2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題 共8小題，每小題5分, 一項(xiàng)。1 .已知復(fù)數(shù)2 i，則Z_z =（A. 3B.52 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的C. 3s值為（）A. 13 .已知直線B . 2X =13t ,l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，y =2 +4tB .-5C.C.4 .已知橢圓則點(diǎn)（1,0）到直線l的距離是（）2 2x2 2 =1(a b 0)的離心率為1，則()a b22 2 2 2a =2bB . 3a =4bC . a = 2b2 2B . 3a =4b3a = 4b5若兩顆星的星等與亮度滿足6 .在天文學(xué)

2、中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.5 E1m2 -m1lg -，其中星等為 mk的星的亮度為Ek =1,2）.已知太陽(yáng)的星等是-26.7，天狼星的2E2星等是-1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為（）10.1 A . 1010 1C . Ig10.1D . 10 7 .設(shè)點(diǎn)A , B , C不共線，則“ AB與AC的夾角為銳角”是“ |AB'AC|BC|”的（）A .充分而不必要條件B.必要而不充分條件B. 10.1x , y滿足| x|, 1 -y，且yT ,則3x y的最大值為（7C. 5C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件8 .數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線

3、，曲線C:x2 y2 =1 |x|y就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論： 曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）； 曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2 ; 曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3 .其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 （）C.D .二、填空題 共6小題，每小題5分，共30分。29 .函數(shù)f(x)=sin 2x的最小正周期是 .10 .設(shè)等差數(shù)列 佝的前n項(xiàng)和為Sn，若比二：，S =-10，則a5二，Sn的最小值為11 .某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為I，那么該幾何體的體積為以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)

4、論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.13 .設(shè)函數(shù)f(x)=ex ae'(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a= ;若f(x)是R上的增函數(shù), 則a的取值范圍是14 .李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依 次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到 120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80% . 當(dāng)x =10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； 在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，貝Ux的最大值

5、為.三、解答題 共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。115 . (13 分)在 ABC 中，a =3 , b -c =2 , cosB =2(I)求b , c的值；(n)求 sin(B -C)的值.16 . ( 14 分)如圖，在四棱錐 P -ABCD 中，PA平面 ABCD , AD CD , AD / /BC ,PA =AD =CD =2 , BC =3 . E 為 PD 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在 PC 上，且一PC 3(n)求二面角 F -AE -P的余弦值;AG是否在平面 AEF內(nèi)，說明理由.(I)求證：CD _平面 PAD ；17 . ( 13分)改革開放以來(lái)，人們

6、的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月 A , B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A , B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用 A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額(元) 支付方式(0 , 1000(1000, 2000大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(I)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取 1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月 A , B兩種支付方式都使用的概率；(n)從樣本僅使用 A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取 1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額 大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和

7、數(shù)學(xué)期望；A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查 3(川)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化現(xiàn)從樣本僅使用人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.218 . (14分)已知拋物線 C:x =-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1).(I)求拋物線 C的方程及其準(zhǔn)線方程；(n)設(shè)0為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為 0的直線I交拋物線C于兩點(diǎn)M , N，直線y - -1 分別交直線OM , ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B .求證：以 AB為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).119 . (13 分)已知函數(shù) f(x)x3 - x2 x .4(I

8、)求曲線y二f (x)的斜率為I的切線方程；(n)當(dāng) x，-2 , 4時(shí)，求證：x-6剟f (x) x ；(川)設(shè) F(x)=|f (x) -(xa)|( R)，記 F(x)在區(qū)間-2 ,4上的最大值為M(a)當(dāng) M(a)最小時(shí)，求a的值.20 . ( 13分)已知數(shù)列an,從中選取第h項(xiàng)、第i2項(xiàng)、第im項(xiàng)莒：i2二：-)，若<% G- <aim，則稱新數(shù)列耳1 , ai2 ,，為的長(zhǎng)度為m的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列的任意一項(xiàng)都是an的長(zhǎng)度為1的遞增子列.(I)寫出數(shù)列1 , 8, 3, 7, 5, 6 , 9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列;（n）已知數(shù)列an的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最

9、小值為am0，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為a% .若p : q，求證：am0 : a% ;（川）設(shè)無(wú)窮數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等若 an的長(zhǎng)度為s的遞增子列末 項(xiàng)的最小值為2s-1，且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s-1的遞增子列恰有2s -個(gè)（s =1，2，），求數(shù)列a.的 通項(xiàng)公式.2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題 共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求 的一項(xiàng)。1 已知復(fù)數(shù)2 i，則Z_z =（）A. 3B. 5C. 3D. 5【思路分析】直接由 z_z -| z |2求解.【解析】：'z =2 i ,

10、 zLz =|z|2=C2212）2 =5 .故選:D .【歸納與總結(jié)】本題考查復(fù)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.2 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）A . 1B . 2C . 3D . 4【思路分析】由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量s的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.【解析】：模擬程序的運(yùn)行，可得k =1 , s =1s =2不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，k = 2 , s =2不滿足條件k-3，執(zhí)行循環(huán)體，k=3 , s=2此時(shí)，滿足條件k-3，退出循環(huán)，輸出s的值為2.故選：B .以便得出正）【歸納與總結(jié)】 本題考查了程

11、序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程, 確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題.x =1 3t ,3 .已知直線I的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點(diǎn)（1,0）到直線I的距離是（y =2 十4t【思路分析】消參數(shù)t化參數(shù)方程為普通方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解.x =1 3t【解析】：由（t為參數(shù)），消去t，可得4x-3y '2=0.y =2 十4t則點(diǎn)（1,0）到直線1的距離是=42（；）2蔦故選：D .【歸納與總結(jié)】本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.y212 =1（a b 0）的離心率為，則（）b2C . a 二 2bb2 c2得答案.a2 -b212 =匚，a

12、 42xa2 2 2 2A. a =2bB. 3a=4b【思路分析】由橢圓離心率及隱含條件a2c 1c2 1【解析】：由題意，-，得與=丄，則a 2a4.4a -4b =a，即 3a =4b .故選：B .【歸納與總結(jié)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，熟記隱含條件是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.5 .若x , y滿足| x|, 1 y，且y1，則3x y的最大值為（）C . 54 .已知橢圓D. 3a = 4bA. 7【思路分析】由約束條件作出可行域，令 解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.4|x |, 1 -y【解析】：由作出可行域如圖,y1z=3x y，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)y - -1聯(lián)立“

13、 C，解得A(2,-1),K +y 1 =0令 z =3x y，化為 y - -3x z ,z有最大值為3 2 T = 5 .由圖可知，當(dāng)直線 y =-3x - z過點(diǎn)A時(shí), 故選：C .【歸納與總結(jié)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.6 .在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足5 E1m2 -m1lg 1，其中星等為 mk的星的亮度為E/k =1,2）.已知太陽(yáng)的星等是-26.7，天狼星的2 E2星等是-1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為（）10 1_10 1A . 10 .B . 10.1C . lg10.1D . 10 .

14、亠5E1【思路分析】把已知熟記代入m2 -m1lg 1 ,化簡(jiǎn)后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.2 E2【解析】：設(shè)太陽(yáng)的星等是 m! = -26.7，天狼星的星等是 m2二-1.45 ,5E1由題意可得：T.45-（_26.7）lg -,2 E2,Ei 50.5Ei10.1.lg -10.1，則一=10E25E2故選：A 【歸納與總結(jié)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.7 .設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“ AB與AC的夾角為銳角”是“ |AB，AC|的（）A 充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件與AC的夾角為銳角”，由此能求出結(jié)果.【解析】：點(diǎn)A , B

15、, C不共線，“ AB與AC的夾角為銳角”“ |AB AC | | BC |” 二.設(shè)點(diǎn)A , B , C不共線，故選：C .【思路分析】“ AB與AC的夾角為銳角” ="|AB AC|BC| AB AC | | BC | = “ AB一 “ |AB AC | |BC I”，“ AB與AC的夾角為銳角”，則“ AB與AC的夾角為銳角”是“|"AB ,1|”的充分必要條件.【歸納與總結(jié)】本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考查向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8 .數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C:x2 y2 =1 |x|y就是其中之一（

16、如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：2 ；3. 曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)） 曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過 曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 （）C.D .【思路分析】將x換成-x方程不變，所以圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性討論 y軸右邊的圖形可得.【解析】：將x換成-x方程不變，所以圖形關(guān)于 y軸對(duì)稱,2當(dāng)x=0時(shí)，代入得y =1, y='1，即曲線經(jīng)過(0,1) , (0, -1);2 2 2 2當(dāng)x 0時(shí)，方程變?yōu)?y -xy x -1 =0，所以 = x - 4(x -1)0，解得x (0 ,9所以x只能取整數(shù)1，當(dāng)x =1時(shí)，y

17、 -y=0,解得y =0或y =1，即曲線經(jīng)過（1,0） , （1,1）,根據(jù)對(duì)稱性可得曲線還經(jīng)過（-1,0） , （-1,1）,故曲線一共經(jīng)過 6個(gè)整點(diǎn)，故正確.x2 y2當(dāng)x 0時(shí)，由x y 1 xy得x，y-1二xy,，（當(dāng)x = y時(shí)取等），2x2 y2, 2 , , x2 y2, .2 ,即曲線C上y軸右邊的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過2，根據(jù)對(duì)稱性可得：曲線c上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2 ；故正確.在x軸上圖形面積大于矩形面積=1 2=2，x軸下方的面積大于等腰直角三角形的面積1二丄2 1 =1，因此曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于2 3，故錯(cuò)誤.2的邊長(zhǎng)為I，那么該幾何體的體積為

18、40【歸納與總結(jié)】本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，屬中檔題.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。2-TT9 .函數(shù)f(x)=sin 2x的最小正周期是2 1 1【思路分析】用二倍角公式可得f (x)=-丄cos(4x)-，然后用周期公式求出周期即可.2 22【解析】：.f (x) =sin (2 x),.f (x cos(4x) 1 , f (x)的周期 T，故答案為：一.2 2 2 2【歸納與總結(jié)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是合理使用二倍角公式，屬基礎(chǔ)題.10 .設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a? = -3 , = -10 ,則a = 0 , 的最小值為 【思路分析】利用

19、等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程組，能求出a-4 , d =1 ,由此能求出as的Sn的最小值.【解析】：設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為問 d = -3 二彳 5漢4，解得a =-4, d5a1d = 102小丄n(n 一1),丄 n(n 一1) 1 , 一、Sn =natd = 4n(n )2 2 2 2 8 n =4或n = 5時(shí)，S取最小值為S4二S5 = -10 .故答案為：0 , T0 .【歸納與總結(jié)】本題考查等差數(shù)列的第5項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11 .某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)

20、四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形Sn , a2 = 3 , S5 = -10 ,=1 , . a5 = q 4d = -4 4 1=0 ,9 281王怪側(cè)左匿俯視【思路分析】由三視圖還原原幾何體，然后利用一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)棱柱的體積作和求解.該幾何體是把棱長(zhǎng)為 4的正方體去掉一個(gè)四棱柱，1則該幾何體的體積 V =4 2 2 (2 4) 2 40 .故答案為：40 .【歸納與總結(jié)】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.12 .已知I , m是平面外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：I m :mil】:I ：.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作

21、為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題： _若I - - ,1 _m二則mil】_.【思路分析】由I , m是平面外的兩條不同直線，利用線面平行的判定定理得若I _，I - m ,則 mil：.【解析】：由I , m是平面：外的兩條不同直線，知：由線面平行的判定定理得：若I，Im，貝U mi i-.故答案為：若I，Im，則m/>.【歸納與總結(jié)】本題考查滿足條件的真命題的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.13 .設(shè)函數(shù)f(x)=ex ae"(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則-1_;若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是.Xxxx

22、【思路分析】 對(duì)于第一空：由奇函數(shù)的定義可得 f(x)=-f(x),即ea = -(e ae ),變形可得分析可得a的值，即可得答案；對(duì)于第二空：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析可得f(x)的導(dǎo)數(shù) f (x)=ex -ae0在 R上恒成立，變形可得：a, e2x恒成立，據(jù)此分析可得答案.【解析】：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=ex ae-,若 f (x)為奇函數(shù)，則 f(-x)二-f(x)，即 e_ ae -(ex ae_)，變形可得 a = _1 ,函數(shù) f (x) =ex ae_，導(dǎo)數(shù) f (x) =ex ae'若f (x)是R上的增函數(shù)，貝U f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)

23、=ex -ae叢0在R上恒成立，變形可得：a, e2x恒成立，分析可得 a 0，即a的取值范圍為(亠,0; 故答案為：-1 , (-： ：，0 【歸納與總結(jié)】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，關(guān)鍵是理解函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義，屬于基礎(chǔ)題.14 .李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依 次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一 次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到 120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80% . 當(dāng)x =10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付130 元；

24、 在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，貝Ux的最大值為.【思路分析】由題意可得顧客一次購(gòu)買的總金額，減去x，可得所求值；在促銷活動(dòng)中，設(shè)訂單總金額為 m元，可得(m-x) 80%-m 70%，解不等式，結(jié)合恒成立思想， 可得x的最大值.1 盒，可得 60 80 =140 （元）,【解析】：當(dāng)x =10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各 即有顧客需要支付 140 -10 =130 (元)；在促銷活動(dòng)中，設(shè)訂單總金額為m元,可得(m -x) 80% m 70% , 即有x, 由題意可得m-120,120可得x,15 ,8則x的最大值為15元.故答案為：130 , 15【歸

25、納與總結(jié)】本題考查不等式在實(shí)際問題的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。115 . (13 分)在 ABC 中，a =3 , b -c =2 , cosB 二2(I)求b , c的值；(n)求 sin(B -C)的值.2 2 2【思路分析】(I)利用余弦定理可得b二a c -2accosB，代入已知條件即可得到關(guān)于 b的方程, 解方程即可；(n) sin(B -C) =sin BcosC -cosBsinC，根據(jù)正弦定理可求出 sinC，然后求出cosC，代入即可 得解.【解析】：(I) ： a =3 , b -c =2 ,

26、 cosB 二-一.2由余弦定理，得 宀2 4AE =(1 , 0 , 1) , AF =(,), c2-2accos9 (b-2)2-2 3 3 (b-平面AEP的法向量n=(1, 0 , 0),(冷)，=5 ;(n)在厶ABC中,FSB 一2，sin#5 32_7-5.3，由正弦定理有:i_3AEF內(nèi)，說明理由.CD _ 平面 PAD .b一 csinBsin C si nC si nBb11 7b c , B C , . C 為銳角，.cosC14.sin(B -C) =sin BcosC -cosBsinC- 11 -(一1) 設(shè)平面 AEF的法向量 常=(x , y , z), 3

27、=土 .2142147【歸納與總結(jié)】本題考查了正弦定理余弦定理和兩角差的正弦公式，屬基礎(chǔ)題.16 . ( 14 分)如圖，在四棱錐 P -ABCD 中，PA_ 平面 ABCD , AD _ CD , AD / /BC ,PF PA=AD=CD=2 , BC =3 . E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn) F在PC上，且PC(I)求證：CD _平面PAD ;(n)求二面角 F -AE -P的余弦值;(n)以A為原點(diǎn)，在平面 ABCD內(nèi)過A作CD的平行線為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空 間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F -AE-P的余弦值.(川)求出 AG =(4 , 0, 2)，平面 AEF 的法向量

28、忌=(1 , 1 , -1) , mAG-2 二2 = 0，從而3 3333直線AG不在平面 AEF內(nèi).【解答】證明：(I)；PA平面ABCD , - PACD ,:'AD _CD , PAA AD = A,.CD 平面 PAD .解：(n)以A為原點(diǎn)，在平面 ABCD內(nèi)過A作CD的平行線為x軸,AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，224A(0 , 0, 0) , E(1 , 0, 1) , F (- , - , -) , P(0, 0 , 2), 333I1丄m|_AE =x - z =0 則 moF 224 ，取 x=1，得 H =(1 , 1 ,-X y z =033設(shè)二

29、面角F-AE -P的平面角為"則沁獄_AE _P的余弦值為(川)直線 AG不在平面AEF內(nèi)，理由如下：點(diǎn) G 在 PB 上，且 PG =- . . G(4 , 0 ,-), PB 33342AG =( , 0 ,),33平面AEF的法向量 用=(1, 1, -1),m辰一2 J。，333故直線AG不在平面 AEF內(nèi).【歸納與總結(jié)】 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查直線是否在已知平面 內(nèi)的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能 力，屬于中檔題.17 . （ 13分）改革開放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變近年來(lái)，移動(dòng)支

30、付已成為主要支付 方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月 A , B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A , B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用 A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元） 支付方式(0 , 1000(1000, 2000大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（I）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月 A , B兩種支付方式都使用的概率；（H）從樣本僅使用 A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取 1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額 大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（川）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支

31、付方式在本月沒有變化現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查 3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.【思路分析】(I)從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中，A , B兩種支付方式都不 使用的有5人，僅使用A的有30人，僅使用B的有25人，從而A , B兩種支付方式都使用的人 數(shù)有40人，由此能求出從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取 1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月 A , B兩種支付方式都使 用的概率.(n)從樣本僅使用 A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取 1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，則

32、X的可能取值為0, 1 , 2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).(川)從樣本僅使用 A的學(xué)生有30人，其中27人月支付金額不大于 2000元，有3人月支付金額大于2000元，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元的概率為p = C!,C304060不能認(rèn)為認(rèn)為樣本僅使用 A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.【解析】：(I)由題意得：從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中，A , B兩種支付方式都不使用的有5人，僅使用A的有30人，僅使用B的有25人，.A , B兩種支付方式都使用的人數(shù)有：100 -5 -30 -25 =40,4

33、0-從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取 1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月 A , B兩種支付方式都使用的概率p = 0.4 .100(n)從樣本僅使用 A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取 1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額 大于1000元的人數(shù)，則X的可能取值為0,1 , 2 ,樣本僅使用A的學(xué)生有30人，其中支付金額在 (0 , 1000的有18人，超過1000元的有12人， 樣本僅使用B的學(xué)生有25人，其中支付金額在 (0 , 1000的有10人，超過1000元的有15人，18 10 180 P(X =0)：30257502513251815 ±1210390P(X =1)=30 2530 25750P(

34、X=2)止蘭二型,302575025.X的分布列為:X012P6136252525數(shù)學(xué)期望 E(X) =0 1 132 =1 .252525(川)不能認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，理由如下：從樣本僅使用 A的學(xué)生有30人，其中27人月支付金額不大于 2000元，有3人月支付金額大于2000 元，c31隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元的概率為p 3,C304060雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為4060故不能認(rèn)為認(rèn)為樣本僅使用 A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.【歸納與總結(jié)】本題考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，

35、考查古典概型、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，是中檔題.218 . (14分)已知拋物線 C:x - -2py經(jīng)過點(diǎn)(2, 1).(I)求拋物線 C的方程及其準(zhǔn)線方程；(H)設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為 0的直線I交拋物線C于兩點(diǎn)M , N，直線y = -1 分別交直線OM , ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B .求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).【思路分析】(I)代入點(diǎn)(2,-1)，解方程可得p，求得拋物線的方程和準(zhǔn)線方程；(H)拋物線x2二/y的焦點(diǎn)為F(0, _1)，設(shè)直線方程為y二kx-1，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定 理，以及直線的斜率和方程，求得A

36、, B的坐標(biāo)，可得 AB為直徑的圓方程，可令 x=0，解方程，即可得到所求定點(diǎn).【解析】：(I)拋物線C : x2 - -2py經(jīng)過點(diǎn)(2, -1).可得4=2p，即p=2 ,2可得拋物線C的方程為x= 4y，準(zhǔn)線方程為y =1 ;2(H)證明：拋物線 x - -4y的焦點(diǎn)為F(0, -1),設(shè)直線方程為y =kx T，聯(lián)立拋物線方程，可得 x亠4kx -4 = 0,設(shè) M(x , y), Ng , y2),可得洛 x2 = -4k,MX?-4 ,直線OM的方程為y1 y x，即y =X1 x ,X14直線ON的方程為y2 yx，即y =X2 x,x244可得 A(- ,-1),4B(，-1)

37、,xX2可得AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 12(-4k-)=22k,X1x2-4即有AB為直徑的圓心為(2k, -1),半徑為1=2 .1 k2 ,22 x,%42 22可得圓的方程為(x-2k)(y 1) 4(1 k ),2 2化為 x 4kx (y 1) =4,由x =0，可得y =1或-3 .則以AB為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(0,1) , (0, -3).【歸納與總結(jié)】本題考查拋物線的定義和方程、性質(zhì)，以及圓方程的求法，考查直線和拋物線方程 聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.1 19 . (13 分)已知函數(shù) f (x)x3 x2 x .4(I)求曲線y = f(

38、x)的斜率為I的切線方程；(H)當(dāng) x -2 , 4時(shí)，求證：x - 6剟f (x) x ;(川)設(shè) F(x)=| f (x) -(xa)|(R)，記 F(x)在區(qū)間-2,4上的最大值為M(a).當(dāng) M(a)最小時(shí)，求a的值.【思路分析】(I)求導(dǎo)數(shù)f(X)，由f(X)=1求得切點(diǎn)，即可得點(diǎn)斜式方程；(H)把所證不等式轉(zhuǎn)化為 -6剟f (x) -x 0 ,再令g(x)二f(x) -x ,利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)在-2 , 4的 單調(diào)性和極值點(diǎn)即可得證；h(t)斗t 一 a |，結(jié)合絕對(duì)值函數(shù)的(川)先把F(x)化為|g(x) -a|，再利用(n)的結(jié)論，引進(jìn)函數(shù) 對(duì)稱性，單調(diào)性，通過對(duì)稱軸 t =

39、a與-3的關(guān)系分析即可.3 2【解析】：(I) f (x)x2 -2x 1 ,48由 f (x) =1 得 x(x _)=0,3/曰c8得 xi =0,X2 ：827，83，3又 f(0) =0 ,f(3)3.y=x禾口27 L64即 y =x 和 y=x-27(n)證明：欲證 x - 6剟f (x) x ,只需證-6剟f (x) - x 0 ,132令 g(x)二 f(x)_xx -x , x -2 , 4,4貝y g (x)二？X22xx(x,4 43可知g (x)在-2 , 0為正，在(0,-)為負(fù)，在-,4為正，3388g(x)在-2 , 0遞增，在0 , -遞減，在-,4遞增，33又 g(-2) = -6 , g(0) =0 , g(8) - -64 七，g (4) = 0 ,327.-6剟g(x) 0 ,.x -6剟f (x) x ;(川)由(n)可得，F(xiàn)(x) H f(x) -(x a)|斗 f (x) -x -a|斗g(x) -a|在-2 , 4上，七剟g(x) 0 ,令t 二g(x) , h(t) =|t -a| ,則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)r -6 , 0時(shí)，h(t)的最大值M (a)的問題了,當(dāng)時(shí)，M (a) =h(-6) =|