離散數(shù)學(xué)集合論部分綜合練習(xí)

1、1 離散數(shù)學(xué)集合論部分綜合練習(xí)本課程綜合練習(xí)共分3 次，分別是集合論部分、圖論部分、數(shù)理邏輯部分的綜合練習(xí)， 這 3 次綜合練習(xí)基本上是按照考試的題型安排練習(xí)題目，目的是通過綜合練習(xí)，使同學(xué)自己檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握。本次是集合論部分的綜合練習(xí)。一、單項(xiàng)選擇題1若集合 a=a，b，b= a，b， a，b ，則（）aa b，且 a bba b，但 a bca b，但 a b da b，且 a b2若集合 a2，a， a ，4，則下列表述正確的是 ( )aa， a ab a ac2ada3若集合 a a， a，1，2 ，則下列表述正確的是 ( )a a，aab2

2、ac aada4若集合 a=a，b， 1，2 ，b= 1，2，則（）ab a，且 b abb a，但 b acb a，但 b adb a，且 b a5設(shè)集合 a = 1, a ，則 p(a) = ( )a1, a b,1, a c,1, a, 1, a d1, a, 1, a 6若集合 a 的元素個(gè)數(shù)為 10，則其冪集的元素個(gè)數(shù)為（）a1024 b10 c100 d1 7集合 a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8上的關(guān)系 r=|x+y=10 且 x, ya ，則 r的性質(zhì)為（）a自反的b對稱的c傳遞且對稱的d反自反且傳遞的8設(shè)集合 a = 1，2，3，4，5，6 上的二元關(guān)系 r

3、=a , ba , ba , 且a +b = 8，則 r 具有的性質(zhì)為（）a自反的b對稱的c對稱和傳遞的d反自反和傳遞的9如果 r1和 r2是 a 上的自反關(guān)系，則 r1r2，r1r2，r1- r2中自反關(guān)系有（）個(gè)a0 b2 c1 d3 10設(shè)集合 a=1 , 2 , 3 , 4上的二元關(guān)系r = 1 , 1，2 , 2 ，2 , 3 ，4 , 4，2 s = 1 , 1 ，2 , 2，2 , 3，3 , 2 ，4 , 4，則 s是 r的（）閉包a自反b傳遞c對稱d以上都不對11設(shè)集合 a = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序關(guān)系的哈斯圖如圖一所示，若a 的子集 b = 3 , 4

4、 , 5 ，則元素 3為 b 的（）a下界b最大下界c最小上界d以上答案都不對12設(shè) a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，r 是 a 上的整除關(guān)系， b=2, 4, 6 ，則集合b 的最大元、最小元、上界、下界依次為( )a8、2、8、2 b無、 2、無、2c6、2、6、2 d8、1、6、1 13設(shè) a=a, b，b=1, 2 ，r1，r2，r3是 a 到 b 的二元關(guān)系，且 r1=, ，r2=, , ，r3=, ，則（）不是從 a 到 b 的函數(shù)ar1和 r2br2cr3dr1和 r3二、填空題1 設(shè)集合 a 有 n 個(gè)元素，那么 a 的冪集合 p(a)的元素個(gè)數(shù)為2 設(shè)集合

5、a a， b， 那么集合 a的冪集是應(yīng)該填寫： ,a,b, a, b 3設(shè)集合 a=0, 1, 2, 3，b=2, 3, 4, 5 ，r是 a 到 b 的二元關(guān)系，,bayxbyaxyxr且且則 r的有序?qū)蠟?設(shè)集合 a=0, 1, 2 ，b=0, 2, 4, r 是 a 到 b 的二元關(guān)系，,bayxbyaxyxr且且則 r的關(guān)系矩陣 mr5設(shè)集合 a=a,b,c，a 上的二元關(guān)系r=, ，s=, 則(r?s)1=6設(shè)集合 a=a,b,c，a 上的二元關(guān)系 r=, , , ，則二元關(guān)系 r具有的性質(zhì)是7若 a=1,2 ，r=|x a, y a, x+y=10，則 r 的自反閉包為8設(shè)集合

6、 a=1, 2 ，b=a, b ，那么集合 a 到 b 的雙射函數(shù)是2 4 1 3 5 圖一3 9 設(shè) a=a， b， c， b=1， 2， 作 f： ab， 則不同的函數(shù)個(gè)數(shù)為三、判斷說明題 （判斷下列各題，并說明理由）1設(shè) a、b、c 為任意的三個(gè)集合，如果ab=ac，判斷結(jié)論 b=c 是否成立？并說明理由2如果 r1和 r2是 a 上的自反關(guān)系，判斷結(jié)論：“ r-11、r1r2、r1r2是自反的”是否成立？并說明理由3 若偏序集 的哈斯圖如圖一所示，則集合 a 的最大元為 a，最小元不存在4若偏序集 的哈斯圖如圖二所示，則集合 a 的最大元為 a，最小元不存在5設(shè) n、r 分別為自然數(shù)集

7、與實(shí)數(shù)集，f：n r，f (x)=x+6，則 f 是單射四、計(jì)算題1設(shè)集合 a a, b, c ，b=b, d, e ，求（1）ba；（2）ab；（3）ab；（4）ba2設(shè) a= a, b, 1, 2 ，b= a, b, 1, 1 ，試計(jì)算（1）（a b）（2）（ab）（3）（ab） （ab）3設(shè)集合 a=1,2,1,2，b=1,2,1,2 ，試計(jì)算（1）（a b）；（2）（ab）；（3）ab4設(shè) a=0，1，2，3，4 ，r=|x a，y a 且 x+y0，s=|x a，y a 且 x+y 3，試求 r，s，r?s，r-1，s-1，r(r)5 設(shè) a=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8、 8, 9, 10, 11, 12， r 是 a 上的整除關(guān)系，b=2, 4, 6 （1）寫出關(guān)系 r的表示式；（2）畫出關(guān)系 r的哈斯圖；（3）求出集合 b 的最大元、最小元6設(shè)集合 a a, b, c, d 上的二元關(guān)系 r的關(guān)系圖如圖三所示（1）寫出 r的表達(dá)式；（2）寫出 r的關(guān)系矩陣；（3）求出 r27設(shè)集合 a=1，2，3，4，r=|x, y a；|x y|=1或 x y=0，試（1）寫出 r的有序?qū)Ρ硎荆唬?）畫出 r的關(guān)系圖；（3）說明 r滿足自反性，不滿足傳遞性五、證明題1試證明集合等式： a (bc)=(a b) (ac)2試證明集合等式a (bc)=(ab) (a c)圖

9、一圖二adbc圖三4 3設(shè) r 是集合 a 上的對稱關(guān)系和傳遞關(guān)系，試證明：若對任意a a，存在b a，使得 r，則 r是等價(jià)關(guān)系 4若非空集合 a 上的二元關(guān)系 r和 s是偏序關(guān)系，試證明：sr也是 a上的偏序關(guān)系參考解答一、單項(xiàng)選擇題1a 2b 3c 4b 5c 6a 7b 8b 9b 10c 11c 12b 13b 二、填空題12n2,a,b, a, b 3， 40110000115, 6反自反的7, 8, ，, 98 三、判斷說明題 （判斷下列各題，并說明理由）1解： 錯(cuò)設(shè) a=1, 2 ，b=1 ，c=2 ，則 ab=ac，但 b c2解：成立因?yàn)?r1和 r2是 a 上的自反關(guān)系，

10、即iar1，iar2。由逆關(guān)系定義和 iar1，得 ia r1-1；由 iar1，iar2，得 ia r1r2，ia r1r2。所以， r1-1、r1r2、r1r2是自反的。3解：正確對于集合 a 的任意元素 x，均有 r（或 xra），所以 a 是集合 a 中的最大元按照最小元的定義，在集合a 中不存在最小元4解：錯(cuò)誤集合 a 的最大元不存在， a 是極大元5 5解：正確設(shè) x1，x2為自然數(shù)且 x1x2，則有 f(x1)= x1+6x2+6= f(x2)，故 f 為單射四、計(jì)算題1解：（1）b a= a, b, cb, d, e= b （2）ab=a, b, c b, d, e= a, b

11、, c, d, e （3）ab=a, b, cb, d, e= a, c （4）ba= a bba= a, b, c, d, e b = a, c, d, e 2解：（1）（a b）= a, b, 2 （2）（ab）= a, b, 1, 2, a, b, 1 （3）（ab） （ab）= a, b, 2, a, b, 1 3解：（1）a b =1,2 （2）ab =1,2 （3）a b= ， ， ， ， ， ， ，, 4解：r=, s=, r?s=，r-1=，s-1= s，r(r)=ia5解：（1）r=i, , , , , , , , , , , , , , , （2）關(guān)系 r的哈斯圖如圖四（3

12、）集合 b 沒有最大元，最小元是：2 6解： r, , , 1000000001000101rmr2 = , , , ?, , , =, , 7解： （1）r=, , （2）關(guān)系圖如圖五（3）因?yàn)?,均屬于 r，即 a 的每個(gè)元素構(gòu)成的有序?qū)趓 中，故 r在a 上是自反的。因有與屬于 r，但不屬于 r，所以 r在 a 上不是傳遞的。1 2 3 4 6 9 5 7 8 10 11 12 圖四：關(guān)系r 的哈斯圖1 2 3 4 圖五6 五、證明題1證明 ：設(shè)，若 xa (b c)，則 xa 或 xb c，即 xa 或 xb 且 xa 或 xc即 xab 且 xac ，即 xt=(ab) (a c

13、)，所以 a (b c) (ab) (ac)反之，若 x(ab) (ac)，則 xa b 且 xa c，即 xa 或 xb 且 xa 或 xc，即 xa 或 xbc，即 xa (bc)，所以(ab) (ac) a (bc)因此 a (bc)=(a b) (ac)2證明：設(shè) s=a(bc)，t=(ab)(ac)， 若 xs，則 xa 且 xbc，即 xa 且 xb 或 xa 且 xc，也即 xab 或 xac ，即 xt，所以 s t反之，若 xt，則 xab 或 xac，即 xa 且 xb 或 xa 且 xc也即 xa 且 xbc，即 xs，所以 t s因此 t=s3設(shè) r 是集合 a 上的對稱關(guān)系和傳遞關(guān)系，試證明：若對任意a a，存在b a，使得 r，則 r是等價(jià)關(guān)系 證明：已知 r 是對稱關(guān)系和傳遞關(guān)系，只需證明r是自反關(guān)系a a， b a，使得 r，因?yàn)?r 是對稱的，故 r；又 r 是傳遞的，即當(dāng) r， r r；由元素 a 的任意性，知 r是自反的所以， r是等價(jià)關(guān)系4若非空集合 a 上的二元關(guān)系 r和