2022年2022年初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)專題

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)圓苑老師一.圓的概念集合形式的概念：1 . 圓可以看作為到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2 .圓的外部：可以看作為到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3 .圓的內(nèi)部：可以看作為到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1.圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就為以定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑的圓；（補(bǔ)充 ）2 .垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡為這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3 .角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡為這個(gè)角的平分線；4 .到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡為：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線；5 .到兩條平

2、行線距離相等的點(diǎn)的軌跡為：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線；二.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn) c 在圓內(nèi)；2.點(diǎn)在圓上dr點(diǎn) b 在圓上；3.點(diǎn)在圓外dr點(diǎn) a 在圓外；三.直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓相離dr無交點(diǎn) ；2.直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3.直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；adrobdc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)rdd=rrd四.圓與圓的位置關(guān)系外離（圖 1）無交點(diǎn)drr；外切（圖 2）有一個(gè)交點(diǎn)drr；相交（圖 3）有兩個(gè)交點(diǎn)rrdrr ；內(nèi)切（圖 4）有一個(gè)交點(diǎn)drr；內(nèi)含（圖 5）無交點(diǎn)drr；dddrrrrrr圖

3、 1圖 2圖3ddrrrr圖4圖 5五.垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的?。煌普?1：（ 1）平分弦（不為直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬? ）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條??；（3 ）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共 4 個(gè)定理,簡(jiǎn)稱 2 推 3 定理：此定理中共5 個(gè)結(jié)論中,只要知道其中2 個(gè)即可推出其它 3 個(gè)結(jié)論,即：a ab 為直徑 abcd cede 弧 bc弧 bd 弧 acoecdb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)弧 ad中任意 2 個(gè)條件推出其他3 個(gè)結(jié)論；

4、推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等；cd即：在 o 中,ab cdoab弧ac弧 bd例題 1. 基本概念1下面四個(gè)命題中正確的一個(gè)為（）a平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑b平分一條弧的直線垂直于這條弧所對(duì)的弦c弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心d在一個(gè)圓內(nèi)平分一條弧和它所對(duì)弦的直線必過這個(gè)圓的圓心2以下命題中,正確選項(xiàng)（）a過弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的弧b過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心 c弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦,且過圓心d弦的垂線平分弦所對(duì)的弧例題 2.垂徑定理1. 在直徑為 52cm 的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后,截面如下列圖,假如油的最大深度為16cm,那么油面寬度 ab 為 cm.2

5、.在直徑為 52cm 的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后, ,假如油面寬度為48cm,那么油的最大深度為 cm.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.如圖,已知在 o 中,弦 abcd ,且 abcd ,垂足為 h , oeab 于 e , ofcd 于 f .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）求證：四邊形 oehf 為正方形 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）如 ch3 , dh9 ,求圓心 o 到弦 ab 和 cd 的距離 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4.已知： abc 內(nèi)接于 o,ab=ac ,半徑 ob=5cm,圓心 o

6、到 bc 的距離為 3cm,求 ab 的長(zhǎng)5.如圖,f 為以 o 為圓心,bc 為直徑的半圓上任意一點(diǎn), a 為的中點(diǎn), ad bc 于 d,求證：1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ad=bf.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)fae精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例題 3.度數(shù)問題1.已知：在 o 中,弦 ab的半徑 .bdoc12cm , o 點(diǎn)到 ab 的距離等于 ab 的一半,求：aob 的度數(shù)和圓精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.已知： o 的半徑 oa例題 4.

7、相交問題1,弦 ab.ac 的長(zhǎng)分別為2 .3 .求bac 的度數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如圖,已知 o 的直徑 ab 和弦 cd 相交于點(diǎn) e,ae=6cm,eb=2cm,bed=30°,求 cd 的長(zhǎng).cea bod例題 5.平行問題在直徑為 50cm 的 o 中,弦 ab=40cm,弦 cd=48cm,且 ab cd,求：ab 與 cd 之間的距離 .例題 6.同心圓問題如圖,在兩個(gè)同心圓中,大圓的弦ab,交小圓于 c.d 兩點(diǎn),設(shè)大圓和小圓的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載半徑分別為a 、b .求證： adbda 2b2 .精品學(xué)習(xí)資料精

8、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例題 7.平行與相像精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載已知：如圖, ab 為 o 的直徑, cd 為弦, aecd 于e , bfcd 于 f .求精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證：ecfd .六.圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弧相等,弦心距相等；此定理也稱 1 推 3 定理,即上述四個(gè)結(jié)論中,e只要知道其中的1 個(gè)相等,就可以推出其它的3 個(gè)結(jié)論,f o即：aobdoe ； abde ；dacb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn) ocof ； 弧 ba弧 bd七.圓

9、周角定理1.圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半；c即：aob 和acb 為弧 ab 所對(duì)的圓心角和圓周角b o精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 aob2acba精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.圓周角定理的推論：dc推論 1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧為等弧；boa即：在 o 中, c .d 都為所對(duì)的圓周角 cd推論 2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角；圓周角為直角所對(duì)的弧為半圓,c所對(duì)的弦為直徑；bao即：在 o 中,ab 為直徑或 c90 c90ab 為直徑推論 3：如三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那

10、么這個(gè)三角形為直角三角形；即：在 abc 中,ocoaobc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abc 為直角三角形或c 90bao精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注：此推論實(shí)為初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理；【例 1】用直角鋼尺檢查某一工件為否恰好為半圓環(huán)形,依據(jù)圖形3-3-19 所表示的情形,四個(gè)工件哪一個(gè)確定為半圓環(huán)形？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)【例 2】如圖,已知 o中,ab為直徑, ab=10cm,弦 ac=6cm, acb的平分線交 o于 d,求 bc. ad和 bd的長(zhǎng)【例

11、3】如下列圖,已知ab為 o的直徑, ac為弦, odbc,交 ac于 d, bc=4cm（1）求證： acod；（2）求 od的長(zhǎng)；（ 3）如 2sina 1=0,求 o的直徑【例 4】四邊形 abcd中, abdc,bc=b,ab=ac=ad=,a如圖,求 bd的長(zhǎng)【例 5】如圖 1,ab為半 o的直徑,過 a.b 兩點(diǎn)作半 o的弦,當(dāng)兩弦交點(diǎn)恰好落在半o上 c點(diǎn)時(shí),就有 ac· acbc·bc=ab2（1）如圖 2,如兩弦交于點(diǎn)p 在半 o內(nèi),就 ap·ac bp·bd=ab2 為否成立？請(qǐng)說明理由（2）如圖 3,如兩弦 ac.bd的延長(zhǎng)線交于 p

12、 點(diǎn),就 ab2=參照（ 1）填寫相應(yīng)結(jié)論,并證明你填寫結(jié)論的正確性八.圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對(duì)角；即：在 o 中,cd四邊形abcd 為內(nèi)接四邊形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cbad daec180bd180bae精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)例 1.如圖 7-107 , o中,兩弦 ab cd,m為 ab的中點(diǎn),過 m點(diǎn)作弦 de求證： e,m,o,c 四點(diǎn)共圓九.切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線為切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑,二者缺一不行即

13、：mnoa 且 mn 過半徑 oa 外端omn 為o 的切線精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論 1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；推論 2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心；以上三個(gè)定理及推論也稱二推肯定理：man精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線,三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最終一個(gè)；十.切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角；b即：pa . pb 為的兩條切線oppapbapo 平分bpa利用切線性質(zhì)運(yùn)算線段的長(zhǎng)度例

14、1：如圖,已知： ab為 o的直徑, p為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn), pc切 o于 c,cd ab于 d,又pc=4, o的半徑為 3求： od的長(zhǎng)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)利用切線性質(zhì)運(yùn)算角的度數(shù)例 2：如圖,已知： ab為 o的直徑, cd切 o于 c,aecd于 e,bc的延長(zhǎng)線與 ae的延長(zhǎng)線交于 f,且 af=bf求： a 的度數(shù)利用切線性質(zhì)證明角相等例 3：如圖,已知： ab為 o的直徑,過 a 作弦 ac.ad,并延長(zhǎng)與過 b 的切線交于 m.n求證： mcn= mdn利用切線性質(zhì)證線段相等例 4：如圖,已知： ab為 o直徑, coab, cd切 o

15、于 d, ad交 co于 e求證： cd=ce利用切線性質(zhì)證兩直線垂直例 5： 如圖,已知：abc中, ab=ac,以 ab 為直徑作 o,交 bc于 d, de切 o于 d,交 ac于 e求證： de ac精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載十一.圓冪定理（1）相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交,交點(diǎn)分得的兩條線段的乘即：在 o 中,弦ab . cd 相交于點(diǎn) p ,pa pbpcpddbo積相等；pca精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）推論：假如弦與直徑垂直相交

16、, 那么弦的一半為它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)；即：在 o 中,直徑abcd ,cb oea d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ce 2aebe精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3）切割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)為這a點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)；de即：在 o 中,pa 為切線, pb 為割線pocb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 pa2pcpb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 4） 割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線

17、段長(zhǎng)的積相等（如上圖）；即：在 o 中,pb . pe 為割線pcpbpd pe例1. 如圖1,正方形 abcd的邊長(zhǎng)為 1,以 bc為直徑；在正方形內(nèi)作半圓o,過 a 作半圓切線,切點(diǎn)為 f,交 cd于 e,求 de：ae的值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)例2. o中的兩條弦 ab與 cd相交于 e,如 ae6cm,be2cm,cd7cm,那么 ce cm；圖2例3. 如圖3,p 為o外一點(diǎn), pc切o于點(diǎn) c,pab為o的割線,交o 于 a.b 兩點(diǎn),假如 pa：pb 1： 4, pc12cm,o的半徑為 10cm,就圓心 o到 ab的距離為 cm；圖3

18、例4. 如圖4,ab為o的直徑,過 b 點(diǎn)作o的切線 bc,oc交o于點(diǎn) e,ae的延長(zhǎng)線交 bc于點(diǎn)d,（ 1）求證：；（ 2）如 abbc 2厘米,求 ce.cd的長(zhǎng)；圖4例5. 如圖5,pa.pc切o于 a.c, pdb為割線；求證： ad·bccd·ab圖5例6. 如圖6,在直角三角形 abc中, a90°,以 ab邊為直徑作 o,交斜邊 bc于點(diǎn) d,過 d 點(diǎn)作o的切線交 ac于 e；圖6求證： bc 2oe；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載十二.兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦；ao1o2精品學(xué)習(xí)

19、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如圖：o1o2 垂直平分 ab ；b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即：o1 .o2 相交于 a . b 兩點(diǎn)o1o2 垂直平分 ab十三.圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的運(yùn)算公式：abc o1o2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）公切線長(zhǎng)：rto o c 中, ab 2co 2o o 2co 2 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載121122精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

20、料 - - - 歡迎下載（2）外公切線長(zhǎng)：co2 為半徑之差；內(nèi)公切線長(zhǎng)：co2 為半徑之和；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載十四. 圓內(nèi)正多邊形的運(yùn)算c（1）正三角形o在 o 中abc 為正三角形,有關(guān)運(yùn)算在rtbod 中進(jìn)行：bda精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載od : bd: ob1:3 : 2；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bc（2）正四邊形oe同 理 , 四 邊 形 的 有 關(guān) 計(jì) 算 在 rtoae中 進(jìn) 行 ,ad精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載oe : ae : oa1:1:2 ：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎