[教材]高考數(shù)學(xué)難點突破訓(xùn)練專輯(含解答)

1、2009屆高考數(shù)學(xué)難點突破訓(xùn)練專輯一、立體幾何1答案：8二、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法21答案：29三、應(yīng)用題47答案：54四.答案:73、立體幾何1將兩塊三角板按圖甲方式拼好，其中zb = zd = 90°, zacp = 30°, zacb = 45°, ac = 2,現(xiàn)將三角板acd沿ac折起，使d在平面abc上的射影恰好在ab上， 如圖乙.（1）求證：ad丄平面bdc ；求二面角d-ac-b的大??；（3）求異面直線ac與bd所成角的人小圖甲圖乙2. 如圖，在正三棱柱abc-ag中，各棱長都等于日,d、e分別是的屮點，（1）求證：防是界面直線ag與的公垂線段, 并求其

2、長度；（2）求二而角e-ag-c的大小；（3）求點g到平aec的距離.3. 如圖，在棱長為日的止方體abcd-axbcxdx中，e、廠分別為棱 初和 慮的3ae屮點，處交bdh.(1) 求二面角伙-ef -b的正切值；(2) 試在棱b、b上找一點必 使dm丄平面并證明你的結(jié)論;(3) 求點®到平而efb、的距離.4. 如圖，余三棱柱abcabg的底面是直角三角形，ac1cb, zabc=45° , 側(cè)面aiabbi是邊長為日的菱形，且垂直于底面abc, za1ab=60° , e、f分別是ab】、bc的屮點.(1) 求證 ef/平面 aiacg；(2) 求ef與側(cè)

3、面a.abb,所成的角;(3) 求三棱錐abce的體積.5. 已知直三棱柱abcaib1c沖，aabc為等腰直角三角形，zbac = 90° ,且 ab=aa., d、e、f 分別為 ba、gc、bc 的中點。c.ebf(i) 求證:de平面abc；(ii) 求證：丄平面aef；(iii) 求二面角baef的大小(用反三角函數(shù)表示)。6. 在直角梯形 abcd 中，za=zd=90° , ab<cd, si）丄平面 abcd, ab=ad=a,s d= 42a ,在線段sa上取一點e (不含端點)使ec=ac,截而cde與sb交 于點f。(i)求證：四邊形efcd為直

4、角梯形；(ii )求二而角b-ef-c的平而角的正切值；cd(iii)設(shè)sb的屮點為m,當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌賲?，能使dmc為直角三角形？ab請給出證明。7. 如圖，已知正四棱柱abcd - adcq的底而邊長為3,側(cè)棱長為4,連結(jié)ab , 過a作垂足為f,且af的延長線交3/于e。(i) 求證：卩3丄平面aec(ii) 求三棱錐b-aec的體積 (ttt)求二面角b-ae-c的正切值。8. 如圖.已知斜三棱柱abc-a.b,g的各棱長均為2,側(cè)棱與底面力兀所成 角罟，且側(cè)面嶠直丁底面椒.(1) 求證：點d在平面仙c上的射影為個的屮點;(2) 求二而角c- ab -b的大小；(3) 判斷qc與c/是否垂

5、直，并證明你的結(jié)論.,若zbed是9如圖，以正四棱錐v-abcd底面中心0為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系o-xyz. 其屮ox/bc, oy/ ab, e為 必屮點，正四棱錐底面邊長為2a,高為h.(1) 求 cos ( be , de )；(2) 記面bcv為,面dcv為二而角 vc- 的平面角，求z5£d.10.已知長方體 abcd abc、d 中，棱 ab=bc=3, bq =4,連結(jié) b、c ,過點作qc的垂線交cg 丁圧交b、c予f.(1)求證：£c丄平面ebd；(2) 求紉與平而a.bxc所成角的大小;(3)求二面角e-bd-c的大小.11.如圖，在正方休abc&

6、quot; a、bcd中，e、尸分別是bb、, d的中點.(1) 證明:adv d.f ；(2) 求mf與所成的角；(3) 證明：面力功丄面afd；(4) 設(shè)=2,求三棱錐fed的體積嶺“凹12. 已知 方休abcd-aibic1d1中，e為aa】上一點，平面bce丄平面bce,ab=bc=1, aai 二2。(1)求平面bce與平面bibe所成二面角a的大??；(文科只要求求uma )(2)求點a到平面btce的距離。9t20fls13. 已知正三棱柱abc-arg的底邊長為1，高為h(h>3),點m在側(cè)棱bb.±移 動，到底面abc的距離為x,且am與側(cè)面bcg所成的角為a

7、;(1 )(本問6分)若a在區(qū)|nj-,-±變化，求x的變化范圍;6 4(ii)(木問6分)若勁三，求麗與龐所成的角.614. 如圖所示，p垂直于正方形力財所在平面，佃=2, e是必的中點，帀與ae夾角的余弦值為(1) 建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，寫岀點e的坐標(biāo);(2) 在平面丹內(nèi)求一點尸，使礦丄平面財.入亠515如圖所示，已知直三棱柱abc-ac.中，zacb =90°,側(cè)面4目與側(cè)面ac 所成的二面角為60°，為側(cè)上的點，z£mg=30° , zcmc, =90° , ab = a.(1) 求別/與側(cè)面ac】所成角的正切值;(2) 求頂

8、點力到面bmc】的距離.16. 如圖，斜三棱柱abc aqg，已知側(cè)面b ：bbcc與底面abc垂直且z伽二90° , z b1bc = 60°, bc = bb、=2,若二面角 a-b.b-c 為 c v'7c；30。，7 a(i ) 證明 ac丄平面bbqc ；(ii) 求ad與平面bbqc所成角的正切值；(iii) 在平面aabxb內(nèi)找一點p,使三棱錐p-bb.c為正三棱錐，并求p到平面"dc距離17. 已知平行六面休abcd-ac.d.的底而為正方形，go分別為上、下底而 的屮心，且出在底面4bcd的射影是。(i) 求證：平面odc丄平面abcd(

9、ii) 若點e,f分別在棱上aabc上，rae = 2ea,問點f在何處時，ef丄仙(iii) 若za/b = 60",求二面角c-aa.-b的大小(用反三角函數(shù)表示)答案：1.（1）設(shè)d在如5的射影為0,則do丄平而abc ,.£）0丄bc , 乂 bc丄34, bc丄平面4db/. bc 丄 ad,又 aq 丄 cq, /. ad 丄平面 bdc（2）由（1） ad 丄 bd ,又 ad = ,ab = y , :.bd = 二。為 ab 中點 以ob為x軸，od為z軸，過o且與3c平行的直線為y軸建系，則a（李,0,0）, b（纟,0,0）, c （纟,v2,0）,d

10、（0,0,遲） 設(shè)坷=（x,y,z）為 t面 acd 的法向量，由 q ac = 0, ad = 0 ,可得勺=（1,一 1,一 1）易知可=(0,0,1)為平面abc的法向量,所以所求二面角為cos < ac, ad >=ac adac ad所以所求角為60。2.(1)取ac中點f,連接df.因為d是ac的中點，所以df/ cc,且df = -c g乂 bbhcc,疋是3目的中點，所以df be, df= be,所以四邊形 肋尸是平行四邊形，所以debf, de=bf.因為b冋丄abc. bf cabc,所以be】丄bf.又因為f是川；的屮點，是正三和形，所以 沁ac,bf=a.

11、因為 bb1bf, bb / cc,所以 bflcc、,所以 bf_lw acc.a 2又因為 ac. u而 acc.a,所以 bfl ac,因為 de"bf,所以 dei ac , dea. bbx,所以處是異而直線ac】與的公垂線段，且de 亠 . (2)因為bbjg, 2deibb,所以deicc、,又因為del ac,所以 化丄面acca又deu而aeg，所以面aeg丄面acc】，所以二面角e-ac.-c的大小為90°連接ce,則三棱錐a-cec的底面面積為旳,h = a 2 2所以“占弓爭筆八在三棱錐-aec中，底面磁ae = ce = a,則其高為曰，所以sme

12、c =設(shè)點g到平面力比的距離為r,由匕y旳譏"c得a孚春/，所以d 2a，即點g到平面宓的距離為些3.(1)連化，b】h ,則ef ac,因為ac1bd,所以bd1ef.因為丄平面abcd,所以丄礦，所以zbhb為二面角b.-ef-b的平面角.在rtjbhr r中bg, bh=-a.所以tag込肅=2®(2)在棱盼上取中點必 連dm ,因為濟丄平面b、bdd,所以efl d、m在正方形bbc中, 因為必f分別為財,力的中點，所以丄gm . 乂因為dc丄平面bcc&, 所以b.f1d.c,所以bf丄d.m ,所以®m丄平而efb (3)設(shè)®m與平面

13、防目交于點n,則qn為點d到平面efb】的距離.在_2r o2db； = d、n ®m.因為 db=a, dm =-a9 所以 d、n - 1 14口到平面efb,的距離為亍4.(1) va.abb.是菱形，e是ab沖點,.e是a】b中點,連ac tf是bc中點，ef化c a© u 平面 a1accl, ef c 平面 a1accl,ef/平面 a/cg(2) 作fg±ab交ab于g,連eg.側(cè)面aiabb丄平而abc且交線是abfg丄平面a.abb., a zfeg是ef與平面a.abb.所成的角由 abf, ac±bc, zabc=45°

14、, fg = -fb=- = bg2 4由 aa嚴(yán)abp, zaiab二60° ,eg=a /. tanzfeg = ,/. zfeg = 30°4 3（3）bce二vbc 由eg丄ab,平w a1abb1 丄平面 abc, aeg丄平面 abc= xacxbcxeg =f為bc的中點fbc5.解法一:(i)連接aib、a】e,并延長a】e交ac的延長線于點p,連接bp。a,由e為gc的中點,agcp可證aie=epd、e是ajb、aip的中點,debp 又bpu平面abc, de(z平面abc,de平面abc 4分(ii) v aabc為等腰直角三角形，bc丄af, 乂.

15、bb丄平面abc,由三垂線眾理可證時丄af 設(shè) ab=ala=a77qijlljb f2 =-a2, ef2 =-a2, b,e2 =-a1 24'4： bf +ef? = bf，bf丄fe afcfe = f, :.bf丄平面aef 9 分(ill)過f做fm丄ae于點m,連接dmtbif丄平面aef,由三垂線定理可證bn丄aezb.mf為二面角baef的平面角gc丄平面abc, af±fc,由三垂線沱理可證ef丄af在r/aef中，可求吩譽。在 rtabifm 中,zblfm=90° ,b f r-/. tan zb】 mf = = v5fm：zb】 mf =

16、arctanv5解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系0xyz二面角baef的大小為arctanv514分令 ab=aat = 4,則 a (0, 0, 0), e (0, 4, 2), f (2, 2,0), b (4, 0, 0), bi (4, 0, 4)2 分(i)同解法一 6分(tt)-y-»b, f = (-2, 2, -4), ef = (2, -2, -2)af = (2, 2, 0)b、f ef = (-2) x 2 + 2 x (-2) + (-4) x (-2) = 0b、f丄ef,:b、f丄eft tb、f af = (-2) x 2 + 2 x 2 + (-4) x

17、 0 = 0-3:.b f 丄 mf, a b f 丄 af afcfe = f,b】f丄平面aef 10分(hi) (有個別學(xué)生按超出課本要求的方法求解，按此標(biāo)準(zhǔn)給分)-*平面aef的法向量為b、f = (2, 2, -4),設(shè)平面bae的法向量為tttnae-二 0n= (x, y, z),ttnjb,a=0即+ z 二 0x + z = 0>-/ cos < n , bxf >7 訂6 亦|7| |喬|少x阿6令 x = 2,貝ljz = -2, y = l, n =(2, 1, -2)二面角baef的大小為arccos66.( i ). cd/ ab,血/u 平ilh

18、 sab :. cd/ 平而&而 efcdc 他 sa&ef,cd/ ef / z£) = 90°,.*. cd 丄 ad, 乂 sd 丄面 abcd * sd 丄 cd ,cd 丄平面 sad, cd a.ed 又 ef <ab<cd efcd為直角梯形(ii ) / cd 丄平 sad, ef / cd,ef 丄平面 sad ae 丄 ef,de 丄 ef,/. zaed 即為二面角defc的平面角eo tcd't 百v7c0e 中 ec? = ed1 + cd ffij ac2 = ad2 + cd2 jul ac = ec ed

19、= ad = a mde為等腰三角形, zaed = zead :. tgzaed = v2(hi)當(dāng)cd。時，admc為直角三角形=2ab ab = a,:. cd = 2a, bd = j ab2 + ad，=忑a 上bdc = 45° bc =邁q, bc 丄 bd 平面 abcd,:. sd 丄 bc,:. bc 丄平面 sbd 在asbd中，sd = db,m為 必中點，md丄sb md丄平面sbc、mc u平面sbc,:. md丄mc :. dmc為直角三角形7.(i) abcd -axbxcxdx 是正四棱柱丄平面abcd連ac, 乂底面abcd是正方形 ac-lbd由

20、三垂線定理知，d.b1ac同理，d.b1ae, aecac=adb丄平而aec5分(t t)b-aec = %-abc eb丄平面abceb的長為e點到平而abc的距離eb =ab2a rtaabe rtaaab* b-aec e-abc * eb1x93x3x23 24 _ 27t(ttt)連 cfcb丄平而aqba ,又bf1ae由三垂線定理知，cf1ae于是，zbfc為二面角b-ae-c的平面角 在 rtabe 中，bf =ba be =豈ae 5在心acbf 中，tgzbfc =-35zbfc = arctg 即二而和b-ae-c的正切角為|3&(1)如圖，在平面ba內(nèi)，過q作

21、丄肋于2側(cè)面ba丄平ilh abc,bq丄平面abc,是bq與平面 力比所成的角，.i ab,ba =60° .四邊形abba是菱形，a abb,為正三角形，是力的中點，即§在平面上的射影為/的中點.(2) 連結(jié)g?,為正三角形，乂平面4/丄平面?zhèn)€c,平w a.b a平面abc=ab,:.丄平而b,在平而內(nèi)，過作dea. ab、于僅 連結(jié) 處；則 處、丄伯， aced為二面角 gab-b的平面角在 rtace9中，c£> = 2sin60° = v3 ,連結(jié)ba】于0,則bo = ji , de所求二面角c- ab、-b的大小為arctan2.cd

22、:.tanzc££）= = 2.de(3) 答：qc丄c/,連結(jié)bg， bbg 是菱形 bc丄 b.cq丄平面b、d丄ab ,: bq丄力呂丄平面abc】， 丄c/.9依題意，0),八-，0), (-(號鈴,亦=（-込-z 2）,旋=（纟，丸，3,2 2 2 2 2 2 慶,3a aa 3a h h 3tz2 h2. be de = （ 一） + （一 ）+ - = + 2 22 22 224唾屮（-手+（守+（少冷皿bede=由向量的數(shù)量積公式，有（卻wt皿cos(be，(2) tcv = o銃)=竺0l be - de上bed是二而如乂由 c f a. 0), k(0,

23、 0,6/+力2扌皿弔弓亦戸血2+加-vc- 的平而角，be丄cv ,即有力），得cv =（臼，-白,力），且亦=（一¥3h2ibecv =a2a2+ = 0.即 h = 2a .2 2 6/+/, 一6/+(伍)2此時有c°s（be, de*說十盤制 t/.bed = (be , de ) = arccos(-) =tc -arccos.10.(1)連結(jié)化交肋于0,貝'j aca_bd,乂 i丄平面如7, a、cbq丄朋而aq丄平面qc,ac丄滋. bd a be= b, :. ac 丄平而 bed.（2）連結(jié)a,d,由b /cdd在平面aqc內(nèi)，由（1）是a&a

24、mp;丄訊.又人色丄剛；滋丄平面aqc ,即得尸為垂足.連結(jié)df,則乙edf為切與平而bxc所成的血12 由已知初=c=3, b|b=4,可求是b|c=5, bf =.916?79 cf=-f bf = 2 貝ljef=, ec = -.5 15204 49在 rt'edf中，sinzedf =,25一q 少與平而ac所成的介為arcsin 25(3)連結(jié)e0,由應(yīng)丄平面bdcq.如7丄劭知eo_bd.zf0c為所求二面角e-bd-c的平面角. “_9廿_3邁 ec , oc ，4 2 在rt eoc中，tan ze0c = 巫 oc 4 二面角e-bd-c的大小為arctan411如

25、圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方體的棱長為2,則d (0, 0, 0),a (2, 0, 0), a (0, 1, 0), dx (0, 0, 2), £ (2, 0, 2), e (2, 2, 1).(1) v ad= (-2, 0, 0), 1f= (0, 1, -2),冃喬瓦f = 2 x0 + 0x 1+ 0x (-2) =0則 cos & 二aedfi旋|喬|(2) a£= (0, 2, 1), d、f 二(0, 1, -2)設(shè)旋與 qf 的夾 角為 ，0x0 + 2xl + lx(-2)7o2+22+12 -7o2 + l + (-2)2= 90。，

26、即mf與qf所成的角為直角.(3) 由(1)知 ad 丄 df,由(2)知 4e 丄 qf,qf丄平面aed.又d、f u面a.fd, 面aedl面a.fd,.(4) 設(shè)力的中點為g連結(jié)血，gd,.fg / aq , fg / 面 aed.aa = 2 ,12. (1) tbc 丄平面平面bbie丄平面bce ,乂平面bce丄平bce ,.bte 丄平hbce,ace丄町e, be丄bjizbec就是平面bce與平面bbe所成二面角的平面角q。設(shè) zaeb= p,則 zabe二 0/. ae=abcot 0 =cot 0 ,aie二ab tan 0 二tan 0vae+eafaaf2,/.co

27、t 0 +tan /3 =2：tan 0 二 1.即 ae=a1e= 1在 rtacbe 中，bc=1, be=v2(2)在三棱錐c-aebi中，碼嚴(yán)丄,cb = 1,從而2 2鼻呻冷冷xi專在 rtabe 中，ce = yjbe2717 +bc2 = v3,eb, =72設(shè)a到平面bec的距離為h,則匕 _bec =a-becvc-aeb"v|6由已知壬“今所以吒13. (i)設(shè)bc的中點為d,連結(jié)ad、dm,在正aabc中，易知ad丄bc, 乂側(cè)面bcg與底面abc互相垂直，ad丄平面bcg,即zamd為am與側(cè)面bcg所 成的角，zamd二a,在 rtaadm 中，cosamd

28、二理2,am依題意bm即為點b到度面abc的距離，bm=x,口 a w r7 " vl + 4x271 + 4x2且 am =cos a =,即< c0s6z <，2 2血/ j1 + 4/羽22v1 + x fw 平面/為，可設(shè) f(x, 0, z)nef = (x l, -1, z l), ef 丄平 面 pcb>ef 丄而 n(x l, -1, z 1)(2, 0, 0) = 0nx = l.貝 0 喬丄 pc=>(x-l-l, z l)(0, 2, 2) = 0nz = 0,所以點尸的坐標(biāo)是(1, 0, 0),即點尸是必的中點.15. (1)三棱柱ab

29、c-a.b,g為直棱柱，zbac為二面角b,-aa-c的平面角， 所以zbac = 60° ,又zacb=90°bc丄側(cè)而連接伉；則是肪在 側(cè)面ag上的射影.所以zbmc為冊與側(cè)面ag所成的角.又zcmc, =90° ,2/.2<l + 4x21 + x2<3,解得返2<x<v2,ae_2m2j1 + 1 +加2 2mm = l,所以e點的坐標(biāo)是(1, 1, 1).即的變化范圍m,72；(ii) a = ,bpx = 時，即bm = v2,/.| am |= v3,6由于而 bc = (ab + ba7) bc =+ bc-cos120 +

30、0 = -,且而 bc= am bc cos < am.bc >，而 | 荒 |= 1, cos < am,bc >= -,upam與荒所成的角為arccos(-).6 6(還可按解答的圖形所示作輔助線，用常規(guī)方法解決)14. (1)如題圖以勿、dc、療所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐 標(biāo)系=>/! (2, 0, 0)、b (2, 2, 0), c (0, 2, 0),設(shè) p (0, 0, 2刃)=>f(1,1, iii),則 ae =(-1, 1, /)，dp= (0, 0, 2/zz),/32zamc =30° ,所以 z/1mc

31、= 60° .設(shè) bc = m ,貝 lj ac = m, mc = -m 所3 33tan zbmc = - . (2)過外作an丄mc .垂足為/v；因為an h mc、，所以an ii 而而mbc丄mbc、,過n昨nh lmb ,垂足為h,則aw是川到而mbc. 的距離，也即力到mbc|的距離.ab = a , ac = -, r zacn =30°，可得an=,24且zamn = 60q .所以mn=a. nh =mn-sinzbmc = ax= = -a .說明：本題(2)亦可 1212v1352利用匕m阻=人一噸來求解16.(1) 面b/c丄面 abc,因為面

32、b4gc c 面 bbcc=bc 9 ac丄bc,所以ac丄面bbgc .(2)取 bb中點 e,連接 ce,ae ,在 acbb】中，bb =cb = 2,acbb =60°/. cbb是正三角形，ce丄bb、,又ac丄面bb、c、c且碼 u面加",bb、丄ae,即zcea即為二而/fj a-b.b-c的平而角為30° , ac 丄面bb,cc , :.ac丄ce,在rt/seca 中，ce=75,.ac=cetan30° =1,乂 ac丄面bdc|c ,zcb/即ab,與面bbc、c所成的線面角，ar i在rfgca 中，tanzcb.a =-11

33、cb, 2cp 2(3) 在ce上取點片，使二一，則因為ce是bbc的屮線,是adbc pxe 的重心，在 aeca 中，過片作 p|p/g4 交 ae 于 p, v ac 丄面 bbcc , pp/ca pp、丄而即p點在平而上的射影是abcq的屮心，該點即為所求，ppac17. (1)連 ac,bd，ac則。為 ac,bd 的交點，0、為 a.c.,的交點。由平行六面體的性質(zhì)知：aox 0c且aq=oc 四邊形aqcq為平行四邊形，a.0 | qc 又a.0丄平面abcd /. qc丄平面abcd又 qc u平而o.dc平而o.dc丄平而abcd(h)作eh丄平面abcd,垂足為h,則eh

34、 | a0，點h在直線ac上,且ef在平面abcd±的射影為hf。由三垂線定理及其逆定理，知ef丄ad » fh | abv ae = 2ea, /. ah = 2h0 ,從而 ch =2ah.又. hf | ab,.cf = 2bf從而ef丄adocf = 2bf當(dāng)f為3c的三等分點(靠近b)時，有 ef 丄(iii) 過點0作0m丄人,垂足為m,連接bm。 £0丄平面abcd,人0丄03乂v 0b丄0a /. 0b丄平面a.a0。由三垂線延理得aa,丄mbz0mb為二面角c-aa.-b的平面角。在 rtaamb ，zmab = 60°又注。弓細(xì)吩半.

35、-.zarcsmm®c aa 83>7、j 和:、數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法1. 如圖，曲線>'2 =-°)上的點'與x軸的正半軸上的點q及原點°構(gòu)成一系列正三角形0p1q1, aq1p2q2, .aqn-lpnqn.設(shè)正三角形°"-必2的邊長為色 °),°(s”,0). (1)求嗎的值；q)求數(shù)列色的通項公式勺。ww.wks5u co.m2. 設(shè)mm 都是各項為正數(shù)的數(shù)列,對任意的正整數(shù)刃，都有色，比,+】成等差數(shù)列, 氏,也+、成等比數(shù)列.(1) 試問'是否成等差數(shù)列？為什么？(2) 如果珀“上

36、產(chǎn)伍，求數(shù)列1勺的前斤項和s“.3. 已知等差數(shù)列色中，勺=& »=66.(i) 求數(shù)列(的通項公式；bn =-1ne n+),數(shù)列仇,滿足"色t(ii) 設(shè) s + l) ,人=勺+e+ 仇，求證：7；. >63d=4. 已知數(shù)列色中5 ,(72 e n+)(1) 求證數(shù)列仇是等差數(shù)列；(2) 求數(shù)列色屮的最人項與最小項，并說明理由;lim( 1)久(3) 記+$ + .+仇，求“+i.5.已知數(shù)列an中,al>0,且 an+l=7. 己知數(shù)列仏各項均不為0,具前項和為幾，且對任意応n”，都有(i )試求al的值，使得數(shù)列an是一個常數(shù)數(shù)列；(ii )

37、試求al的取值范圍/吏得an+l>an對任何自然數(shù)n都成立；(iii) 若 al 二 2,設(shè) bn = | an+1 an| (n = 1, 2, 3, ),并以 sn 表示數(shù)列bn的前 n 項的2和，求證：sn< 26. (1)已知:*(0 + oo),1 1 1 丨 | 1 1i< in n < (2)已知：nenn>2f 求證:23 n2 n -1of(n)=1 + c> % + c：.如 + + c： . a”2s(1) 求a”；比較/s + 1)與彳卩的大小hg 7v(3)求證:2"tn i 1(25)即憐2/7-1/?g at).8.

38、已知必"，各項為正的等差數(shù)列仏“滿足 。2 5二21,偽+他=1° , 乂數(shù)列他仇的前”項和是sn =«(/? +(1) 求數(shù)列°訃的通項公式;(2) 求證數(shù)列仏”是等比數(shù)列；(3) 設(shè)5=仇嘰，試問數(shù)列匕有沒有最大項？如果有，求出這個最大項，如果沒有，說 明理由。9. 設(shè)數(shù)列仏訃前項和為呵且(3一)片+2恥“=加+ 3(皿n+),”其中口為常數(shù)口工3求證:是等比數(shù)列；3a h * = abn = -f(be nn>2),若數(shù)列vu的公比q二fg),數(shù)列的滿足2丄證:3”丿為等差數(shù)列,求加.10. 已知數(shù)列s滿足宀右'且3 + （-1）“嘰

39、2一2色+2（-1）1 = 0 ne n*（i）求勺，°4, a5f %的值及數(shù)列色的通項公式；（ii）設(shè)仇二° a2n ,求數(shù)列9“ 的前川項和 ；h.將等差數(shù)列s'所有項依次排列，并作如下分纟口：（4）血2衛(wèi)3），（。4衛(wèi)5，%衛(wèi)7），第一 組1項，第二組2項，笫三組4項，.，第n組2心項。記人為第n組中各項的和。已知 t3=-4 8,7； =0o（1）求數(shù)列s"的通項；（2）求人的通項公式;（3）設(shè)辺的前n項的和為求亠。12.設(shè)各項為正數(shù)的等比數(shù)列仏的首項2 ,前n項和為v ,且210s30-(2,0+l)s20+s10=0(i )求仏的通項;(ii

40、)求如s”的前n項和人。13.設(shè)數(shù)列”是首項為0的遞增數(shù)列，（wn）,sin-(x-an), rnnxealt,an+滿足：對于任意的"w o，l），£（x）二"總有兩個不同的根。（1）試寫出y=fmf并求出；（2）求%,并求出s”的通項公式；（3）設(shè)s” =d -+他_偽+ （-1）"一匕，求s“。14. 已知數(shù)列如衛(wèi)2,衛(wèi)30,其中，5是首項為i,公差為2的等差數(shù)列;% 心，皿20是公差為的等差數(shù)列;。20衛(wèi)21，<30是公差為的等差數(shù) 列（ > 0 ）.（i）若020=40,求d ； （ii）試寫出巾0關(guān)于的關(guān)系式，并求°30

41、的取值范圍；（iii）續(xù)寫已知數(shù)列，使得。，如，。是公差為的等差數(shù)列，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同（2）類似的問題（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進行研究， 你能得到什么樣的結(jié)論？（所得的結(jié)論不必證明）15. 一種計算裝置，有一數(shù)據(jù)入口 a和一個運算出口 b ,按照某種運算程序：當(dāng)從a 口 輸入自然數(shù)1時，從bu得到亍，記為/一??；當(dāng)從a 口輸入自然數(shù)"s'?）時， 在b 口得到的結(jié)果是前-個結(jié)果弘7的2®t）+ 3倍.（1）當(dāng)從a 口分別輸入自然數(shù)2 ,3,4時，從b 口分別得到什么數(shù)？試猜想/s）的關(guān) 系式，并證明你的結(jié)論；（2）記為數(shù)列/"）的

42、前項的和。當(dāng)從b 口得到16112195的倒數(shù)吋，求此吋對應(yīng) 的s“的值.16. 已知數(shù)列“,其前n項和sn滿足$曲=2/15“ +1（a是大于。的常數(shù)），且ai=i, a3=4.（1）求2的值；（2）求數(shù)列s"的通項公式an；（3）設(shè)數(shù)列"山”的前n項和為tn,試比較2與sn的大小.17. 定義：若數(shù)列人滿足九嚴(yán)瓷，貝ij稱數(shù)列仏為“平方遞推數(shù)列.已知數(shù)列他中, 4=2,且久+嚴(yán)2尤+2匕，其中“為正整數(shù).設(shè) = 2% + 1,證明：數(shù)列"川是“平方遞推數(shù)列，且數(shù)列的“為等比數(shù)列；設(shè)中“平方遞推數(shù)列仇的前兄項之積為耳,即兀=（2坷+1）（242+1）（2色+1）

43、,求 數(shù)列“的通項及人關(guān)于«的表達(dá)式；記5 = 1叫+i人,求數(shù)列k的前n項之和s”,并求使s” > 2008的n的最小值.042 r218. 在不等邊zxabc中，設(shè)a、b、c所對的邊分別為a, b, c,已知“”4, snt b , snt ccos a cosb cosc依次成等差數(shù)列，給定數(shù)列a , b , c .(1)試根據(jù)下列選項作出判斷，并在括號內(nèi)填上你認(rèn)為是正確選項的代號：cos 4 cosb cosc 數(shù)列 cl , b , c ( a.是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列c. 既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列).b.是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列d. 既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列(2)證

44、明你的判斷.19. 已知"是等差數(shù)列，其前n項和為sn,已知a2=8, s10=185,(1)求數(shù)列也"的通項公式；(2 )設(shè)= 10g2仇，證明仮是等比數(shù)列，并求其前n項和tn.20. 已知數(shù)列an中，(n = 2, 3, 4,)(i) 求的值；(ii) 證明當(dāng)n=2, 3, 4,時，21. 已知等差數(shù)列中，是其前n項的和r(i) 求數(shù)列的通項公式。(ii) 若從數(shù)列中依次収出第2項，第4項，第8項，第項，按原來的順序組成 一個新數(shù)列,求數(shù)列的前n項和。22. 已知正項等比數(shù)列滿足條件：也+。2 +6+0+他=121 ；°3125求%的通項公式.23. 已知函數(shù)

45、 f (x) =10§3 (ax+b)圖象過點 a (2, 1)和 b (5, 2).(1) 求函數(shù)f (x)的解析式；是否存在正數(shù)k,使得(2 )記=3"), n*(1)n k v2m +1對一切wn*均成立，若存在，求出k的最人值，若不存在，請說明理由.24. 已知 f(x)=log2(x+m),mgr(1) 如果f，f，f(4)成等差數(shù)列，求m的值;(2) 如果a,b,c是兩兩不等的正數(shù),且a,b,c依次成等比數(shù)列，試判斷f(a)+f(c)與2f(b)的人小 關(guān)系，并證明你的結(jié)論。ls4 *25. 已知等差數(shù)列an的公差d>o.sn是它的前n項和，又4 

46、6;與6 6的等比中項是存與釵的等差屮項是6,求an。26. 和仮分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列，它們的前四項和分別為120和60,而第二項與第四項的和分別是90和34,令集合人=02,空，尤, =*,_1_ _ 27. q知曲線c： '兀，c":'兀+ 2"3丘"。從c上的點2（兀，兒）作兀軸的垂線，交°”于點p“ ,再從點p“作y軸的垂線，交c于點2+1（陥】兒+j, 設(shè)州=1衛(wèi)=?！?i 耳，乞=兒兒+】。（i）求°】，2的坐標(biāo)；（ii）求數(shù)列仏的通項公式；（川）記數(shù)列仏心的前項和為幾,求證:n<3答案：p 遲3 j21解

47、：由條件可得i丿，代入y =兀（沖°）得423!ts” =q+a?+ + ©,.&+©”+嚴(yán)+” 2 “"+j；代入曲線尸=x（y2 0）并整理得.3 2n4 n+2 n+,.i于是當(dāng)n>2,ne_ rrf2111an = sn s-l =（t +1 一 - an） （-an 4 j 時，424213 2：；（色+|+%） = ?。ㄉ?1+£）（%+】一色）te+i >%一匕=>2,n nj即2433 |4?n = 1 時,s =_a；a2, - a2 =（舍去）2=n3乂 當(dāng)42 -333 所以數(shù)列% 是首項為3、公

48、差為3的等差數(shù)列，22. 由題意，得2氏（i）anu = bn bn+l（ 9、(1)因為%>°心>°,所以由式(2)得°呵二"+i,從而當(dāng)n>2時，色代入式（1）得 2bn=bbn+bnbn+l即2仇=b“_i+b沖(讓2)故'是等差數(shù)列.(2)由5=，b=伍反式，式，易得frx瀘'd迥 因此'的公差bn 二勺 +s 1）=?。?+ 1）得"如+ w + 2）（3）a 二論+ 1)又州=1也適合式(3),得"277 g n2所以 "w + 1)2（丄n n+js=2+<11、

49、1 2丿3>/j斤+ 1丿2n” + 1從而q + d =86-5 ,=>q=6,d = 26a. hd 661 23.解：(i）. an = 2 + 4d,22ib (ii) "(" +(川 +1)(2" + 4)71 +1 川 + 2t；1111111tn = b、+ 仏 h卜 * =11113丄_1_-2 /i + 2是遞增數(shù)列,a7；-ri=h4>lb =丄=!_511綣_124.(1)an - 1l(ub b =色i _ l ©i 一 ib =!'是首項為671-1公差為1的等差數(shù)列.（2）依題意冇久,而bn = -

50、+ (/? -1)-1 = n 3.521對于函數(shù) 兀一3.5 ,在x>3.5時，y>0,在（3.5, +°°）上為減函數(shù).i1an =1故當(dāng)n=4時，n-3.5取最大值3y =!”= < 0而函數(shù) 尤一3.5在x<3.5時，yvo,（x-3.5）-,在（一兀，3.5）上也為減函數(shù).故當(dāng)n = 3吋，取最小值，=-1.( 1w 52斤一5、5 + 1)(-尹丁)_s + 1)s_5)2 2bn =72-3.5hm 5 -也ht8恤 2（一 1）（ 75）"t8 （ + ）（_ 5）=23 +心5.（1）欲使數(shù)列an是一個常數(shù)數(shù)列，則an+l

51、=v 2= an3乂依al>0,可得an>0并解出：an= 23即 al = an =(ii)研究 an+1 an=(n>2)件+耳汪意到i丿>0因此，at以得出：an+l an, an an 1, an 1 an 2,，a2 al 有和同的符號 7'耍使an+l>an對任意白然數(shù)都成立，只須a2al>0即可. 卩 + q3、a 由 v 2>0,解得：ovale 2(iii)用與(ii)中相同的方法，可得2當(dāng)al> 2時，an+l<an對任何自然數(shù)n都成立.因此當(dāng) al=2 時，an+1 an<0sn= bl+b2+bn= |a2 al| + |a3 a2| + |an+lan|=al a2 + a2 a3han an+1=al_an+l=2 an+1(3 + %i3又：an+2二 v2< an+1,可解得 an+l> z3丄故 sn<2 2 = 26.(1)令 x1 <nt<t-l原不等式等價于令 f(t)=t-l-lnt,'/當(dāng)蟲(1，+°°)吋，有廠>°,函數(shù)f在疋(1，+°°)遞增f(t)>f即t-l<lnt1t-g = lnf l + -= >0另令，則有r g(t)在(