1998年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案(修正版)

1、1998年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第一試1. 設(shè)m1,那么m 的整數(shù)部分是 .2. 在直角三角形abc中,兩條直角邊ab,ac的長分別為1厘米,2厘米,那么直角的角平分線的長度等于 厘米.3. 已知x2x10,那么代數(shù)式x32x1的值是 .4. 已知m,n是有理數(shù),并且方程x2mxn0一個根是2,那么mn的值是 .5. 如圖,abcd為正方形,a,e,f,g在同一條直線上,并且ae5厘米,ef3厘米,那么fg 厘米.6. 滿足19982m219972n2 (0mn1998)的整數(shù)對 (m,n) ,共有 個.7. 設(shè)平方數(shù)y2是11 個連續(xù)整數(shù)的平方和,則y的最小值是 .pmabc8. 直角三角

2、形abc中,直角邊ab上有一點m,斜邊bc上有一點p, 已知mpbc，bmp的面積等于四邊形mpca的面積的一半, bp2厘米, pc3厘米,那么直角三角形abc的面積是 _平方厘米.gabcdef9. 已知正方形abcd的面積35平方厘米, e, f分別為邊ab, bc上的點, af, ce相交于點g,并且abf的面積為5平方厘米, bce的面積為14平方厘米,那么四邊形begf的面積是_平方厘米.10. 把100個蘋果分給若干個人,每人至少分一個,且每人分的數(shù)目各不相同,那么至多有_ 人.11. 設(shè)a，b為實數(shù),那么a2abb2a2b的最小值是 _.12. 在1, 2, 3,，98共98個

3、自然數(shù)中,能夠表示成兩整數(shù)的平方差的個數(shù)是 _.ba13. 在右邊的加法算式中,每一個表示一個數(shù)字,任意兩個數(shù)字都不相同,那么a與b乘積的最大值是 _.14. 直線ab和ac與圓o分別為相切于b,c兩點,p為圓上一點,p到ab,ac的距離分別為4厘米,6厘米,那么p到bc的距離為 厘米.15. 每一本書都有一個國際書號: a b c d e f g h i j ,其中a b c d e f g h i 由九個數(shù)字排列而成,j是檢查號碼.令s10a9b8c7d6e5f4g3h2i, x是s除以11所得的余數(shù),若x不等于0或1,則規(guī)定j11x.(若x0,則規(guī)定j0;若x1,規(guī)定j用x表示)現(xiàn)有一本

4、書的書號是962y707015,那么y .第二試1求所有正實數(shù)a,使得方程x2ax4a0僅有整數(shù)根.2已知p為abcd內(nèi)一點,o為ac與bd的交點,m、n分別為pb,pc的中點,q為an與dm的交點,求證:（1）p,q,o三點在一條直線上;（2）pq2oq.3. 試寫出5個自然數(shù),使得其中任意兩個數(shù)中的較大的一個數(shù)可以被這兩個數(shù)的差整除.1998年答案第 一 試1. 3 ， ，.2. 如圖，ad為直角a的平分線，過b作交ca的延長線于點e. ，又，.32 .43因為m、n為有理數(shù)，方程一根為，那么另一個根為，由韋達定理.得 ，.5由原圖 ， (厘米).616 , .顯然，對3995的任意整數(shù)分

5、拆均可得到(m,n)，故滿足條件的整數(shù)對(m,n)共(個).71111個相繼整數(shù)的平方和為,則y最小時，從而，.8 ， ， , ，. .9 ，同理,由原圖，連bg. 記，.又由已知 ，解之得 ， . .1013由題意，設(shè)有n人，分蘋果數(shù)分別為1,2,n100, n13，所以至多有13人.111 -1.當 ，即 ，時，上式不等式中等號成立，故所求最小值為1.1273對 (1m<n98 m,n為整數(shù))因為nm與n-m同奇同偶，所以x是奇數(shù)或是4的倍數(shù)，所以1至98共98個自然數(shù)中，滿足條件的數(shù)有492473個.1315設(shè)算式acfbbeadh+g顯然：g=1,d=9,h=0. a+c+f=1

6、0+b b+e=9+a a6. . .欲令a·b最大，取a5，b3，此時b,e為6,8;a,c,f為2,4,7，故a·b最大值為15.14如圖，.p,q,c,n四點共圓，p,q,b,n四點共圓,， ， ， (厘米).157 s被11除所得的余數(shù)等于7y1被11除所得的余數(shù).由檢查號碼可知，s被11除所得的余數(shù)是1156，因此7y被11除所得余數(shù)為615, y7第 二 試一、設(shè)兩整數(shù)根為x,y(xy)， 則ya,4x8.可推出， ，由于x為整數(shù), 時，； 時，； 時，a不是整數(shù)；時，.于是a25或18或16均為所求.二、證明 如原圖，連po，設(shè)po與an，dm分別交于點,.在中，為重心，在中，為重心，這樣，并且,就是an，dm的交點q.故p,q,o在一條直線上，且.三、1680，1692，1694，1695，1696為滿足條件的5個數(shù)（注：答案不唯一）以上5個數(shù)可用以下步驟找出：第一步：2,3,4為滿足要求的三個數(shù). 第二步：設(shè)a,a2,a3,a4為滿足條件的四個數(shù)，則a可被2,3,4整除.取a12，得滿足