(完整)相似三角形難題集錦(含答案),推薦文檔

1、一、相似三角形中的動點問題1.如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AC=3 BC=4,過 點 B作射線 BB1/ AC.動點 D 從點 A 出發(fā)沿射線 AC 方向 以每秒 5個單位的速度運動，同時動點E 從點 C 沿射線AC 方向以每秒 3 個單位的速度運動.過點D 作 DHLAB于 H,過點 E 作 EF 丄 AC 交射線 BB1 于 F, G 是 EF 中點，連接 DG 設(shè)點 D 運動的時間為 t 秒.(1) 當(dāng) t 為何值時，AD=AB 并求出此時 DE 的長度；(2) 當(dāng)厶 DEGWACB 相似時，求 t 的值.(1) 當(dāng) x 為何值時，PQ/ BC?(2) APQ 與

2、CQB 能否相似？若能，求出 AP 的長; 若不能說明理由.沿 DA 邊從點 D 開始向點 A 以 1cm/s 的速度移動.如 果 P、Q 同時出發(fā)，用 t (s)表示移動的時間(Ovtv6)。(1) 當(dāng) t 為何值時， QAP 為等腰直角三角形？(2) 當(dāng) t 為何值時， 以點 Q A、 P 為頂點的三角形 與厶 ABC相似？求 CPQ 的面積 S (平方米)關(guān)于時間 t (秒)的函數(shù) 解析式；(2) 在 P, Q 移動的過程中，當(dāng) CPQ 為等腰三角形時， 求出 t 的值.二、構(gòu)造相似輔助線一一雙垂直模型6.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點 A 的坐標(biāo)為(2 , 1), 正比例函數(shù)y=kx

3、 的圖象與線段 OA 的夾角是 45，求 這個正比例函數(shù)的表達(dá)式.3.如圖 1，在 Rt ABC 中，二 ACB= 90, AC= 6, BC= 8, 點D 在邊 AB 上運動，DE 平分二 CDB 交邊 BC 于點 E, EM 丄 BD,垂足為 M, ENLCD 垂足為 N.(1) 當(dāng) AD= CD 時，求證：DE/ AC;(2) 探究：AD 為何值時， BMEWCNE 相似？度向 A 點運動，當(dāng) P 點到達(dá) B 點時，Q 點隨之停止運動.設(shè)運動的時間為 x.90, AB=6m BC=8m 動點 P 以 2m/s 的速度從 A 點出發(fā)， 沿AC 向點 C 移動.同時，動點 Q 以 1m/s

4、的速度從 C 點 出發(fā)，沿 CB 向點 B 移動.當(dāng)其中有一點到達(dá)終點時，它 們都停止移動設(shè)移動的時間為t 秒.5.如圖，在矩形 ABCD 中,AB=12cm, BC=6cm 點 P 沿AB 邊從 A 開始向點 B 以2cm/s 的速度移動；點 Q4.如圖所示， 在 ABC 中， BA= BC=20cm, AC= 30cm,點 P 從 A 點出發(fā)，沿著 AB 以每秒 4cm 的 速度向 B 點運動；同時點 Q 從 C 點出發(fā)，沿 CA以每秒 3cm 的速7.在厶 ABC 中，AB=： ,AC=4,BC=2 以 AB 為邊在 C 點的異側(cè) 作厶ABD使厶ABD為等腰直角 三角形，求線段 CD 的

5、長.13.在梯形 ABCD 中, AB/ CD AB= b, CD= a, E 為 AD邊上的任意一點， EF/ AB,且 EF 交 BC 于點 F,某同學(xué)在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實:12.四邊形 ABCC 中，AC 為 ABAD 的比例中項，且 AC 平分ZDAB9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形 ABCO 勺邊 0A 在 x 軸上, 邊0C 在 y 軸上，點 B 的坐標(biāo)為（1, 3）,將矩形沿對角 線 AC 翻折 B 點落在 D 點的位 置，且 AD 交 y 軸于點 E.那 么 D 點的坐標(biāo)為（）竺二1(1)當(dāng)時，3 + 2&A. 2=B.(1C. I13D.4 12DE?。?）

6、當(dāng)一 時，點+空?DE士EF= .當(dāng) 時,參照上述研究結(jié)論，請你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般結(jié)論，并給出證明.10.已知，如圖，直線 y= - 2x + 2 與坐標(biāo)軸交于 A、B 兩 點.以 AB 為短邊在第一象限做一個矩形 ABCD 使得矩形 的兩邊之比為 1 : 2。求 C、D 兩點的坐標(biāo)。三、構(gòu)造相似輔助線AX 字型11.如圖： ABC 中，D 是 AB 上一點，AD=AC BC 邊上的 中線 AE 交 CD 于 F。ALCF14.已知：如圖，在 ABC 中，M 是 AC的 中點，E、F 是 BC上 的兩點，且 BE= EF=FCo求 BN NQ QMD8.在厶 ABC 中

7、，AC=BCZACB=90 ,點 M 是 AC 上的一點，點N 是 BC 上的一點，沿著直線 MN 折疊，使得點 C 恰好落在邊 AB 上的 P 點.求 證：MC NC=AP PB.囹15.證明：(1)重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的(注：重心是三角形三條中線的交點)(2)角平分線定理：三角形一個角的平分線分 對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比例.19.已知，在 ABC 中作內(nèi)接4菱形CDEF設(shè)菱形的邊長為a 求證：二 1四、相似類定值問題16.如圖，在等邊厶 ABC 中，M N 分別是邊 AB AC 的中 點，D為 MN 上任意一點，BD CD 的延長線分別交

8、 AC AB 于點 E、F.113- +- =-求證18.如圖， 在 ABC 中， 已知 CD 為邊 AB 上的高， 正方形 EFG啲四個頂點分別在 ABC 上。1 1 1-+-=-上二二口17.已知：如圖，梯形 ABCD 中, AB/DC，對角線 AC BD 交于0,過 O 作 EF/AB 分別交 AD BC 于 E、F。1 I : :求證：一亠.五、相似之共線線段的比 例問題20. (1)如圖 1,點廣在平行四 邊形ABCD 的對角線 BD 上，一 直線過點 P 分別交 BA BC 的延 長線于點Q S,交于點氏 F .求證：PQ - FS PT(2)如圖 2,圖 3，當(dāng)點廣在平行四邊形

9、ABCD 的對 角線”或二三的延長線上時，二二工是否仍 然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理求證:圖223.已知如圖，P 為平行四邊 形 ABCD 勺對角線 AC 上一點，過 P 的直線與 AD BCCD 的 延長線、AB 的延長線分別相 交于點 E、F、G H.PE _PH求證：丁24.已知，如圖，銳角 ABC 中, ADL BC于 D, H 為垂心 （三角形 三條高線的交點） ；在AD上有一 點P,且/ BPC為直角.求證：PD2= AD- DH。于 F.求證：BP2=PE-PF .22.如圖，已知ΔABC 中，AD, BF 分別為 BC, AC 邊 上的高，

10、過 D 作 AB 的垂線交 AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延長線于 Ho 求證：DE2=EG?EH六、相似之等積式類 型綜合25.已知如圖， CD 是 Rt ABC 斜邊 AB 上的高，E 為 BC 的中 點，ED 的延長線交 CA 于 F。求證：21.已知：如圖， ABC中，AB= AC, AD 是中 線，P 是 AD 上一點， 過 C 作CF/ AB,延長 BP交 AC于E,交 CF26 如圖，在 Rt ABC 中，CD 是斜邊 AB 上的高，點 M 在 CD上，DFUBM 且與 AC 的延長線交于點 E.求證：(AEBACBM (2)AE CM = AO-CD七、相似基本模型

11、應(yīng)用30. ABCADEF 是兩個等腰 直角三角形，/ A=ZD=90, DEF的頂點 E 位于邊 BC 的中 占上八 、一 I* (1)如圖 1,設(shè) DE 與 AB 交于27.如圖， ABC 是直角三角形， / ACB=90 , CDLAB 于 D,E 是 AC 的中點，ED 的延長線與 CB 的延長線交于點 F.(1) 求證：(2) 若 G 是 BC 的中點，連接 GD GD 與 EF 垂直嗎？并 說明理由28.如圖， 四邊形 ABCDDEFG 都是正方形， 連接 AE、 CG,AE 與 CG相交于點 M, CG 與 AD 相交于點 N.求證：29.如圖，BD CE 分別是ABC 的兩邊上

12、的高， 過 D 作 DGL BC 于 G 分別交 CE 及 BA 的延長線于 F、Ho求證：(1) DG2= BG- CG (2) BG- CG= GF- GH31.如圖，四邊形 ABCD 和四邊形ACED 都是平行四邊形，點 R 為DE 的中點， BR 分別交 AC CD 于 點P、Q(1)請寫出圖中各對相似三角形(相似比為 1 除外)；(2)求 BP: PQ QR點 Ml, EF 與 AC 交于點 N,求證： BEMhACNE(2)如圖 2，將 DEF 繞點 E 旋轉(zhuǎn)，使得 DE 與 BA 的 延長線交于點 M EF 與 AC 交于點 N,于是，除(1) 中的一對相似三角形外，能否再找出一

13、對相似三角形 并證明你的結(jié)論.32.如圖，在 ABC 中，AD 丄 BC 于 D, DE 丄 AB 于 E, DF 丄AE _ ACAC于F。求證：如圖當(dāng)點 D 在點 E 左側(cè)，即：0WtW 1時，DE=3t+3-5t=3-2t.若厶 DEG 與 ACB 相似，有兩種情況：DS EG1厶 DE3AACB 此時亠- 一,3-2； 23-二.即：-4 ,求得：t=；DE EG2厶 DE3ABCA 此時 H -,3-2 21-二.如圖，當(dāng)點 D 在點 E 右側(cè)，即：t二時，DE=5t-（3t+3）=2t-3 .若厶 DEG 與 ACB 相似，有兩種情況：DE EG3厶 DE3AACB 此時丄二 二,

14、2-3 29-二.即：-4 ,求得：t=；DE EG4厶 DE3ABCA 此時-,2i-3217-ZZ -即： J -,求得：t= .39 17綜上，t 的值為 f 或或 f 或.3.答案：解：（1）證明：TAD=CD/A=ZACD/ DE 平分-CDB 交邊 BC 于點 E/CDE2BDE/CDB CDB 的一個外角答案： 1.答案： 解： （1 ） / ACB=90 , AC=3 BC=4 /AB=5又 AD=AB AD=5t40:丄CDB=/A+ZACD=2/ ACD/CDB=ZCDE+ZBDE=2/ CDEZ ACDZCDE10A=解得：- DE/ AC(2)ZNCEZMBE/ EML

15、 BD, EN 丄 CDBM3ACNE 如圖/NCE=ZMBE BD=CD又/ NCE+ZACD=ZMBE-ZA=90ZACD=ZA AD=CD AD=BD 仝 AB在 Rt ABC 中，J ACB= 90, AC= 6, BC= 8 AB=10 AD=5ZNCE=ZMEB/ EMLBD, EN 丄 CD BME ENC 如圖A D M BvZNCE=ZMEB EM/ CD CDLABv在 RtABC 中，JACB= 90 ,AC= 6,BC=8 AB=10vZA=ZA, ZADC=ZACBAC3AABCAD _ ACA_仝仆AC1g18AD =-=土 J.-18（2）能，AP=cm 或 AP

16、=20cmAP AQ*30-3A_ _1厶 APQ CBQ 則二匚匚,即二 二解得：.【一匚或.1（舍）此時：AP= cmAP AQ4 30-3x=二-2厶 APQ CQB 貝 U 丁-,即-； 二10A解得： （符合題意）40此時：AP= - cm40故 AP=“ cm 或 20cm 時，APQ 與 CQB 能相似.5. 答案：解：設(shè)運動時間為 t ,則 DQ=t , AQ=6-t , AP=2t ,BP=12-2t .（1） 若厶 QAP 為等腰直角三角形，貝 UAQ=AP即:6-t=2t , t=2 （符合題意） t=2 時，QAP 為等腰直角三角形.（2）ZB=ZQAP=90AQ _A

17、P6_爼1當(dāng) QAPAABC 時,一 I,即：二,6I 解得： 匚（符合題意）；AP _ AQ2i _ 6 -/2當(dāng) PAQ ABC 時,即：二 , 解得：二三（符合題意）.6 =當(dāng) -或： 二匚時， 以點 Q A、 P 為頂點的三角 形與 ABC相似.6. 答案：解：分兩種情況第一種情況，圖象經(jīng)過第一、三象限綜上：AD=5 或-時，BMEWCNE 相似.4.答案：解(1 )由題意： AP=4x, CQ=3x AQ=30-3x , 0C= 2, BD=AC= 1D 點坐標(biāo)為（2, 3）B 點坐標(biāo)為（1, 3）此時正比例函數(shù)表達(dá)式為：y= 3x第二種情況，圖象經(jīng)過第二、四象限情形二:rfBT號

18、r過點 A 作 AB 丄 0A 交待求直線于點 B，過點 A 作平行于 x 軸的直線交 y 軸于點 C,過點 B 作 BD 丄 AC則由上可知：=90由雙垂直模型知： OCMAADBPC _ AC _0AA （2, 1）,么 0 占=45：0C= 1 , AC= 2, A0= AB AD= 0C= 1 , BD= AC= 2 : D 點坐標(biāo)為（3, 1）: B 點坐標(biāo)為（3,- 1）1:此時正比例函數(shù)表達(dá)式為： y= I x諄塞GZ藍(lán)戌D乍円亡上時為嘰DF*遼廠書勺：忑噸干代F.VGJ，BC-2AAC+BC11KCBPOXVDFCF,些J3D為幫靈直龜三驚般BD=ABI,丄朋FBA907一亠駅

19、90情形三：A宦盤UFC申，oJnY二涵如圏/肖一皿=沁時；4IKIAM nMMuhM *連接QD這點 Q 詐R_q j,ECH = ABCAAFEA ADCCEHA CABAE EFCE _ EH二,AC/ EF= EHEH EPEF EFCE AE-十-=+ =- +- =.丄. AB CDAC AC1 11-+- =.，上工EF19.答案：證明：/ EF/ AC,DE/ BC口二 工廣一；=W 、ZS 二 ZBBFEA BCAAED ABCBE EFDE AE 5BC ABEF DEBE AEAE-BEd- +- = -+- =-1AB ABAB EF= DE= a1+1 _ 1.，二匚

20、匚.20.答案：(1)證明：在平行四邊形 ABCD 中, AD/ BC,/DRP=/ S,ZRDB=ZDBSDRPABSPPR _ DP同理由 AB/ CD 可證 PTMAPQBPT _ DP16.答案：證明:如圖，作 DP/ AB DQ/ AC則四邊形 MDPB 和四邊形 NDQC 均為平行四邊形且厶 DPQPR PT.(2)證明： 成立， 理由如下：在平行四邊形 ABCD 中, AD/ BC,/PRD=/S,ZRDP=ZDBSDRPABSP21.答案：證明：/ AB= AC, AD 是中線, AD 丄 BC,BP=CP/ 仁/2又/ ABC 玄 ACB/3=Z4/ CF/AB/3=ZF,/

21、4=ZF 又/ EPC 玄 CPFEP3ACPFEP _ PC BP2= PE- PF 即證所求22.答案：證明：TDE 丄 AB1= 90_= 90 _ 三AD0ADBEAE _ DE DE2=上二/ BF 丄 AC=90=90且_SJS一心ZEBG=ZHPH _ PA兀-PC又/3=Z4 APE CPFTH 為垂心 BE 丄 AC/EBC+ZBCA=90TAD 丄 BC 于 D/DAC+ZBCA=90/EBC=ZDAC 又/ BDH=ZADC=90BDHTAADCBD _ AD.J_._-f,即亠ZBPC 為直角， AD 丄 BC. PD2= BD·DC PD2=AD

22、·DH25. 答案：證明：TCD 是 Rt ABC 斜邊 AB 上的高，E 為BC 的中點 CE=EB=DE/B=ZBDE=Z FDABE3AHEA四邊形 ABCD 為平行四邊形AB/ CD, AD/ BC/仁/2，/GN H,Z5=Z6 PAHAPCG/B+ZCAB=90，/ACD+ZCAB=90/B=ZACDZFDA=/ ACDZF=ZFFDQAFCDFD _ AD二二亠ZADC/CDB=90, ZB=ZACDAC3ACBDAD _ AC72甘FD _ AC二-甘即26. 答案：證明：(1)：ZACB=ZADC= 90ZA+ZACD= 90ZBCM+ZACD= 90Z

23、A=ZBCM同理可得：ZMDIZMBDZCMB=ZCD+ZMBD= 90+ZMBDZADE=ZADC+ZMDI+90+ZMDHZADE=ZCMBAEDACBMAE_AD(2)由上問可知：芒芳芒 M ,即AE CM=AD-CB故只需證明即可ZA=ZA,ZACD=ZABCACDAABCAD _CD左麗，即卩AC CD=AD BC肚FD _ FB27. 答案：(1)將結(jié)論寫成比例的形式，可以考慮證明 FDBAFCD(已經(jīng)有一個公共角ZF)Rt ACD 中, E 是 AC 的中點 DE=AEZA=ZADEZADE 玄 FDBZA=ZFDB而ZA+ZACD=90ZFCD+ZACD=90ZA=ZFCDZF

24、CD 玄 FDB而ZF=ZF FBD FDCFD _ FB亍:匸匚 (2)判斷：GD 與 EF 垂直 Rt CDB 中,G 是 BC 的中點， GD= GB，.ZGDBZGBD 而ZGBD+ZFCD=90 又ZFCD=ZFDB ( 1 的結(jié)論).ZGDB+ZFDB=90GDI EF28. 答案：證明：由四邊形 ABCD DEFG 都是正方形可 知，ZADCZGDE=90，則ZCDGZADEN ADG+90 在. 和二三匸 G中= CD0)的圖象上，頂點 A2 在 x 軸的正半軸上，則 P2 點的坐標(biāo)為_ ，則點 P3 的坐標(biāo)為_ 。應(yīng)+1,-1)yC也O禺D A】Ex答案：P2(2, 1) P

25、2- I-. i2T. 一 卜:- 一:：.一- F - I.-二軸的平行線與過點 P2 作 y 軸的平行線相交于點N,若 2設(shè)烏的坐標(biāo)為又匚四邊巒耳與堺曲正方形J解檄二1-0舍)Jb=l+43*點&的樂標(biāo)為 3+1 - J3l) )+2、已知關(guān)于 x 的方程 x2+3x+a=0 的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和 等于 3，且關(guān)于 x 的方程(k-1 ) x2+3x-2a=0 有實根，且 k 為正整數(shù)，正方形 ABP1P2 的頂點 P1、P2 在反比例函數(shù)k 14、兩個反比例函數(shù)圖所示，點 P1、P2 在反比例函數(shù)圖象上，過點點 N ( m n)恰好在 y=x 的圖象上，貝 U NP1 與 NP2

26、 的 乘積是。答案：3答案：3(x1 , y1 ), P2 (x2 , y2),kP3( 1，-2 )都在反比例函數(shù)v0, x2 0,則下列式子正確的是(A.y1vy2v0B.y1v0vy2如圖，已知反比例函數(shù) y=x的圖象上有點 P, 分別作 x軸和 y 軸的垂線，垂足分別為 A、B, 形 OAPE 為正方形，又在反比例函數(shù)圖象上有點 過點 P1 分別作 BP 和 y 軸的垂線，垂足分別為 使四邊形 BA1P1B1 為正方形，則點在反比例函數(shù) y=x(x 0)的圖象上，有一系列點P1、P2、P3、Pn,若 P1 的橫坐標(biāo)為 2,且以后每 點的橫坐標(biāo)與它前一個點的橫坐標(biāo)的差都為2 .現(xiàn)分別過點

27、 P1、P2、P3、Pn 作 x 軸與 y 軸的垂線段， 構(gòu)成若干個長方形如圖所示，將圖中陰影部分的面積從左到右依次記為 S1、S2、S3、Sn,則 S1+S2+S3+-設(shè)P, ( 1, - ) /則1a1a刨辺形屮碼卩典正方形/-RtRtRt AJ*0B j=F |C=AjD-J*盧片OP尹嶺2 2A0D=4+a=-ja a29號的坐標(biāo)対a) )J把電的坐標(biāo)代入迸(*0 ,得到吟汀弓之 解得舍.?2( 2 1 )戈B0/X3、 如圖， 正方形 OABC 和正方形 反比例函數(shù)圖象上，且正方形(1)求反比例函數(shù)的解析式；6(2, 1)或(6,2)AEDF 各有一個頂點在一OABC 勺邊長為 2.

28、(2)求點 D 的坐標(biāo).A B分別在 x 軸和 y 軸答案：(1) y=xy=Xy=x在第一象限內(nèi)的圖象如P1 作 xJ11I11 y=x的圖象上，若 x1 )答案：DC. y1 y2 0過 P 點使四邊P1,A1、 B1,P1 的坐標(biāo)是答案：1BCy=x(x 0)圖象上，頂點 的正半軸上，求點 P2 的坐標(biāo).(2007?泰安)已知三點 P1如圖，已知 0P1A1 A1P2A2 A2P3A3均為等腰4別作 x 軸的平行線，與 y=-x的圖象交點依次是 Q1、Q2、Q3、Q2010,則點 Q2010 的橫坐標(biāo)是解：分廣軸的垂銭，垂足為片、務(wù)工則入口片斗*J血A/?屯左爲(wèi)價宜甬三甬巒還產(chǎn)匸神嚴(yán)則家

29、菇*解導(dǎo)狂 X 售去賃值）即P的IS坐標(biāo)為宀設(shè)氣吁耳叫Jll 則（2214C）c=4即（42+=）=4 ,解得C=2-2+43J（舍去負(fù)值，*即即潴坐標(biāo)栩卅b十口Ox答案：-8038解:根據(jù)題意.因為P的亂骯加軸.所山如和和丑血的縱坐櫬相同根據(jù)數(shù)剜.的排列規(guī)律，猖鴕皿個數(shù)為卒2代心弊仔島代Ay=- - 409= * -8030-散普憲対：如圖所示，正方形 OABC ADEF 的頂點 A, D, C 在坐1標(biāo)軸上；點 FAB 上，點 B, E 在反比例函數(shù) y=x（x 0）的圖象上.正方形 MNP 沖心為原點 O,且 NP/ BM,求正方形 MNPB 面積.求點 E 的坐標(biāo).答案：（1）正方形

30、MNPBM 積=4X正方形 OABC 的面積（2011 十堰）如圖，平行四邊形 AOBC 中,對角線交于如圖，四邊形 ABCD 為正方形，點A 在 x 軸上，點 B 在 y軸上，且 OA=2 OB=4 反比例函數(shù) y=x（k豐0）在第一象 限的圖象經(jīng)過正方形的頂點D.求反比例函數(shù)的關(guān)系式；將正方形 ABCD 沿 x 軸向左平移 _個單位長度時，點 C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上.12y（i）(2)兩個反比例函數(shù) y=x, y=-x的圖象在第一象限，第二象限如圖，點 P1、P2、P3P2010 在 y=x的圖象 上，它們的橫坐標(biāo)分別是有這樣規(guī)律的一行數(shù)列1,3,5, 7, 9, 11,，過點 P1、P2、P3、P2010 分8直角三角形，直角頂點P1、P2、P3、在函數(shù) y=x（x0）圖象上，點 A1、A2、A3、在 x 軸的正半軸上，則O答椿：過點E作IF丄DR于點F,過點AftAIM丄于點齊點 E,雙曲線 y=X( k 0)經(jīng)過 A, E 兩點，若平行四邊 形AOBO 的面積為 24,則 k=答案：8 tt孵:設(shè)出匸 I- i j f “口,，過丸作AB丄帰于Li前丄O&TP ,如囲D F