個和第j個成員外都認為所有方案無差異，則決策群體對這些方案的偏好僅取決于第i和第j個成員的偏好。定理12. 3 滿足上述條件的群效用函數(shù)可以表示為：式中為標度常數(shù)，, i = 1,2,m。Keeney(1974)已經(jīng)證明：當時，群效用函數(shù)應采用加法模型；當時，群效用函數(shù)應采用乘法模型。群效用函數(shù)的存在性表明，可以由群中每個成員的偏好形成整個群體的偏好，并根據(jù)群體的偏好排列方案的順序。這為解決群決策問題提供了重要的理論基礎。但在實際決策中，直接構造群效用函數(shù)有諸多不便，故很少應用。我們在下一節(jié)將介紹如何將已經(jīng)學習過的多屬性決策方

28、法移植過來，用以解決群決策問題。12.3 多屬性群決策方法在前面討論的群決策模式中，事物的屬性并沒有以外在的形式表現(xiàn)出來。群效用函數(shù)的集成對象是所有個人效用函數(shù)的效用值，但個人效用的獲取過程并沒有涉及。這里，我們將在本書第九章的基礎上，介紹有多個決策者存在時多屬性決策問題的解決方法。設有方案集A = A1, A2, , Am和決策群體D = D1, D2, ., Dn。每一位決策者將依據(jù)自己選定的一組屬性C = C1, C2,Cl 對每一個方案獨立地進行評價，并用權向量w = w1, w2, wl 表示各屬性的重要程度，符合歸一化條件w1 + w2 + + wn = 1。不同決策者考察的屬性及

29、采用的權值可以相同，也可以不同。其決策模式寫為： C1 C2 - Cl 與多屬性決策一樣，決策者采用的評價方式有序數(shù)型和基數(shù)型兩種：前者只給出每一屬性上各方案的排列順序；后者則度量各方案每一屬上的實際水平，并以數(shù)值形式表明其結果。不同之處在于多屬性決策的決策矩陣是唯一的，它反映了決策者對多個屬性的偏好結構；而群決策的決策矩陣有許多個，分別代表了不同決策者的決策意愿，其偏好結構互不相同，但都應受到尊重，不能厚此薄彼，或有所偏廢。為了使問題簡化，假定個人效用函數(shù)的效用值是獨立可加的。那么，求解群決策問題的關鍵在于：(1) 如何表示每一位決策者的個人優(yōu)先關系；(2) 如何將個人優(yōu)先關系合成為群優(yōu)先關

30、系；(3) 是先合成、后評價，還是先評價、后合成？這里，前者是先將不同決策者就方案屬性作出的評價綜合到一起，然后選用已知的多屬性決策方法統(tǒng)一求解，其實質是將一個群決策問題整體轉化為一個獨裁決策問題，它要求所有的決策者采用相同的屬性和屬性權值以方便合成；后者是由每一位決策者先按照自己的意愿分別對相應的多屬性決策問題進行求解，其結果歸結為社會選舉問題，然后采用本章討論的社會選舉函數(shù)作出最終的選擇，其實質是將一個群決策問題分解成若干個獨裁決策問題，該方法對不同決策者考察的屬性和采用的屬性權值不強求一致。綜上所述，求解一個效用值獨立可加的群決策問題，關鍵在于怎樣合成和什么時候合成。因為涉及兩種數(shù)據(jù)結構

31、(序數(shù)型和基數(shù)型)和兩種合成順序(先合成和后合成)，兩兩組合共有四種不同的決策程序，現(xiàn)通過實例分別介紹如下。例12. 2 NASA為宇宙飛船的科學實驗擬定了六個可能的實驗方案，它們分別是：通訊與航行實驗(A1)，地面觀測實驗(A2)，物理化學實驗(A3)，微生物實驗(A4)，系統(tǒng)檢測實驗(A5) 和環(huán)境效應實驗(A6)。對每一實驗都要從需要性(C1)、研究性(C2)和發(fā)展性(C3)三個方面進行評價。NASA組織了六位專家(D1, D2, D3, D4, D5, D6)對方案實施考察，后因實驗時間和條件的限制，通訊航行實驗的方案被先行淘汰而退出了選擇程序。其評定結果為：D1C1C2C3D2C1C

32、2C3D3C1C2C3A2533A2344A2344A3212A3221A3112A4344A4535A4535A5455A5452A5451A6121A6113A6223D4C1C2C3D5C1C2C3D6C1C2C3A2413A2444A2155A3231A3122A3312A4545A4555A4544A5324A5332A5433A6152A6213A6221顯然，這是一個序數(shù)型的多屬性群決策問題，下面是兩種不同的決策程序。(1) 先綜合意見，后統(tǒng)一求解對于被考察的每一種屬性Cj，j = 1,2,l，我們有以下序列矩陣其中矩陣元素1,2,n表示決策者k對方案Ai在屬性 j上所排的名次。

33、采用任何一種社會選舉方法，如Borda方法，可確定各方案關于屬性j 的優(yōu)劣次序。本例中，屬性C1的序列矩陣為：C1D1D2D3D4D5D6A2533441A3221213A4355555A5444334A6112122現(xiàn)采用Borda記分法求解，令排名第一至第五位的分值分別為4, 3, 2, 1, 0，可得分值矩陣C1D1D2D3D4D5D6C1DA2022114A210A3334342A319A4200000A42A5111221A58A6443433A621故各方案關于屬性C1的優(yōu)劣次序為：。類似地，可求得各方案關于屬性C2和C3的優(yōu)劣次序分別為：，。故各方案的綜合序列矩陣為：C1C2C3

34、A2334A3211A454.55A544.53A6122矩陣中的分值4.5表示方案4和方案5在屬性C2上并列第四和第五的位置。然后計算加權的一致性矩陣，式中當方案排在第j位時，；否則。從而有： ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w1+w2w30A3w2+w3w1000A40000.5w2w1+0.5w2+w3A500w3w1+0.5w20.5w2A6w1w1+w2000設w = (0.2, 0.3, 0.5)，則 ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A2000.50.50A30.80.2000A40000.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000采用

35、匈牙利方法可解得其最大分配為： ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.50.50A30.80.2000A40000.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000結論：A3 > A6 > A5 > A2 > A4。(2) 先個別求解，后綜合決策每一位決策者Dk 將采用自己選定的考察屬性(C1,C2,Clk )和屬性權值 (w1,w2,wlk )對方案進行獨立評價。本例中考察屬性已被確定為(C1,C2,C3)，但權向量可以自由設計。設決策者D1選用的權向量為w1 = (0.2, 0.3, 0.5)，則其個人的序列矩陣、加權一致性矩陣和排序結果分別

36、為：D1C1C2C3A2533A3212A4344A5455A6121 ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w2+w30w1A3w2w1+w3000A400w1w2+w30A5000w1w2+w3A6w1+w3w2000 ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.800.2A30.30.7000A4000.20.80A50000.20.8A60.70.3000故決策者D1的排序結果為：A6 > A3 > A2 > A4 > A5。類似地，我們有D2：w2 = (0.3, 0.3, 0.4) A6 > A3 > A2 > A5 >

37、A4 或 A6 > A3 > A4 > A2 > A5。D3：w3 = (0.2, 0.4, 0.4) A3 > A6 > A4 > A2 > A5D4：w4 = (0.3, 0.4, 0.3) A2 > A5 > A3 > A4 > A6D5：w5 = (1/3, 1/3, 1/3) A3 > A6 > A5 > A2 > A4D6：w6 = (0.3, 0.2, 0.5) A6 > A3 > A5 > A4 > A2因為決策者D2 給出了兩個不同的排隊順序，故分別綜合如下

38、(a) 故方案的排列順序為：A3 > A6 > A2 > A5> A4。(b) 故方案的排列順序為：A3 > A6 > A2 > A4 A5。例12. 3 某專家組正負責優(yōu)秀論文的審評與選拔工作。該專家組由三位專家組成，記為D1, D2, D3，待審的論文為五篇，記為A1, A2, A3, A4, A5。評選工作分兩步進行：第一步由每一位專家對論文獨立考核，考核指標為理論價值、實用價值和難易程度三個方面，記為C1, C2, C3，其相對重要性商定為0.4, 0.4, 0.2?？己私Y果以計分的形式(而不是以排序的形式)給出。計分標準為10分制：非常好計1

39、0分，優(yōu)秀計9分，良好計7分，一般計5分，較差計3分，很差計1分，非常差計0分。第二步由專家組集中各位專家的意見，以形成最后的決議。專家的計分結果如下表所示：D1C1C2C3D2C1C2C3D3C1C2C3A1579A1559A1777A27107A2977A29105A3753A3535A3535A4355A4157A4559A5997A5975A5977規(guī)范方式為：規(guī)范矩陣為：D1C1C2C3D2C1C2C3A10.34260.41830.6167A10.34260.39900.5947A20.47960.59760.4796A20.61670.55870.4626A30.47960.29

40、880.2056A30.34260.23940.3304A40.20560.29880.3426A40.06850.39900.4626A50.61670.53780.4796A50.61670.55870.3304D3C1C2C3A10.43330.45960.4626A20.55710.65650.3304A30.30950.19690.3304A40.30950.32830.5947A50.55710.45960.4626(1) 先綜合意見，后統(tǒng)一求解首先計算綜合的規(guī)范性決策矩陣：其結果為DC1C2C3A10.37280.42560.5580A20.55110.60420.4927A30

41、.37720.24500.2888A40.19450.34200.4666A50.59680.51870.4242然后計算加權的規(guī)范性決策矩陣：D = dij = wjdij，w = (0.4, 0.4, 0.2)，其結果為 DC1C2C3A10.14910.17020.1116A20.22040.24170.0985A30.15080.09800.0578A40.07780.13680.0933A50.23870.20750.08481簡單加權平均法： DC1C2C3A10.14910.17020.11160.4309A20.22040.24170.09850.5606A30.15080.0

42、9800.05780.3066A40.07780.13680.09330.3079A50.23870.20750.08480.5310結論：A2 > A5 > A1 > A4 > A3。2折衷算法：理想解： A+ = () = (0.2390, 0.2417, 0.1116)；反理想解：A= () = (0.0778, 0.0980, 0.0578)；與理想解距離：= (0.1149, 0.0228, 0.1770, 0.1932, 0.0434)；與反理想解距離：= (0.1149, 0.2065, 0.0730, 0.0526, 0.1965)；綜合效用值：= (0

43、.5000, 0.9005, 0.2920, 0.2140, 0.8191)。結論：A2 > A5 > A1 > A3 > A4。(2) 先個別求解，后綜合決策1簡單加權平均法：首先由每位專家獨立評價，其中對D1而言，其評價過程為D1C1(0.4)C2(0.4)C3(0.2)A10.34260.41830.61670.4277A20.47960.59760.47960.5268A30.47960.29880.20560.3525A40.20560.29880.34260.2703A50.61670.53780.47960.5577 D1：A5 > A2 >

44、A1 > A3 > A4類似地，可以求出D2：A2 > A5 > A1 > A3 > A4D3：A2 > A5 > A1 > A4 > A3然后采用社會選舉方法，如Borda方法，求出專家組綜合排序結果。其過程為DD1D2D3A12226A234411A31102A40011A543310結論：A2 > A5 > A1 > A3 > A42折衷算法：專家D1的加權規(guī)范矩陣及評價過程為D1C1C2C3A10.13700.16730.1233A20.19180.23900.0959A30.19180.11950.0

45、411A40.08220.11950.0685A50.24670.21510.0959理想解： A+ = (0.2467, 0.2390, 0.1233)；反理想解：A= (0.0822, 0.1195, 0.0411)；與理想解距離：= (0.1311, 0.0584, 0.1551, 0.2106, 0.0364)；與反理想解距離：= (0.1097, 0.1711, 0.1096, 0.0274, 0.1980)；綜合效用值：= (0.4556, 0.7455, 0.4140, 0.1151, 0.8447)。D1：A5 > A2 > A1 > A3 > A4。類似地，可以求出專家D2和D3的排序結果為：D2：A2 > A5 > A1 > A3 > A4；D3：A2 > A5 > A1 > A4 > A3。然后采用Borda的記分法綜合三位專家的意見，其決策過程為：DD1D2D3A12226A234411A31102A40011A543310故導致結論：A2 > A5 > A1 > A3 > A4。顯然，上述