2022年2022年初一數(shù)學(xué)競賽教程含例題練習(xí)及答案⑺

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,細(xì)心整編吐血舉薦、 如如有用請打賞支持,感謝不盡！初一數(shù)學(xué)競賽講座第 7 講立體圖形空間形體的想象才能為學(xué)校生的一種重要的數(shù)學(xué)才能,而立體圖形的學(xué)習(xí)對培育這種才能非常有效；我們雖然在課本上已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡潔的立體圖形,如正方體.長方體.圓柱體.圓錐體, 但有關(guān)立體圖形的概念仍需要深化,空間想象才能仍需要提高；將空間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成平面的位置關(guān)系來處理,為解決立體圖形問題的一種常用思路；一.立體圖形的表面積和體積運(yùn)算2例 1 一個圓柱形的玻璃杯中盛有水,水面高2.5cm,玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積為72cm,在這個杯中放進(jìn)棱長 6cm的正方體鐵塊后,水

2、面沒有埋沒鐵塊,這時水面高多少厘米？解：水的體積為72×2.5=180 （cm3 ）,放入鐵塊后可以將水看做為底面積為72-6 × 6=32（ cm2）的柱體,所以它的高為180÷32=5（cm）；例 2 下圖表示一個正方體,它的棱長為 4cm,在它的上下.前后.左右的正中位置各挖去一個棱長為 1cm的正方體,問：此圖的表面積為多少？分析：正方體有6 個面,而每個面中間有一個正方形的孔,在運(yùn)算時要減去小正方形的面積；各面又挖去一個小正方體,這時要考慮兩頭小正方體為否接通,這與表面積有關(guān)系；由于大正方體的棱長為4cm,而小正方體的棱長為 1cm,所以沒有接通；每個小

3、正方體孔共有5 個面,在運(yùn)算表面積時都要考慮；解：大正方體每個面的面積為4×4-1 × 1=15（ cm2）,6 個面的面積和為15×6=90（cm2）；小正方體的每個面的面積為1×1=1（cm2）,5 個面的面積和為1× 5=5（cm2）,6 個小正方體孔的表面積之和為5×6=30（cm2）,因此所求的表面積為9030=120（cm2）；想一想,當(dāng)挖去的小正方體的棱長為2cm時,表面積為多少？請同學(xué)們把它運(yùn)算出來；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 3 正方體的每一條棱長為一個一位數(shù),表面的每個正方形面積為一個兩位數(shù),

4、整個表面積為一個三位數(shù)；而且如將正方形面積的兩位數(shù)中兩個數(shù)碼調(diào)過來就恰好為三位數(shù)的十位與個位上的數(shù)碼；求這個正方體的體積；解：依據(jù)“正方體的每一條棱長為一個一位數(shù),表面的每個正方形面積為一個兩位數(shù),整個表面積為一個三位數(shù)”的條件,可知正方體的棱長有5, 6, 7, 8,9 這五種可能性；依據(jù)“將正方形面積的兩位數(shù)中兩個數(shù)碼調(diào)過來恰好為三位數(shù)的十位上與個位上的數(shù)碼”,可知這個正方體的棱長為 7；如右表：因此這個正方體的體積為7× 7× 7=343；例 4 一個長.寬和高分別為21cm,15cm和 12cm的長方體,現(xiàn)從它的上面盡可能大地切下一個正方體,然后從剩余的部分再盡可能

5、大地切下一個正方體,最終再從其次次剩余的部分盡可能大地 切下一個正方體,剩下的體積為多少立方厘米？解：依據(jù)長方體的長.寬和高分別為21cm,15cm和 12cm的條件,可知第一次切下盡可能大的正方體的棱長為12cm,其體積為12×12× 12=1728（ cm3） ；這時剩余立體圖形的底面外形如圖1,其高為 12cm；這樣,其次次切下盡可能大的正方體的棱長為 9cm,其體積為9×9×9=729（cm3）；這時剩余立體圖形可分割為兩部分：一部分的底面外形如圖2,高為 12cm；另一部分的底面形 狀如圖 3,高為 3cm；這樣,第三次切下盡可能大的正方體的棱

6、長為6cm,其體積為 6×6×6=216（cm3）；因此,剩下的體積為21×15×12- （ 123 9363）=3780-2673=1107（cm3）；說明：假如手頭有一個泥塑的長方體和小刀,那么做出這道題并不難；但實際上,我們并沒有依靠于詳細(xì)的模型和工具,這就為想象力的作用；我們正為在原有感性體會的基礎(chǔ)上,想象出切割后立體的外形,并通過它們各個側(cè)面的外形和大小表示出來；因此,對一個立體圖形,應(yīng)當(dāng)盡可能地想到它的原型；例 5 右圖為一個長27cm,寬 8cm,高 8cm的長方體；現(xiàn)將它分為4 部分,然后將這4 部分重新組拼,能重組為一個棱長為12cm的

7、正方體；請問該怎么分？解：重組成的正方體的棱長為12cm,而已知長方精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載體的寬為 8cm,所以要把寬增加4cm,為此可按右圖1 中的粗線分開,分開重組成圖 2 的外形；圖2 的高為 8cm,也應(yīng)增加 4cm,為此可按圖2 中的虛 線分開,分開后重組成圖3 的外形； 圖 3 就為所組成的棱長為12cm的正方體；說明：這里有一個樸實的思想,就 為設(shè)法把不足12cm的寬和高補(bǔ)成12cm 的棱長,同時依據(jù)某種對稱的方式分割；在解關(guān)于立體圖形的問題時,需要有較豐富的想象力,要能把平面圖形在頭腦中“立”起來,另外仍應(yīng)有肯定的作圖本事和看圖才能；例 6 雨嘩嘩地不停

8、地下著,如在雨地里放一個如右圖那樣的長方體的容器（單位：厘米）,雨水將它下滿要用1 時；有以下（ 1）（ 5）不同的容器,雨水下滿各需多長時間？解：依據(jù)題意知雨勻稱地下,即單位面積內(nèi)的降雨量相同；所以雨水下滿某容器所需的時間與該容器的容積和接水面（放開部分）的面積之比有關(guān)；由于在例圖所示容器中：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載需 1 時接滿,所以二.立體圖形的側(cè)面綻開圖例 7 右圖為一個立體圖形的側(cè)面綻開圖（單位： cm）,求這個立體圖形的表面積和體積；解：這個立體圖形為一個圓柱的 四分之一（如右上圖）,圓柱的底面 半徑為 10cm,高為 8cm；它的表面積為例 8 右圖為一個正

9、方體,四邊形 apqc表示用平面截正方體的截面；請在右下方的綻開圖中畫出四邊形 apqc的四條邊；解：把空間圖形表面的線條畫在平面綻開圖上,只要抓住四邊形apqc四個頂點所在的位置這個關(guān)鍵,再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在 的平面就可簡潔地畫出；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）考慮到綻開圖上有六個頂點沒有標(biāo)出,可想象將綻開圖折成立體形,并在頂點上標(biāo)出對應(yīng)的符號,見右圖；（2）依據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置,確定其頂點所在的點和棱,以及四條邊所在的平面：頂點：a a,cc,p 在 ef邊上,q在 gf邊上；邊 ac在 abcd面上,ap在 abfe面上,qc在 bcgf面上,

10、pq在 efgh面上；（3）將上面確定的位置標(biāo)在綻開圖上,并在對應(yīng)平面上連線；需要留意的為,立體圖上的a,c點在綻開圖上有三個,b, d點在綻開圖上有二個,所以在標(biāo)點連線時必需留意連線所在的平面；連好線的圖形如右上圖；例 9 如右圖所示,剪一塊硬紙片可以做成一個多面體的紙模型（沿虛線折,沿實線粘）；這個多面體的面數(shù).頂點數(shù)和棱數(shù)的總和為多少？解：從綻開圖可以看出,粘合后的多面體有 12 個正方形和8 個三角形,共20 個面；這個多面體上部的中間為一個正三角形,這個正三角形的三邊與三個正方形相連,這樣上部共有9 個頂點,下部也一樣；因此,多面體的頂點總數(shù)為 9 ×2=18（個）；在 2

11、0 個面的邊中,虛線有19 條,實線有34 條；由于每條虛線表示一條棱,兩條實線表示一條棱,所以多面體的總棱數(shù)為1934÷ 2=36（條）；綜上所述,多面體的面數(shù).頂點數(shù)和棱數(shù)之和為20+18 3674；說明：數(shù)學(xué)家歐拉曾給出一個公式：vf-e2；公式中的v 表示頂點數(shù), e 表示棱數(shù), f 表示面數(shù)；依據(jù)歐拉公式,知道上例多面體的面數(shù)和頂點數(shù)之后,棱數(shù)便可求得：e=vf-2=20 18-2=36（條）；三.立體圖形的截面與投影例 10 用一個平面去截一個正方體,可以得到幾邊形？ 解：如下圖,可得到三角形.四邊形.五邊形和六邊形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 11

12、 一個棱長為6cm的正方體,把它切開成49 個小正方體；小正方體的大小不必都相同,而小正方體的棱長以厘米作單位必需為整數(shù)；問：可切出幾種不同尺寸的正方體？每種正方體的個數(shù) 各為多少？解： 13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216；假如能切出1 個棱長為 5cm的正方體,那么其余的只能為棱長為1cm的正體體,共切出小正方體： 1（ 63-5 3）÷ 1=92（個）；由于 92 49,所以不行能切出棱長為5cm的正方體；假如能切出1 個棱長為 4cm的正方體,那么其余的只能為棱長為1cm或 2cm的正方體；設(shè)切出棱長為 1cm的正方體有a 個,切出棱長為2c

13、m的正方體有b 個,就有設(shè)切出棱長為1cm的正方體有 a 個,棱長為2cm的正方體有b 個,棱長為 3cm的正方體有c 個,就解之得 a=36,b=9, c=4；所以可切出棱長分別為1cm, 2cm和 3cm的正方體,其個數(shù)依次為36,9 和 4；例 12 現(xiàn)有一個棱長為 1cm的正方體,一個長寬為 1cm高為 2cm的長方體,三個長寬為1cm高為3cm的長方體；右側(cè)圖形 為把這五個圖形合并成某 一立體圖形時,從上面. 前面.側(cè)面所看到的圖形；試?yán)孟旅嫒齻€圖形把合并成的立體圖形（如上圖）的樣子畫出來,并求出其表面積；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：立體圖形的外形如右圖所示；

14、從上面和下面看到的外形面積都為9cm2,共 18cm2；從兩個側(cè)面看到的外形面積都為7cm2,共 14cm2； 從前面和后面看到的外形面積都為6cm2,共 12cm2；隱匿著的面積有2cm2；一共有 1816 12246（ cm2）；練習(xí) 71一個長方體水箱,從里面量得長40cm,寬 30cm,深 35cm,里面的水深10cm；放進(jìn)一個棱長20cm的正方體鐵塊后,水面高多少厘米？2王師傅將木塊刨成橫截面如右圖（單位：cm）那樣 的高 40cm的一個棱柱；虛線把橫截面分成大小兩部分,較大的那部分的面積占整個底面的60；這個棱柱的體積為多 少立方厘米？3在底面為邊長60cm的正方形的一個長方體的容

15、器里,直立著一根高1m,底面為邊長15cm的正方形的四棱柱鐵棍；這時容器里的水半米深；現(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提起24cm,露出水面的四棱柱鐵棍浸濕部分長多少厘米？4以下各圖形中,有的為正方體的綻開圖,寫出這些圖形的編號；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5小玲有兩種不同外形的紙板,一種為正方形,一種為長方形；正方形紙板的總數(shù)與長方形紙 板的總數(shù)之比為12；她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒（如右圖）,正好將紙板用完；在小玲所做的紙盒中,豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比為多少？6請你在下面圖（ 2）中畫出 3 種和圖（1）不一樣的設(shè)計圖,使它們折起來后都成為下圖所示的長方形

16、盒子（直線段與各棱交于棱的中點）；7在桌面上擺有一些大小一樣的正方體木塊,從正南方向看如下左圖, 從正東方向看如下右圖,要擺出這樣的圖形至多用多少塊正方體木塊？至少需要多少塊正方體木塊？8有一個正方體,它的6 個面被分別涂上了不同的顏色,并且在每個面上至少貼有一張紙條；用不同的方法來擺放這個正方體,并從不同的角度拍下照片；（1）洗出照片后,把所拍照的面的顏色種類不同的照片全部選擇出來,最多可以選出多少張照片？（2）觀看（ 1）中選出的照片,發(fā)覺各張照片里的紙條數(shù)各不相同；問：整個正方體最少貼有多少張紙條？練習(xí) 7 答案115cm；解：如鐵塊完全浸入水中,就水面將提高精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

17、 - - 歡迎下載此時水面的高小于20cm,與鐵塊完全浸入水中沖突,所以鐵塊頂面仍舊高于水面；此時水深與容器底面積的乘積應(yīng)等于原有水量的體積與鐵塊浸入水中體積之和；設(shè)放進(jìn)鐵塊后,水深為xcm,就 40×30× x 40×30×10+20× 20×x,解得 x=15,即放進(jìn)鐵塊后,水深15cm；219200cm3；解得 x=16；這個棱柱的體積為 （ 12+24）× 16÷2 ÷60 ×4019200（ cm3）；325.6 cm ；解：容器里的水共有（60×60-15 ×15

18、）× 50168750（cm3）；當(dāng)把鐵棍提起24cm時,鐵棍仍浸在水中的部分的長為（168750-60× 60×24）÷（ 60×60-15 × 15）=24.4 （cm）,所以露出水面的浸濕部分長50-24.4=25.6 （cm） ；4（ 2）（ 3）（ 6）（ 8）（ 9）（ 12）（ 14）（ 16）（ 17）（ 19）（ 20）共 11 個；512；解：設(shè)一共做了 x 個豎式紙盒, y 個橫式紙盒；留意到這兩種紙盒都為無蓋的, x 個豎式紙盒共用 x 個正方形和 4x 個長方形紙板； y 個橫式紙盒共用 2y 個正方形和 3y 個長方形紙板；依據(jù)題意, 得 2（x+2y）=4x+3y,化簡為 2x=y,即 x y=12；6如下圖所示：7至少要 6 塊正方體木塊（左下圖）,至多需要20 塊正方體木塊（右下圖）；圖