2022年2022年初中三角形中做輔助線的技巧及典型例題

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載三角形中做幫助線的技巧口訣：三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線；也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系現(xiàn)；角平分線平行線,等腰三角形來添；角平分線加垂線,三線合一試試看；線段垂直平分線,常向兩端把線連；線段和差及倍半,延長縮短可試驗(yàn)；線段和差不等式,移到同一三角去；三角形中兩中點(diǎn),連接就成中位線；三角形中有中線,延長中線等中線；一.由角平分線想到的幫助線口訣：圖中有角平分線,可向兩邊作垂線；也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系現(xiàn)；角平分線平行線,等腰三角形來添；角平分線加垂線,三線合一試試看；角平分線具有兩條性質(zhì)：a.對稱性； b.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離

2、相等；對于有角平分線的幫助線的作法,一般有兩種；從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線,構(gòu)造對稱圖形（如作法為在一側(cè)的長邊上截取短邊）；通常情形下,顯現(xiàn)了直角或?yàn)榇怪钡葪l件時(shí),一般考慮作垂線；其它情形下考慮構(gòu)造對稱圖形；至于選取哪種方法,要結(jié)合題目圖形和已知條件；與角有關(guān)的幫助線（一）.截取構(gòu)全等例1如圖 1-2 , ab/cd, be平分 bcd,ce平分 bcd,點(diǎn) e 在 ad上,求證： bc=ab+c；daedbfc圖 1-2例2已知：如圖1-4 ,在 abc中, c=2 b、ad 平分 bac,求證： ab-ac=cdaecbd圖1-4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

3、載學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析 ：此題的條件中仍有角的平分線,在證明中仍要用到構(gòu)造全等三角形,此題仍為證明線段的和差倍分問題；用到的為截取法來證明的,在長的線段上截取短的線段,來證明；試試看可否把短的延長來證明呢？（二）.角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線,利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題；例1如圖 2-1 ,已知 ab>ad、 bac=fac、cd=bc；a求證： adc+b=180分析 ：可由 c 向 bad的兩邊作垂線；近而證adc與 b 之和為平角；defbc圖 2-1例2已知如圖2-3 , abc的角平分線bm.cn相交于點(diǎn) p；求證： bac

4、的平分線也經(jīng)過點(diǎn)p；分析 ：連接 ap,證 ap平分 bac即可,也就為證p 到 ab. ac的距離相等；andmfpb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載練習(xí)：1如圖 2-4 aop= bop=15 ,pc/oa,pd oa,c假如 pc=4,就 pd=（）oa4b3c2d12. 已知：如圖2-6、 在正方形abcd中, e 為 cd 的中點(diǎn), f 為 bc上的點(diǎn), fae= dae；求證： af=ad+c；fp d圖2-4c圖2-3ba精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載3. 已知：如圖2-7 ,在 rt abc中, acb=90、cdab,垂足為 d,

5、ae平分 cab交 cd于 f,過 f 作fh/ab 交 bc于 h；求證 cf=bh；caedfheadb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b圖2-6fc圖2-7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線,使之與角的兩邊相交,就截得一個(gè)等腰三角形,垂足為底邊上的中點(diǎn),該角平分線又成為底邊上的中線和高,以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（假如題目中有垂直于角平分線的線段,就延長該線段與角的另一邊相交）；例1已知：如圖3-1 , bad= dac,

6、ab>ac、cd ad于 d, h為 bc中點(diǎn)；求證：1 （ab-ac）dh=2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析 ：延長 cd交 ab于點(diǎn) e,就可得全等三角形；問題可證；adcebh圖示 3-1例 2. 已知：如圖3-2 , ab=ac, bac=90, ad為 abc的平分線, ce be. 求證： bd=2ce；分析 ：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線,可延長此垂線與另外一邊相交,近而構(gòu)造出等腰三角形；fadebc圖3-2例 3已知：如圖3-3 在 abc中, ad.ae分別 bac的內(nèi).外角平分線,過頂點(diǎn)b作 bfad,交 ad的延長線于f,連結(jié)

7、fc并延長交ae 于 m；求證： am=m；e分析 ：由 ad.ae 為 bac內(nèi)外角平分線,可得eaaf,從而有bf/ae ,所以想到利用比例線段證相等；ambdcefn圖3-3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例3已知：如圖3-4 ,在 abc中, ad平分 bac,ad=ab,cm ad交 ad延長線于m；求證：（ ab+ac）1am=2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析 ：題設(shè)中給出了角平分線ad,自然想到以ad為軸作對稱變換,作abd關(guān)于 ad的對稱 aed,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

8、 歡迎下載然后只需證1dm=2ec,另外由求證的結(jié)果1 （ ab+ac）,即 2am=ab+a,c 也可嘗試作acm關(guān)于 cm的對am=2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載稱 fcm,然后只需證df=cf即可；aefncbdm圖3-4練習(xí) ：1 已知：在 abc中, ab=5, ac=3, d為 bc中點(diǎn), ae為 bac的平分線,且ce ae于 e,連接 de,求 de ；2 已知 be.bf分別為 abc的 abc的內(nèi)角與外角的平分線,af bf于 f,ae be于 e,連接 ef 分1別交 ab. ac于 m.n,求證 mn=bc2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

9、載學(xué)習(xí)必備歡迎下載（四）.以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí),常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線,從而構(gòu)造等腰三角形；或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交,從而也構(gòu)造等腰三角形；如圖4-1 和圖 4-2 所示；cahidfegbc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab圖4-1圖4-2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1如圖, bc>ba, bd平分 abc,且 ad=cd,求證： a+c=180；abdc例 2如圖, ab cd, ae.de分別平分 bad各 ade,求證： ad=ab+c；ddceab練習(xí)：1.已知,

10、如圖,c=2 a, ac=2bc；求證： abc為直角三角形； 2已知：如圖,ab=2ac, 1= 2, da=db,求證： dc acaaac1 2dcebcbabdbdc3已知 ce. ad為 abc的角平分線,b=60°,求證： ac=ae+cd4已知：如圖在abc中, a=90°, ab=ac, bd為 abc的平分線,求證：bc=ab+ad精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載二.由線段和差想到的幫助線口訣：線段和差及倍半,延長縮短可試驗(yàn)；線段和差不等式,移到同一三角去；遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí),一般方法為截長補(bǔ)短法：1.截長：

11、在長線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條；2.補(bǔ)短：將一條短線段延長,延長部分等于另一條短線段,然后證明新線段等于長線段；對于證明有關(guān)線段和差的不等式,通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊.之差小于第三邊,故可想方法放在一個(gè)三角形中證明；一. 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí),如直接證不出來,可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形,使結(jié)論中顯現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中,再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明,如：例1. 已 知 如 圖1-1 ： d . e為 abc 內(nèi) 兩 點(diǎn) 、 求a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證:ab+ac>bd+de+ce.m

12、den精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bc圖11二. 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí),可連接兩點(diǎn)或延長某邊,構(gòu)造三角形,使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上,小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上,再利用外角定理：例如：如圖 2-1 ：已知 d為 abc內(nèi)的任一點(diǎn),求證： bdc> bac；分析： 由于 bdc與 bac不在同個(gè)三角形中,沒有直接的聯(lián)系,可適當(dāng)添加幫助線構(gòu)造新的三角形,使 bdc處于在外角的位置,bac處于在內(nèi)角的位置；agedbfc圖21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載留意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)

13、系時(shí),通常將大角放在某三角形的外角位置上,小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上,再利用不等式性質(zhì)證明；三. 有角平分線時(shí),通常在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形,如：例如：如圖 3-1 ：已知 ad為 abc的中線,且 1=2、 3=4、 求證： be+cf>e；f分析：要證be+cf>e,f 可利用三角形三邊關(guān)系定理證明,須把be, cf,ef 移到同一個(gè)三角形中,而由已知 1= 2, 3= 4,可在角的兩邊截取相等的線段,利用三角形全等對應(yīng)邊相等,把en, fn, ef移到同個(gè)三角形中；anef1 2 3 4bdc圖31留意：當(dāng)證題有角平分線時(shí),?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段

14、,構(gòu)造全等三角形,然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素；三.截長補(bǔ)短法作幫助線；例如：已知如圖6-1 ：在 abc中, ab>ac, 1= 2, p 為 ad上任一點(diǎn)求證： ab-ac>pb-p；c分析：要證：ab-ac>pb-pc,想到利用三角形三邊關(guān)系,定理證之,由于欲證的線段之差,故用兩邊之差小于第三邊,從而想到構(gòu)造第三邊ab-ac,故可在ab 上截取 an等于 ac,得 ab-ac=bn,再連接pn,就 pc=pn,又在 pnb中, pb-pn<bn,即： ab-ac>pb-pc；a1 2pndcb圖61m精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)

15、習(xí)必備歡迎下載例 1如圖, ac平分 bad, ce ab,且 b+ d=180°,求證： ae=ad+b；eadec例 2 如圖,在四邊形abcd中, ac平分 bad, ceab 于 e, ad+ab=2a,eb求證： adc+b=180odcaeb例 3 已知：如圖,等腰三角形abc中, ab=ac,a=108°, bd平分abc；求證： bc=ab+d；cadbc例 4 如圖,已知rt abc中, acb=90°, ad為 cab的平分線, dm ab于 m,且 am=m；b 求證： cd1a= 2 db；mcdba【夯實(shí)基礎(chǔ) 】例：abc 中, ad為b

16、ac 的平分線,且bd=cd,求證 ab=acbcd【方法精講 】常用幫助線添加方法倍長中線aa abc中方式 1： 延長 ad到 e,ad 為 bc邊中線使 de=ad,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bcd方式 2：間接倍長bc連接 bed精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載e精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載aa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fbdc e作 cf ad于 f,m作 be ad的延長線于e連接 beb延長 md到 n,d使 dn=m,dc連接 cdn精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【經(jīng)典例題

17、】例 1： abc中, ab=5, ac=3,求中線ad的取值范疇提示：畫出圖形,倍長中線ad,利用三角形兩邊之和大于第三邊例 2：已知在 abc中, ab=ac, d 在 ab上, e 在 ac的延長線上,de交 bc于 f,且 df=ef,求證： bd=cea方法 1：過 d 作 dgae交 bc于 g,證明 dgf cef方法 2：過 e 作 egab交 bc的延長線于g,證明 efg dfb方法 3：過 d 作 dgbc于 g,過 e 作 eh bc的延長線于h證明 bdg echdbfce例 3：已知在 abc中, ad為 bc邊上的中線, e為 ad上一點(diǎn),且be=ac,延長 be

18、交 ac于 f,求證： af=efa提示：倍長ad至 g,連接 bg,證明 bdg cdaf e三角形 beg為等腰三角形bdc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 4：已知：如圖,在abc 中, abdf=ac.求證： ae平分bac提示：方法 1：倍長 ae至 g,連結(jié) dg方法 2：倍長 fe 至 h,連結(jié) chac ,d.e 在 bc上,且 de=ec,過 d 作 df / ba 交 ae于點(diǎn) f,afbdec第 1 題圖精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 5：已知 cd=ab, bda=bad, ae為 abd的中線,求證：c= baeabedc精品學(xué)習(xí)資料

19、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載提示：倍長ae至 f,連結(jié) df證明 abe fde（ sas）進(jìn)而證明 adf adc（sas）【融會貫穿 】1.在四邊形abcd中, ab dc,e 為 bc邊的中點(diǎn), bae=eaf,af 與 dc的延長線相交于點(diǎn)f；摸索究線段 ab 與 af.cf 之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載提示：延長ae.df交于 g證明 ab=gc.af=gf所以 ab=af+fcdbec精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fa2.如圖, ad為abc 的中線, de平分bda 交 ab于 e,df 平分

20、adc 交ac于 f.求證： becfefef精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載提示：b方法 1：在 da上截取 dg=bd,連結(jié) eg.fg證明 bde gde dcf dgf 所以 be=eg. cf=fg利用三角形兩邊之和大于第三邊方法 2：倍長 ed至 h,連結(jié) ch.fh 證明 fh=ef.ch=be利用三角形兩邊之和大于第三邊cd第 14 題圖精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.已知：如圖,abc中,c=90 , cm ab于 m, at 平分bac交 cm于 d,交 bc于 t,過 d 作 de/ab 交bc于 e,求證： ct=be.am提示：過t 作

21、 tn ab于 ndb證明 btn ecdetc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載四.由中點(diǎn)想到的幫助線口訣： 三角形中兩中點(diǎn),連接就成中位線；三角形中有中線,延長中線等中線；在三角形中,假如已知一點(diǎn)為三角形某一邊上的中點(diǎn),那么第一應(yīng)當(dāng)聯(lián)想到三角形的中線.中位線.加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì).等腰三角形底邊中線性質(zhì)）,然后通過探究,找到解決問題的方法；（一）.中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖 1, ad為 abc的中線,就s abd=sacd=sabc（由于 abd與 acd為等底同高的）；例 1如圖 2, abc中, ad為中線,

22、延長ad到 e,使 de=ad, df為 dce的中線；已知 abc的面積為 2,求： cdf的面積；解： 由于 ad為 abc的中線, 所以 s acd=s abc=× 2=1,又因 cd為 ace的中線, 故 s cde=s acd=1,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載因 df為 cde的中線,所以s cdf=s cde=× 1=； cdf的面積為；（二）.由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例 2如圖 3,在四邊形abcd中, ab=cd, e.f 分別為 bc.ad的中點(diǎn), ba.cd的延長線分別交ef 的延長線 g.h；求證： bge= c

23、he；證明：連結(jié)bd,并取 bd的中點(diǎn)為m,連結(jié) me.mf, me為 bcd的中位線, mecd, mef= che, mf為 abd的中位線, mfab, mfe= bge, ab=cd, me=m,f mef= mfe,從而 bge= che；（三）.由中線應(yīng)想到延長中線例 3圖 4,已知 abc中, ab=5, ac=3,連 bc上的中線ad=2,求 bc的長；解：延長ad到 e,使 de=ad,就 ae=2ad=×2 2=4；在 acd和 ebd中, ad=ed, adc= edb, cd=bd, acd ebd, ac=be,從而 be=ac=3；22222在 abe中,

24、因 ae +be=4 +3 =25=ab,故 e=90°, bd=,故 bc=2bd=2；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 4如圖 5,已知 abc中, ad為 bac的平分線, ad又為 bc邊上的中線；求證： abc為等腰三角形；證明：延長ad到 e,使 de=ad；仿例 3 可證： bed cad,故 eb=ac, e= 2,又 1= 2, 1= e, ab=eb,從而 ab=ac,即 abc為等腰三角形；（四）.直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例 5如圖 6,已知梯形abcd中, ab/dc ,ac bc,ad bd,求證： ac=bd；證明：取ab的

25、中點(diǎn) e,連結(jié) de.ce,就 de. ce分別為 rt abd, rt abc斜邊 ab上的中線,故de= ce=ab,因此 cde= dce； ab/dc, cde= 1, dce= 2, 1= 2,在 ade和 bce中, de=ce, 1= 2, ae=be, ade bce, ad=bc,從而梯形abcd為等腰梯形,因此ac=bd；（五）.角平分線且垂直一線段,應(yīng)想到等腰三角形的中線例 6如圖 7, abc為等腰直角三角形, bac=90°,bd平分 abc交 ac于點(diǎn) d, ce垂直于 bd,交 bd的延長線于點(diǎn)e；求證： bd=2ce；證明：延長ba, ce交于點(diǎn) f,

26、在 bef和 bec中, 1= 2, be=be, bef=bec=90°, bef bec, ef=ec,從而 cf=2ce；又 1+ f= 3+f=90°,故 1=3；在 abd和 acf中, 1= 3,ab=ac, bad=caf=90°, abd acf, bd=cf, bd=2ce；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載注：此例中be為等腰 bcf的底邊 cf的中線；（六）中線延長口訣：三角形中有中線,延長中線等中線；題目中假如顯現(xiàn)了三角形的中線,常延長加倍此線段, 再將端點(diǎn)連結(jié),便可得到全等三角形；例一 ：如圖 4-1 ： ad

27、為 abc的中線,且 1= 2, 3=4,求證： be+cf>ef；證明 ：廷長 ed至 m,使 dm=d,e 連接 cm, mf；在 bde和 cdm中,bd=cd（中點(diǎn)定義）a 1=5（對頂角相等）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ed=m（d 幫助線作法） bde cdm（sas）又 1= 2, 3= 4（已知） 1+ 2+ 3+ 4=180°（ 平角的定義 ） 3+ 2=90° 即： edf=90° fdm= edf=90°在 edf和 mdf中ed=md（幫助線作法） edf= fdm（已證） df=df（公共邊） edf m

28、df（sas） ef=mf（全等三角形對應(yīng)邊相等） 在 cmf中, cf+cm>m（f三角形兩邊之和大于第三邊） be+cf>ef上題也可加倍fd,證法同上；ef1 2 3 4cbdm圖41精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載留意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí),可通過延長加倍此線段,構(gòu)造全等三角形,使題中分散的條件集中；例二 ：如圖 5-1 ： ad為 abc的中線,求證：ab+ac>2a；d分析：要證ab+ac>2a,d 由圖想到： ab+bd>ad、ac+cd>a,d所以有ab+ac+bd+cd>ad+ad=,2a左d邊比要證結(jié)論多

29、bd+cd,故不能直接證出此題,而由2ad 想到要構(gòu)造2ad,即加倍中線,把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載證明 ：延長 ad至 e,使 de=ad,連接 be, cea ad為 abc的中線（已知） bd=cd（中線定義）在 acd和 ebd中dbcbd=cd（已證）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 1=2（對頂角相等） ad=ed（幫助線作法） acd ebd（ sas） be=ca（全等三角形對應(yīng)邊相等）在 abe中有： ab+be>a（e 三角形兩邊之和大于第三邊） ab+ac>2a；de圖51精

30、品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載練習(xí)：1 如圖, ab=6,ac=8, d為 bc 的中點(diǎn),求ad的取值范疇；a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a68bdcadbmcdedbecdd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 如圖, ab=cd, e 為 bc的中點(diǎn), bac= bca,求證： ad=2ae；3 如圖, ab=ac, ad=ae, m為 be中點(diǎn), bac= dae=90°；求證： am dc；4,已知 abc,ad為 bc邊上的中線,分別以ab邊.ac邊為直角邊各向外作等腰直角三角形,如圖 5-2 ,求證ef=2aed；faaef精品

31、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bdc圖52bdc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5已知：如圖ad為 abc的中線, ae=ef,求證： bf=ac常見幫助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一” 的性質(zhì)解題, 思維模式為全等變換中的“對折”精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載2) 遇到三角形的中線,倍長中線,使延長線段與原中線長相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式為全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用的思維模式為三角形全等變換中的“對折” ,所考學(xué)問點(diǎn)經(jīng)常為角

32、平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式為全等變換中的“平移”或 “翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補(bǔ)短法, 詳細(xì)做法為在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或?yàn)閷⒛硹l線段延長, 為之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法, 適合于證明線段的和.差. 倍.分等類的題目特別方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí),常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來,利用三角形面積的學(xué)問解答（一）.倍長中線（線段）造全等1：（“期望杯”試題）已知,如圖abc中, ab=5,ac=3,就中線ad的取值范疇為 .a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

33、歡迎下載aefbdcbdcbadec精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2：如圖, abc中, e.f 分別在 ab.ac上, de df, d 為中點(diǎn),試比較be+cf與 ef 的大小 .3：如圖, abc中, bd=dc=a,c e 為 dc的中點(diǎn),求證：ad平分 bae.中考應(yīng)用（ 09崇文二模）以abc 的兩邊ab.ac 為腰分別向外作等腰rtabd 和等腰rtace ,badcae90 、 連接 de,m.n 分別為 bc.de的中點(diǎn)探究：am與 de的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（ 1）如圖當(dāng)abc 為直角三角形時(shí),am與 de的位置關(guān)系為,線段 am與 de的數(shù)量關(guān)系為；（ 2）

34、將圖中的等腰rtabd 繞點(diǎn) a 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)0<<90 后,如圖所示, （ 1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論為否發(fā)生轉(zhuǎn)變？并說明理由精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載a（二）.截長補(bǔ)短b1. 如圖,abc 中, ab=2ac, ad平分bac ,且 ad=bd,求證： cd acqadapecbcdbc2：如圖, ac bd, ea、eb 分別平分 cab、 dba, cd過點(diǎn) e,求證 ;ab ac+bd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3：如圖,已知在abc 內(nèi),bac060 ,c400 ,p, q分別在 bc, ca上,并且ap, bq分別

35、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為bac ,abc 的角平分線；求證：bq+aq=ab+bp4 ：如圖,在四邊形abcd 中, bc ba、ad cd, bd 平分abc ,求證：aaac180 0d12pdbcbc5: 如圖在 abc中, abac, 1 2, p 為 ad上任意一點(diǎn),求證;ab-ac pb-pc中考應(yīng)用（ 08 海淀一模）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載例題講解：一.利用轉(zhuǎn)化倍角,構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中顯現(xiàn)一個(gè)角為另一個(gè)角的2 倍時(shí),我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角查找到等腰三角形.如圖中 ,如 abc2 c,假如作bd平分 abc,

36、就 dbc為等腰三角形；如圖中 ,如 abc2 c,假如延長線cb到 d,使 bd ba,連結(jié) ad,就 adc為等腰三角形；如圖中 ,如 b2 acb,假如以 c 為角的頂點(diǎn), ca為角的一邊,在形外作acd acb,交 ba的延長線于點(diǎn)d,就 dbc為等腰三角形 .daaad精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b cdbc bc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.如圖, abc中, ab ac, bd ac交 ac于 d. 求證： dbc 1bac.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a2adbcbc2.如圖, abc中, acb2 b, bc 2ac.

37、求證： a 90° .二.利用角平分線+平行線,構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中顯現(xiàn)角平分線和平行線時(shí),我們就可以查找到等腰三角形.如圖中,如ad平分 bac, adec,就 ace為等腰三角形；如圖中, ad平分 bac, de ac,就 ade為等腰三角形； 如圖中, ad平分 bac, ce ab,就 ace為等腰三角形；如圖中, ad平分 bac, ef ad,就 age為等腰三角形.eeaaaaegbdcbc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.如圖,b abc中d,abcac,b在 ac上取點(diǎn)dp,過c點(diǎn) p 作 ef bc,交 ba的延長線于d點(diǎn)ef,垂足為點(diǎn)f

38、. 求證：. ae精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ap.e精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4.如圖, abc 中, ad平分 bac, e.f 分別在 bd. ad上,且 de cd, ef ac.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證： efab.e apbbcefaaaffdbdcecbc d圖 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載三.利用角平分線+垂線,構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中顯現(xiàn)角平分線和垂線時(shí),我們就可以查找到等腰三角形. 如圖 1 中,如 ad平分 bac,ad dc,就 aec為等腰三角形.5.如圖 2,已

39、知等腰rt abc中, ab ac, bac90°, bf 平分 abc,cd bd交 bf的延長線于d；求證： bf 2cd.ad四：其他方法總結(jié)1截長補(bǔ)短法6.如圖,已知：正方形abcd中, bac的平分線交bc于 e,求證： ab+be=ac2倍長中線法bec題中條件如有中線,可延長一倍,以構(gòu)造全等三角形,從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)；7 .如圖（ 7） ad為 abc的中線, be交 ac于 e,交 ad于 f,且 ae=ef精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證： ac=bfaefbdc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8.已知 abc,ad為

40、bc邊上的中線,分別以ab邊. ac邊為直角邊各向外作等腰直角三角形,如圖、 求證精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ef 2ad；3平行線法（或平移法）eafcdb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線,對rt 、 有時(shí)可作出斜邊的中線9. abc中,bac=60°, c=40° ap平分 bac交 bc于 p,bq平分 abc交 ac于 q, 求證：ab+bp=bq+aqa說明： 此題也可以在ab 截取 ad=aq,連 od,qd構(gòu)造全等三角形,即“截長補(bǔ)短a 法 ”oaqbcq精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

41、- - 歡迎下載po圖（ 1）doe精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 此題利用 “平行法” 解法也b較多,舉p 例如下： cabc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如圖（ 1）,過 o作 od bc交 ac于 d,就 ado abo來解決qp圖（ 2）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如圖（ 2）,過 o作 de bc交 ab于 d,交 ac于 e,就 ado aqo, abo aeo來解決obpc圖（ 3）d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如圖（ 3）,過 p 作 pd bq交 ab的延長線于d,就 apd apc來解決aqodbpc圖（

42、4）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載 如圖（ 4）,過 p 作 pd bq交 ac于 d,就 abp adp來解決10.已知：如圖,在abc中, a 的平分線ad交 bc于 d,且 ab=ad,作 cm ad交 ad的延長于m精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證：1am=2a（ ab+ac）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bd鞏固練習(xí)mc1.（ 20xx年浙江省紹興市）如圖,d,e 分別為 abc 的 ac , bc 邊的中點(diǎn),將此三角形沿de 折疊,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載使點(diǎn) c 落在 ab 邊上的點(diǎn) p 處如cde48°,就apd 等于（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 42°b 48°c 52°d 58°aabdcbdc2