第7章 有限長單位脈沖響應(yīng)FIR

1、第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.1 引言引言7.2 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 7.3 用窗函數(shù)法設(shè)計用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器濾波器 7.4 用頻率采樣法設(shè)計用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器濾波器 7.5 設(shè)計設(shè)計FIR濾波器的最優(yōu)化方法濾波器的最優(yōu)化方法7.6 FIR濾波器和濾波器和IIR濾波器的比較濾波器的比較7.7 數(shù)字濾波器的應(yīng)用數(shù)字濾波器的應(yīng)用第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器優(yōu)點：能助模擬濾波器設(shè)計；優(yōu)點：能助模擬濾波器設(shè)計； 簡單方便；簡單方便；缺點：相位非線性缺點：相位非線性FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器優(yōu)點：嚴(yán)格線

2、性相位；優(yōu)點：嚴(yán)格線性相位； 系統(tǒng)十分穩(wěn)定；系統(tǒng)十分穩(wěn)定； 可用可用FFT進行濾波進行濾波缺點：幅度特性較差；缺點：幅度特性較差； 設(shè)計繁瑣設(shè)計繁瑣7.1 引言引言 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.2 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點 設(shè)設(shè)FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為實序列系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為實序列 （長度（長度為為N），則其），則其Z變換為：變換為：顯然為關(guān)于顯然為關(guān)于Z-1的的 N-1階多項式，它在階多項式，它在Z平面上有平面上有N-1個零點、在原點有個零點、在原點有 N-1個重極點。個重極點。10Nnnz )n(h)z(H)(nh第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 如果如果FIR數(shù)字

3、濾波器的單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)是實數(shù)序是實數(shù)序列，列， 而且滿足偶對稱或奇對稱的條件，即而且滿足偶對稱或奇對稱的條件，即 或或 則濾波器就具有嚴(yán)格的線性相位特點。則濾波器就具有嚴(yán)格的線性相位特點。 n) 1h(Nh(n)n) 1h(Nh(n)7.2.1 線性相位條件線性相位條件第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 先看h(n)偶對稱的情況: h(n)=h(N-1-n) 0nN-1 （7-1）其系統(tǒng)函數(shù)為 1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH將m=N-1-n代入 1010)1()1()()()(NmmNmNmNzmhzzmhzH第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 即 )()(

4、1)1(zHzzHN上式改寫成 10212121)1(101)1(2)( )(21)()(21)(NnNnNnNnNnNnNzznhzzzznhzHzzHzH（7-2）（7-3）第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 濾波器的頻率響應(yīng)為 102121cos)(| )()(NnNjezjnNnhezHeHj（7-4）我們可以看到，上式的以內(nèi)全部是標(biāo)量，如果我們將頻率響應(yīng)用相位函數(shù)()及幅度函數(shù)H()表示 )()()(jjeHeH（7-5）第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 那么有： 212110N)(nNcos)n(h)(HNn（7-6） （7-7） 式(7-6)的幅度函數(shù)H()是標(biāo)量函數(shù)，可以包括正值、負值和零，

5、 而且是的偶對稱函數(shù)和周期函數(shù); 而|H(ej)|取值大于等于零, 兩者在某些值上相位相差。式(7-7)的相位函數(shù)()具有嚴(yán)格的線性相位，如圖7-1所示。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖 7-1 h(n)偶對稱時線性相位特性 2o()(N1)第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 數(shù)字濾波器的群延遲()定義為 21N)(dd)( （7-8） 式中，由式（7-8）可知，當(dāng)h(n)滿足偶對稱時，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有(N-1)/2個采樣的延時， 它等于單位脈沖響應(yīng)h(n)長度的一半。也就是說，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的輸出響應(yīng)整體相對于輸入延時了(N-1)/2個采樣周期。 再看h(n)奇對稱的情況: h(n)=-h(N

6、-1-n) 0nN-1 （7-9） 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 其系統(tǒng)函數(shù)為 10)1(10)1(1010)()()1()()(NmmNNmmNNnnNnnzmhzzmhznNhznhzH因此 H(z)=-z-(N-1)H(z-1) （7-10） 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 同樣可以改寫成 102121211 -N0n)1(1)1(2)()(21)()(21)(NnNnNnNnNnNzznhzzzznhzHzzHzH（7-11） 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 其頻率響應(yīng)為 102/21102121sin)(21sin)(| )()(NnjNjNnNjezjnNnhenNnhjezHeHj（7-1

7、2） 所以有: 221)(21sin)()(10NnNnhHNn（7-13）（7-14）第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 幅度函數(shù)H()可以包括正值、負值和零，而且是的奇對稱函數(shù)和周期函數(shù)。相位函數(shù)既是線性相位，又包括/2的相移，如圖7-2所示。可以看出，當(dāng)h(n)為奇對稱時，F(xiàn)IR濾波器不僅有(N-1)/2 個采樣的延時， 還產(chǎn)生一個90的相移。這種使所有頻率的相移皆為90的網(wǎng)絡(luò)，稱為移相器，或稱正交變換網(wǎng)絡(luò)。它和理想低通濾波器、理想微分器一樣，有著極重要的理論和實際意義。 當(dāng)h(n)為奇對稱時，F(xiàn)IR濾波器將是一個具有準(zhǔn)確的線性相位的正交變換網(wǎng)絡(luò)。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖 7-2 h(n

8、)奇對稱時線性相位特性 2o()223 N第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.2. 線性相位線性相位FIR濾波器頻響的特點濾波器頻響的特點)()()(jjeHeH)e(H)(Hj從前面的分析可知，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可寫成：其中：而線性相位濾波器的條件可表示為： n) 1h(Nh(n)第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 而系統(tǒng)函數(shù)可表示為：1021212111221NnNnNnN)N(zz)n(hz)z(Hz)z(H)z(H第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 1.h(n)偶對稱時：212110N)(nNcos)n(h)(HNn221)(21sin)()(10NnNnhHNn2.h(n)奇對稱時：21N)(dd)( 第7

9、章 有限長單位脈沖響應(yīng) h(n)偶對稱和奇對稱時線性相位特性 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.2.3 幅度響應(yīng)特性幅度響應(yīng)特性 1. 第一種類型：第一種類型： h(n)為偶對稱，為偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)從h(n)偶對稱的幅度函數(shù)式（7-6） nNcos)nh()(HNn2110可以看出，不但h(n)對于(N-1)/2 呈偶對稱，而且 也對(N-1)/2 呈偶對稱，nN21cosnNcosnNcos)nN(Ncos2121121第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 因此，內(nèi)第n項與第N-1-n項相等，兩兩相等的項合并，但由于N是奇數(shù)，兩兩合并的結(jié)果必然還剩下一項，即n=(N-1)/2項是單項，無法和其他項

10、合并，這樣，幅度函數(shù)就可以表示為 2/ )3(021cos)(221)(NnnNnhNhH再進行一次換元，即令 ，則上式可改寫為 mNn212/ )1(1)cos(21221)(NmmmNhNhH第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 可表示為 2/ )1(0)cos()()(NnnnaH（7-15） 式中: 21)0(Nha（7-16a） nNhna212)(n=1,2,3,(N-1)/2 （7-16b） 按照式（7-15），由于式中cos(n)項對=0,2皆為偶對稱，因此幅度函數(shù)H()對于=0, ，2也呈偶對稱。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 2. 第二種類型：第二種類型：h(n)為偶對稱，為偶對稱，N

11、為偶數(shù)為偶數(shù) 推導(dǎo)過程和前面N為奇數(shù)相似，不同點是由于N為偶數(shù)，因此式（7-6）中無單獨項，全部可以兩兩合并得 nNnhHNn21cos)(2)(12/0令，代入上式可得 mNn221cos22)(2/1mmNhHNm因此 21cos)()(2/1nnbHNn（7-17） 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 式中: nNhnb22)(n=1,2, 3, , N/2 （7-18） 按照式（7-17），當(dāng)=時， ，余弦項對=呈奇對稱，因此H()=0，即H(z)在z=ej=-1 處必然有一個零點，而且H()對=呈奇對稱。 當(dāng)=0或2時， 或-1，余弦項對=0, 2為偶對稱，幅度函數(shù)H()對于=0, 2也呈偶

12、對稱。 如果數(shù)字濾波器在=處不為零，例如高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計。 121cosn021cosn第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 3. 第三種類型：第三種類型： h(n)為奇對稱，為奇對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)將h(n)奇對稱的幅度函數(shù)式（7-13）重寫如下： 1021sin)()(NnnNnhH 由于h(n)對于(N-1)/2 呈奇對稱，即h(n)=-h(N-1-n)，當(dāng)n=(N-1)/2時， 2121121NhNNhNh因此，, 即h(n)奇對稱時，中間項一定為零。此外，在幅度函數(shù)式（7-13）中， 也對(N-1)/2 呈奇對稱。 021NhnN21sin第7章 有限長單位

13、脈沖響應(yīng) nNnNnNN21sin21sin)1(21sin因此，在中第n項和第(N-1-n)項是相等的，將這兩兩相等的項合并，共合并為(N-1)/2， 即 nNnhHNn21sin)(2)(2/ )3(0第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 令 ， 則上式可改寫為 mNn21)sin(21)(2)(2/ )1(1mmNnhHNm即 )sin()()(2/ )1(1mncHNn式中: nNhnc212)(n=1, 2, 3, , (N-1)/2 （7-20） （7-19） 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 由于sin(n)在=0, , 2處都為零，并對這些點呈奇對稱， 因此幅度函數(shù)H()在=0,2處為零，即H

14、(z)在z=1上都有零點，且H()對于=0,2也呈奇對稱。 如果數(shù)字濾波器在=0, , 2處不為零，例如低通濾波器、 高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計， 除非不考慮這些頻率點上的值。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 4. 第四種類型：第四種類型：h(n)為奇對稱，為奇對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù) 和前面情況3推導(dǎo)類似，不同點是由于N為偶數(shù)，因此式（7-13）中無單獨項，全部可以兩兩合并得 12/01021sin)(221sin)(2)(NnNnnNnhnNnhH令， 則有 mNn221sin22)(2/1mmNhHNm第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 因此 21sin)()(2/1nndHN

15、m式中: 2/, 3 , 2 , 122)(NnnNhnd（7-22） （7-21） 由式（7-21），當(dāng)=0, 2時， ，且對=0, 2呈奇對稱，因此H()在=0, 2處為零，即H(z)在z=1 處有一個零點，且H()對=0, 2也呈奇對稱。 021sinn第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 當(dāng)=時， 或1，則 對=呈偶對稱，幅度函數(shù)H()對于=也呈偶對稱。 如果數(shù)字濾波器在=0, 2處不為零，例如低通濾波器、 帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計。 最后, 將這四種線性相位FIR濾波器的特性示于表7-1中。 121sinn21sinn第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 表表7-1 四種線性相位濾波器四

16、種線性相位濾波器 偶對稱單位沖激響應(yīng)h(n) h(N1 n)相位響應(yīng)21)(N情況1()o( N1)情況2N為奇數(shù)h(n)0N1nna(n)21NN為偶數(shù)h(n)0nN1b(n)01 22Nn2/ )1(0cos)()(NnnnaHH()o2/1 21 cos)()(NnnnbHH()2o0第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 表表7-1 四種線性相位濾波器四種線性相位濾波器 N為奇數(shù)h(n)0nN1C(n)0121NnN為偶數(shù)h(n)0N1nd(n)012Nn221)(N相位響應(yīng)情況3()2o 23 N情況42/ )1(1)sin()()(NnnncHH()o22/121sin)()(NnnndHH(

17、)o2第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.2.4 線性相位線性相位FIR濾波器的零點位置濾波器的零點位置 由式（7-2）與式（7-10）可以看到， 線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)有以下特點： H(z)=z-(N-1)H(z-1) （7-23） 因此，若z=zi是H(z)的零點，即H(zi)=0，則它的倒數(shù)z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零點，因為H(zi-1)=zi (N-1) H(zi)=0; 而且當(dāng)h(n)是實數(shù)時，H(z)的零點必成共軛對出現(xiàn)，所以z=zi*及z=(z*i)-1也一定是H(z)的零點，因而線性相位FIR濾波器的零點必是互為倒數(shù)的共軛對。這種互為倒數(shù)的共軛對有四種可能性

18、： 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) (1) zi既不在實軸上，也不在單位圓上，則零點是互為倒數(shù)的兩組共軛對，如圖7-3(a)所示。 (2) zi不在實軸上，但是在單位圓上，則共軛對的倒數(shù)是它們本身，故此時零點是一組共軛對，如圖7-3(b)所示。 (3) zi在實軸上但不在單位圓上，只有倒數(shù)部分，無復(fù)共軛部分。故零點對如圖7-3(c)所示。 (4) zi既在實軸上又在單位圓上，此時只有一個零點，有兩種可能， 或位于z=1， 或位于z=-1，如圖7-3(d)、 (e)所示。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖圖 7-3 線性相位線性相位FIR濾波器的零點位置圖濾波器的零點位置圖 011jImzRezz1z

19、1*11z11z221zz0RezjImz110RezjImz110RezjImz110RezjImz11221zz11zz1(a)(b)(c)(d )(e)第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 由幅度響應(yīng)的討論可知，第二種類型的線性相位濾波器由于H()=0， 因此必然有單根z=-1。第四種類型的線性相位濾波器由于H(0)=0, 因此必然有單根z=1。而第三種類型的線性相位濾波器由于H(0)=H(）=0， 因此這兩種單根z=1 都必須有。 了解了線性相位FIR濾波器的特點，便可根據(jù)實際需要選擇合適類型的FIR濾波器，同時設(shè)計時需遵循有關(guān)的約束條件。下面討論線性相位FIR濾波器的設(shè)計方法時，都要用到這些特

20、點。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.2.4 舉例舉例 例例 7-1 如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 01)(nh0n4 其他n 顯然，這是第一種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 )(2405)2/sin()2/5sin(11)(jjjnjjnjjeeeeeeeH）（該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖7-4中。因為h(n)的長度N=5， 群延遲也是整數(shù)，()=(N-1)/2=2。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖圖 7-4 例例7-1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a） 振幅特性振幅特性; (b) 相位相位; (c) 群延遲群延遲 52.501.250022320223202232420

21、2443210()(a)(b)(c)3.7)(ejH()第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 例例 7-2 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 01)(nh0n5 其他n h(n)為偶對稱且長度N=6，因此，這是第二種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 )2/sin()3sin(11)(25506jnjjnjjeeeeeH該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖7-5中。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖7-5 例7-2系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延遲 4.53.01.50022320223202232()4202443210(a)(b)(c)(ejH()第7章 有限長單位脈沖響

22、應(yīng) 例例 7-3 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=(n)-(n-2) )sin(2)sin(2)(1)(22jjjjjjjjejeeeeeeH該系統(tǒng)的振幅、 相位和群延遲示于圖7-6中。 h(n)為奇對稱且長度N=3，因此，這是第三種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖 7-6 例7-3系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延遲 0223202232022303.01.501.53.02.01.51.00.50(a)(b)(c)()(ejH()第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 例例 7-4 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(

23、n)=(n)-(n-1) 該系統(tǒng)的振幅、 相位和群延遲示于圖7-7中。 h(n)為奇對稱且長度N=2，這是第四種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖7-7 例7-4 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延遲 022320223202230.803.01.501.53.02.01.51.00.50()()(ejH第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 例例 7-5 一個FIR線性相位濾波器的單位脈沖響應(yīng)是實數(shù)的， 且n6 時h(n)=0。 如果h(0)=1且系統(tǒng)函數(shù)在z=0.5ej/3和z=3 各有一個零點，H(z)的

24、表達式是什么？ H1(z) =(1-0.5ej/3 z-1)(1-0.5e-j/3z-1) =1-0.5z-1+0.25z-2 解解 因為n6 時h(n)=0，且h(n)是實值，所以當(dāng)H(z)在z=0.5ej/3 有一個復(fù)零點時，則在它的共軛位置z=0.5e-j/3 處一定有另一個零點。這個零點共軛對產(chǎn)生如下的二階因子： 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 線性相位的約束條件需要在這兩個零點的倒數(shù)位置上有零點，所以H(z)同樣必須包括如下的有關(guān)因子： 21113/113/2421)5 . 0(1)5 . 0(1 )(zzzezezHjj 系統(tǒng)函數(shù)還包含一個z=3 的零點，同樣線性相位的約束條件需要在z

25、=1/3 也有一個零點。 于是，H(z)還具有如下因子： 113311)31 ()(zzzH第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 由此，我們有 112121311)31)(421)(16. 04 . 01 ()(zzzzzzAzH最后，多項式中零階項的系數(shù)為A，為使h(0)=1，必定有：A=1。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 設(shè)濾波器要求的理想頻響特性為 , 則FIR濾波器的設(shè)計問題就在于：尋求某一系統(tǒng)函數(shù) ，使該系統(tǒng)頻響特性 逼近 ；若要求FIR波器具有線性相位特性線性相位特性，則 h(n)必須滿足上節(jié)所述的奇對稱或偶對稱條件。jezjzHeH| )()()(jdeH7.3 用窗函數(shù)法設(shè)計用窗函數(shù)法設(shè)計

26、FIR濾波器濾波器 10Nnnz )n( h)z(H設(shè)計方法：窗函數(shù)法（傅立葉級數(shù)法）設(shè)計方法：窗函數(shù)法（傅立葉級數(shù)法）、頻率采樣法頻率采樣法、等波紋最佳逼近法。等波紋最佳逼近法。)(jdeH第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.3.1窗函數(shù)設(shè)計的基本方法窗函數(shù)設(shè)計的基本方法1 1、設(shè)計思想、設(shè)計思想: : 在時域內(nèi)，設(shè)計在時域內(nèi)，設(shè)計h(n)h(n)逼近理想逼近理想h hd d(n(n) )若給定理想濾波器的頻響為 ，則可求得單位脈沖響應(yīng)：deeHnhjnjdd)(21)(可以看出， 為無限長且非因果。)(nhd)(jdeH第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 顯然：顯然：要得到一個“因果的有限長的濾波器因

27、果的有限長的濾波器 ” ”，最直接的方法是截斷 ，即用一個窗口函數(shù)w(n) 對 進行加窗處理，也就是：)(nhd)(nhd)(nh)()()(nwnhnhd 選擇窗口函數(shù)的形狀和長度選擇窗口函數(shù)的形狀和長度是窗函數(shù)法的關(guān)鍵。0)()(nhnhd0nN-1 其他 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 最簡單的截取方法，就是加一個矩形窗，即窗函數(shù)為矩形。 01)()(nRnwN0nN-1 其他 （7-27） 例如，要求設(shè)計一個FIR低通數(shù)字濾波器，假設(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為 0jjde)e(H|c c1 時成立。 此時，主瓣寬度為8/N, 比矩形窗主瓣寬度增加一倍， 但旁瓣卻小很多。 第7章 有限長單位

28、脈沖響應(yīng) 3. 漢寧（漢寧（Hanning）窗）窗漢寧窗又稱升余弦窗。 )(12cos121)(1sin)(2nRNnnRNnnwNN(7-42) 利用傅里葉變換特性，可得 2121)(121225. 0)(5 . 0)(NjNjRRRjeWeNWNWWeW(7-43) 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) NWNWWWRRR2225. 0)(5 . 0)(當(dāng)N1 時，N-1N, 所以窗函數(shù)的幅頻函數(shù)為 （7-44） 這三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，它的最大旁瓣值比主瓣值約低31dB。但是代價是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍， 即為 8/N。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 4. 海明（

29、海明（Hamming）窗）窗海明窗又稱改進的升余弦窗。把升余弦窗加以改進， 可以得到旁瓣更小的效果， 窗形式為 )(12cos46. 054. 0)(nRNnnwN (7-45) w(n)的頻率響應(yīng)的幅度特性為 NWNWWNWNWWWRRRRRR2223. 0)(54. 0121223. 0)(54. 0)( (7-46) 與漢寧窗相比，主瓣寬度相同，為 8/N，但旁瓣又被進一步壓低， 結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，它的最大旁瓣值比主瓣值約低41dB。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 5. 布拉克曼（布拉克曼（Blackman）窗）窗 布拉克曼窗又稱二階升余弦窗。 為了進一步抑制

30、旁瓣，對升余弦窗函數(shù)再加上一個二次諧波的余弦分量， 變成布拉克曼窗，故又稱二階升余弦窗。 )(14cos08. 012cos5 . 042. 0)(nRNnNnnwN (7-47) w(n)的頻率響應(yīng)的幅度特性為 141404. 0121225. 0)(42. 0)(NWNWNWNWWnwRRRRR (7-48) 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖 7-10 五種常用的窗函數(shù) 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖 7-11 圖 7-10 的各種窗函數(shù)的傅里葉變換（N=51），A=20 lg|W()/W()|(a) 矩形窗; (b) 巴特利特窗（三角形窗）; (c) 漢寧窗; (d) 海明窗; (e) 布

31、拉克曼窗 2040608010000A / dB4080200408012016020002040608010040801201602000(d)(e)0120160A / dBA / dBA / dBA / dB(a)(b)(c)第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖 7-12 理想低通濾波器加窗后的幅度響應(yīng)（N=51）, A=20lg|H()/H(0)|(a) 矩形窗; (b) 巴特利特窗（三角形窗）; (c) 漢寧窗; (d) 海明窗; (e) 布拉克曼窗 0306090120150A / dB(a)0306090120150A / dB(b)0306090120150(c)0306090120

32、130A / dB(d )A / dB(e)030609012013000A / dBccccc第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 6. 凱塞（凱塞（Kaiser）窗）窗這是一種適應(yīng)性較強的窗，其窗函數(shù)的表示式為 )()1/(21 1()(020INnInw0nN-1 （7-49） 式中，I0(x)是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)，是一個可自由選擇的參數(shù)。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖7-13 凱塞窗函數(shù) 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 理想低通濾波器加凱澤窗后的幅度響應(yīng)（N=51，=7.865）第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 表表7-2 凱塞窗的性能凱塞窗的性能第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 雖然凱塞窗看上去沒有初

33、等函數(shù)的解析表達式。但是，在設(shè)計凱塞窗時，對零階變形貝塞爾函數(shù)可采用無窮級數(shù)來表達 0202!1)(kkxkxI（7-50） 這個無窮級數(shù)，可用有限項級數(shù)去近似，項數(shù)多少由要求的精度來確定。 因而采用計算機是很容易求解的。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 表表7-3 六種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較六種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 幾種窗函數(shù)的比較幾種窗函數(shù)的比較 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 下面將窗函數(shù)法的設(shè)計步驟歸納如下：（1） 給定希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)。（2） 根據(jù)式（7-24）求單位脈沖響應(yīng)hd(n)。 deeHnhnjjdd)(21)(（3） 由過渡帶寬及阻帶最小

34、衰減的要求，可選定窗形狀， 并估計窗口長度N。第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) （4） 計算所設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 h(n)=hd(n)w(n) 0nN-1 （5）由h(n)求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 10)()(NnnznhzH 通常整個設(shè)計過程可利用計算機編程來實現(xiàn)，可多選擇幾種窗函數(shù)來試探，從而設(shè)計出性能良好的FIR濾波器。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 濾波器的過渡帶近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。因過渡帶近似與窗口長度成反比， NA/，A決定于窗口形式。例如，矩形窗A=4，海明窗A=8等，A參數(shù)選擇參考表7-3。按照過渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數(shù)形式。原則原則: 在保證阻帶衰減

35、滿足要求的情況下，在保證阻帶衰減滿足要求的情況下， 盡量選擇主瓣窄盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。的窗函數(shù)。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 例例 7-6 根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR低通濾波器。 通帶截止頻率p=0.2，通帶允許波動Ap=0.25dB； 阻帶截止頻率s=0.3，阻帶衰減As=50dB。 1 . 02 . 03 . 0ps 由表7-3可知，利用海明窗設(shè)計的濾波器的過渡帶寬=8/N，所以低通濾波器單位脈沖響應(yīng)的長度為 解解: 根據(jù)題意，所要設(shè)計的濾波器的過渡帶為 查表7-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于 50 dB的衰減。但海明窗具有較小的過渡帶從而具有較小的長度N。第7章 有限長

36、單位脈沖響應(yīng) 801 . 088N3 dB通帶截止頻率為 25. 02psc 由式（7-29）可知，理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 )n()n(sin)n(hcd21N海明窗為 )(12cos46. 054. 0)(nRNnnwN第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 則所設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 )n(RNncos.)n()n(sin)n(hNc12460540N=80 所設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)為 10)()(NnnjjenheH 利用計算機編程實現(xiàn)，結(jié)果如圖7-15 所示。圖7-15（a）是理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n); 圖7-15(b)是海明窗函數(shù); 圖7-15(c) 是實際低通濾波器

37、的單位脈沖響應(yīng)h(n); 圖7-15(d)是實際低通濾波器的幅頻特性|H(ej)|，以dB為單位。濾波器長N=80，實際阻帶衰減為As=53dB，通帶波動為Ap=0.0317 dB，均滿足設(shè)計要求。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖 7-15 例7-6中低通濾波器設(shè)計結(jié)果 0.3n0hd (n)20406000.1020406080h(n)(c)0.20020406080w (n)(a)nn(b)50050100150(d)20 lg|H(ej)| / |H(ej0)| /dB8000/2第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 窗口法設(shè)計的主要優(yōu)點是簡

38、單，使用方便。窗口函數(shù)大多有封閉的公式可循，性能、參數(shù)都已有表格、資料可供參考， 計算程序簡便， 所以很實用。缺點是通帶和阻帶的截止頻率不易控制。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.4 用頻率采樣法設(shè)計用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器濾波器 頻率采樣法是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ej)以等間隔采樣 )()(2/2kHeHeHdkNjdNkjd（7-53） 以此Hd(k)作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)的采樣值H(k)，即令 H(k)=Hd(k)=Hd(ej)|=2k/N k=0, 1, 2, , N-1 （7-54）知道H(k)后, 由IDFT定義, 可以用這N個采樣值H(k)來惟一確

39、定有限長序列h(n)，即 10)(1)(NknkNWkHNnhn=0, 1, 2, , N-1 (7-55） 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 式中，h(n)為待設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)。其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 10)()(NnnznhzH(7-56） 以上就是頻率采樣法設(shè)計濾波器的基本原理。此外，由頻域內(nèi)插公式知道，利用這N個頻域采樣值H(k)同樣可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH(7-57） 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.4.1 線性相位的約束線性相位的約束 如果我們設(shè)計的是線性相位的FIR濾波器，則其采樣值H(k)的幅度和相位一定要滿足前面所討

40、論的四類線性相位濾波器的約束條件。 （1） 對于第一類線性相位濾波器， 即h(n)偶對稱， 長度N為奇數(shù)時， H(ej)=H()ej() （7-58）式中： 21)(N（7-59）第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 第一類線性相位濾波器幅度函數(shù)H()關(guān)于=0, , 2為偶對稱，即 )2()( HH（7-60）如果采樣值H(k)=H(ej2k/N)也用幅值Hk（純標(biāo)量）與相角k表示， 即 kjkNkjeHeHkH)()(/2（7-61）并在=02之間等間隔采樣N點 kNk2k=0, 1, 2, , N-1 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 將=k代入式（7-59）與式（7-60)中，并寫成k的函數(shù), 有： k

41、NkkHHNkNkN11212（7-62） （7-63） 由式（7-63）可知，Hk滿足偶對稱要求。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) （2） 對于第二類線性相位FIR濾波器，即h(n)偶對稱，N為偶數(shù)，則其H(ej)的表達式仍為: 21)()()()(NeHeHjj但是，其幅度函數(shù)H()關(guān)于=是奇對稱的，關(guān)于=0, 2為偶對稱， H()=-H(2-) （7-64） 所以，這時的Hk也應(yīng)滿足奇對稱要求 Hk=-HN-k （7-65） 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) （3） 對于第三類線性相位FIR濾波器，即h(n)奇對稱，N為奇數(shù)，時， H(ej)=H()ej()式中： 221)(N 第三類線性相位濾波

42、器幅度函數(shù)H()關(guān)于=0, , 2為奇對稱，即 )2()(HH（7-66）（7-67）第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 將=k=2k/N代入式（7-66）與式（7-67）中，并寫成k的函數(shù)，得: 2112212NkNkNkkNkHH（7-68） （7-69） 即Hk滿足奇對稱要求。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) （4）對于第四類線性相位FIR濾波器，即h(n)奇對稱，N為偶數(shù)，則其H(ej)的表達式仍為: 221)()()()(NeHeHjj但是，其幅度函數(shù)H()關(guān)于=是偶對稱的，關(guān)于=0, 2為奇對稱， 即 )2()( HH（7-70） 所以，這時的Hk也應(yīng)滿足偶對稱要求 kNkHH而k則與前面公式

43、式（7-68）相同。 （7-71） 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.4.2 逼近誤差及其改進措施逼近誤差及其改進措施 頻率采樣法是比較簡單的，但是我們還應(yīng)該進一步考察， 用這種頻率采樣所得到的系統(tǒng)函數(shù)究竟逼近效果如何？如此設(shè)計所得到的頻響H(ej)與要求的理想頻響Hd(ej)會有怎樣的差別？在第 2章中，我們已經(jīng)知道，利用N個頻域采樣值H(k)可求得FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ej)，即 kNkHeHNkj2)()(10（7-72） 式中, ()是內(nèi)插函數(shù) 2/ )1()2/sin()2/sin()(NjeNN（7-73） 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 上式表明,在各頻率采樣點=2k/N，k=0,

44、 1, 2, , N-1上, (-2k/N)=1，因此，采樣點上濾波器的實際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等的。但是在采樣點之間的頻響則是由各采樣點的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而成的, 因而有一定的逼近誤差， 誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀。理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差越小。例如, 圖7-16(b)中的理想特性是一梯形響應(yīng)，變化很緩和，因而采樣后逼近效果就較好。反之，如果采樣點之間的理想頻率特性變化越陡，則內(nèi)插值與理想值的誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點附近，就會產(chǎn)生肩峰和起伏。例如, 圖7-16(a)中是一個矩形的理想特性，它在頻率采樣后出現(xiàn)的肩峰

45、和起伏就比梯形特性大得多。第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖 7-16 頻率采樣的響應(yīng) )(ejHN2H(k)(a)(b)oo)(ejdH)(ejH)(ejH第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖 7-17 加過渡帶（a） 一點過渡帶; (b) 二點過渡帶; (c) 三點過渡帶 cccooo(a)(b)Hc1Hc1Hc2Hc1Hc2Hc3Hd() , HkHd() , HkHd() , Hk(c)第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 如圖7-17所示， 在頻率響應(yīng)的過渡帶內(nèi)插入一個（Hc1）或兩個（Hc1，Hc2）或三個（Hc1，Hc2，Hc3）采樣點，這些點上采樣最佳值由計算機算出。這樣就增加了過渡帶，減小了頻帶

46、邊緣的突變，減小了通帶和阻帶的波動，因而增大了阻帶最小衰減。這些采樣點上的取值不同，效果也就不同，從式（7-72）可看出，每一個頻率采樣值都要產(chǎn)生一個與內(nèi)插函數(shù)sin(N/2)/sin(/2)成正比并且在頻率上位移2k/N的頻率響應(yīng)，而FIR濾波器的頻率響應(yīng)就是H(k)與內(nèi)插函數(shù) 的線性組合。如果精心設(shè)計過渡帶的采樣值，就有可能使它的相鄰頻帶波動得以減小從而設(shè)計出較好的濾波器。 一般過渡帶取一， 二， 三點采樣值即可得到滿意結(jié)果， 在低通設(shè)計中，不加過渡采樣點時，阻帶最小衰減為-20 dB，一點過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計阻帶最小衰減可提高到 -44 dB到-54 dB 左右，二點過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計

47、可達-75 dB到-75dB左右，而加三點過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計則可達-85 dB到-95dB左右。 kN2第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 例例 7-8 利用頻率采樣法，設(shè)計一個線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，其理想頻率特性是矩形的 01| )(|jdeH0c 其他 已知c=0.5，采樣點數(shù)為奇數(shù)N=33。試求各采樣點的幅值Hk及相位k，也即求采樣值H(k)。 解解 N=33, 且低通濾波器幅度特性H(0)=1。由表7-1可知，這屬于第一類線性相位濾波器。第一類線性相位濾波器的幅度特性H()關(guān)于=為偶對稱， 即 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 21)()(NjjeHeH 且有： kjkeHkHHH)()2

48、()(則Hk滿足偶對稱特性，因而有： kNNkHHkkNk33322120k32 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 又 25. 83325 . 0)/2(,5 . 0Ncc故 01kH0k8, 25k32 9k24 kjkeHkH)(0k32 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 頻率采樣法的優(yōu)點是可以在頻域直接設(shè)計，并且適合最優(yōu)化設(shè)計; 缺點是采樣頻率只能等于2/N的整數(shù)倍，因而不能確保截止頻率c的自由取值，要想實現(xiàn)自由地選擇截止頻率，必須增加采樣點數(shù)N，但這又使計算量加大。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.5 設(shè)計設(shè)計FIR濾波器的最優(yōu)化方法濾波器的最優(yōu)化方法 采用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器方法簡單，通常會

49、得到一個性能相對很好的濾波器。但是在以下兩個方面的問題，這些濾波器的設(shè)計還不是最優(yōu)的： （1）通帶和阻帶的波動基本上相等，雖然一般需要2小于1，但是在窗函數(shù)法中不能分別控制這些參數(shù)。 所以，窗函數(shù)法需要在通帶內(nèi)對濾波器“過設(shè)計”（即通帶內(nèi)的技術(shù)指標(biāo)超過所要求的技術(shù)指標(biāo)），這樣才能滿足阻帶的嚴(yán)格要求。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) （2） 對于大部分窗函數(shù)來說，通帶內(nèi)或阻帶內(nèi)的波動不是均勻的，通常離開過渡帶時會減小。若允許波動在整個通帶內(nèi)均勻分布， 那么就會產(chǎn)生較小的峰值波動。 另一方面，對于一個給定的濾波器階數(shù)M（M=N-1），在所有頻帶內(nèi)波動的幅度最小。在這個意義上說，等波紋線性相位濾波器是最

50、優(yōu)的。所以，等波紋線性相位濾波器設(shè)計法又稱為等波紋最佳一致逼近設(shè)計法。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 一個FIR線性相位濾波器的頻率響應(yīng)可以寫成 ajjeHeH)()(（7-74） 式中，幅度H()是的實值函數(shù)。對于第一類線性相位濾波器 h(n)=h(N-1-n)式中，N是奇數(shù)。利用h(n)的對稱性可以將頻率相應(yīng)表示為 LkkkaH0)cos()()(（7-75） 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 式中，L=(N-1)/2，且有： 21)(21)0(NkhkaNha21, 2 , 1NkHd()是期望的幅度; W()是一個正的誤差加權(quán)函數(shù)， 它是為在通帶或阻帶要求不同的逼近精度而設(shè)計的。一般地，在要求

51、逼近精度高的頻帶， W()取值大; 要求逼近精度低的頻帶, W()的取值小。設(shè)計過程中W()為已知函數(shù)。設(shè)E()=W()Hd()-H() 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 是一個加權(quán)逼近誤差。等波紋濾波器設(shè)計問題就是求系數(shù)a(k)， 要求在一組頻率F上使E()的最大絕對值最小， |)(|maxmin)(EFka 例如，為了設(shè)計一個低通濾波器，頻率組F可以是通帶0, p和阻帶s, 內(nèi)的頻率，如圖7-18所示。過渡帶p, s是不關(guān)心的區(qū)域，求加權(quán)誤差最小時不作考慮，此時可以采用交錯定理求這個最優(yōu)化問題。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖 7-18 等波紋濾波器設(shè)計中的頻率組， 包括通帶0, p和阻帶s,

52、過渡帶p, s是不關(guān)心的區(qū)域H()112111ops不關(guān)心區(qū)域F第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 交錯定理：設(shè)F是0, 區(qū)間內(nèi)封閉子集的并集，對于一個正的加權(quán)函數(shù)W()， LkkkaH0cos)()(在F上，H()能成為惟一使加權(quán)誤差|E()|最大值最小的函數(shù)。 其充要條件是：在F上E()至少有L+2個交錯值。也就是說，在F上必須至少有L+2 個極值頻率， 01L+1 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 這樣E(k)=-E(k+1) k=0, 1, , L且 | )(|max| )(|EEFkk=0, 1, , L+1 交錯定理說明最優(yōu)濾波器是等波紋的。雖然交錯定理確定了最優(yōu)濾波器必須有的極值頻率（或波動）

53、最少數(shù)目，但是可以有更多的數(shù)目。例如，一個低通濾波器可以有L+2個或L+3 個極值頻率，有L+3 個極值頻率的低通濾波器稱作超波紋濾波器。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 由交錯定理可以得到： W(k)Hd(k)-H(k)=(-1)k k=0, 1, , L+1 式中， | )(|maxEF是最大的加權(quán)誤差絕對值，這些關(guān)于未知數(shù)a(0), , a(L)以及的方程可以寫成下面矩陣的形式： )()()()()() 1 ()0()(/) 1()cos()cos(1)(/) 1()cos()cos(1)(/1)cos()cos(1)(/1)cos()cos(111011111111000LdLdddLLL

54、LLLLHHHHLaaaWLWLWLWL第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 給定了極值頻率，就可以解關(guān)于a(0), , a(L)以及的方程。 為了求極值頻率，可以采用一種高效的迭代過程，稱作帕克斯-麥克萊倫（ParksMcClellan）算法。（更詳細的內(nèi)容，可參考文獻1。） 具體步驟如下： 估計一組初始極值頻率（可任選）。 解方程（7-76）求，可以證明的值為 1010)(/ )() 1()()(LkkkLkkdWkbHkb第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 式中： )cos()cos(1)(1, 0ikLkiikb 利用拉格朗日插值公式在極值頻率之間插值，計算F上的加權(quán)誤差函數(shù)。 先選擇使插值函數(shù)最大的L

55、+2 個頻率， 然后再選擇一組新的極值頻率。 如果極值頻率改變了，從步驟開始重復(fù)迭代過程。 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 一個設(shè)計公式可以用來計算一個低通濾波器的等波紋濾波器階數(shù)， 過渡帶寬度為f，通帶波動為1，阻帶波動為2， 該公式為 fN6 .1413)lg(1021(7-77) 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 例例 7-10 設(shè)計一個等波紋低通濾波器，通帶截止頻率p=0.3，阻帶截止頻率s=0.3，通帶波動1=0.01，阻帶波動2=0.001。 解解 利用式（7-77）計算濾波器階數(shù)，求 1026 .1413)lg(1021fN 由于我們希望阻帶內(nèi)的波動比通帶內(nèi)的波動小10倍，所以必須采用加權(quán)

56、函數(shù)對誤差加權(quán)： 101)(W0|0.3 0.35| 第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 圖 7-19 實際中，一般調(diào)用MATLAB信號處理工具箱函數(shù)remezord來計算等波紋濾波器階數(shù)N和加權(quán)函數(shù)W()，調(diào)用函數(shù)remezord直接求濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)。 20 lg|H(ej)| / dB020406080/ 4/ 2/ 4第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 7.6 FIR濾波器和濾波器和IIR濾波器的比較濾波器的比較 首先，從性能上說，IIR濾波器可以用較少的階數(shù)獲得很高的選擇特性，所用存儲單元少，運算次數(shù)少，較為經(jīng)濟而且效率高。但是這個高效率的代價是以相位的非線性得來的。 FIR濾波器可以得到嚴(yán)格的線性相位。 但是，如果需要獲得一定的選擇性，則要用較多的存儲器和較多的運算， 成本比較高， 信號延時也較大。第7章 有限長單位脈沖響應(yīng) 從結(jié)構(gòu)上