2006年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案(修正版)

1、2006年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷1、在高速公路上，從3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標(biāo)志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀. 剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是( )(a) 36 (b) 37 (c) 55 (d) 902、已知m1，n1，且(7m214ma) (3n26n7)8，則a的值等于( ) (a) 5 (b) 5 (c) 9 (d) 93、rtabc的三個頂點(diǎn)a，b，c均在拋物線yx2上，并且斜邊ab平行于x軸. 若斜邊上的高為h，則( )(a) h1 (b) h1 (c) 1h2 (d) h24、一個正方形紙片，用

2、剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成兩部分如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形，則至少要剪的刀數(shù)是( )(a) 2004 (b) 2005 (c) 2006 (d) 2007poqabcd5、如圖，正方形abcd內(nèi)接于o，點(diǎn)p在劣弧ab上，連結(jié)dp，交ac于點(diǎn)q，若qpqo，則的值為( ) (a) 21 (b) 2 (c) (d) 2二、填空題6、已知a，b，c為整數(shù)，且ab2006，ca2005. 若ab，則abc的最大值為_.7、如圖，面積為ac

3、的正方形defg內(nèi)接于面積為1的正三角形abc，其中a，b，c是整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則的值等于_. 8、正五邊形廣場abcde的周長為2000米. 甲、乙兩分分別從a，c兩點(diǎn)同時出發(fā)，沿abcdea方向繞廣場行走，甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分，那么出發(fā)后經(jīng)過_分鐘，甲、乙兩人第一次開始行走在同一條邊上.9、已知0a1，且滿足aaa18 (x表示不超過x的最大整數(shù))，則10a的值等于_.10、小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的電話號碼. 小明發(fā)現(xiàn)，

4、他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是_.三、解答題11、已知x，a、b為互質(zhì)的正整數(shù)，且a8，1x1.(1)試寫出一個滿足條件x；(2)求所有滿足條件的x.12、設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式：求a的取值范圍.13、如圖，點(diǎn)p為o外一點(diǎn)，過點(diǎn)p作o的兩條切線，切點(diǎn)分別為a，b. 過點(diǎn)a做pb的平行線，交o于點(diǎn)c. 連結(jié)pc，交o于點(diǎn)e；連結(jié)ae，延長ae交pb于點(diǎn)k. okecbap求證： pe acce kb14、有2006個都不等于119的正整數(shù)a1，a2，a2006排列成一行數(shù)，其中任意連續(xù)若干項之和都不等于119，求a1

5、a2a2006的最小值. 參考答案（1）解：因?yàn)?和9的最小公倍數(shù)為36，193655，所以第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是在55千米處 故選c（2）解：由已知可得m22m1，n22n1又(7m214ma)(3n26n7)8，所以 (7a)(37)8，解得a9 故選c（3）解：設(shè)點(diǎn)a的坐標(biāo)為（a，a2），點(diǎn)c的坐標(biāo)為（c，c2）（|c|a|），則點(diǎn)b的坐標(biāo)為（a，a2），由勾股定理，得ac2(ca) 2(c2a2) 2，bc2(ca) 2(c2a2) 2， ac2bc2ab2， 所以 (a2c2) 2a2c2 .由于a2c2，所以a2c21，故斜邊ab上高h(yuǎn)a2c21 故選b（4）解：根據(jù)題

6、意，用剪刀沿不過頂點(diǎn)的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內(nèi)角和增加360°于是，剪過k次后，可得(k1)個多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為(k1)×360° 因?yàn)檫@(k1)個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內(nèi)角和為34×(622)×180°34×60×180°，其余多邊形有(k1)34k33(個)，而這些多邊形的內(nèi)角和不少于(k33)×180°所以(k1)×360°34×60×180°(k33)×180°，解得

7、k2005當(dāng)我們按如下方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結(jié)論先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形再取33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34個六十二邊形和33×58個三角形于是共剪了583333×582005（刀） 故選b（5）解：如圖，設(shè)o的半徑為r，qom，則qpm，qcrm，qarmoqpabcd在o中，根據(jù)相交弦定理，得qa·qcqp&

8、#183;qd即 (rm)(rm)m·qd ，所以 qd 連結(jié)do，由勾股定理，得qd2do2qo2，即 ()2r2m2 ，解得mr所以，2 故選d（6）解：由ab2006，ca2005，得abca4011因?yàn)閍b2006，ab，a為整數(shù)，所以a的最大值為1002于是，abc的最大值為5013（第7題圖）abcdgfe（7）解：設(shè)正方形defg的邊長為x，正三角形abc的邊長為m，則m2，由adgabc，可得 ，解得x(23)m于是 ：x2(23)m22848，由題意，a28，b3, c48，所以（8）解：設(shè)甲走完x條邊時，甲、乙兩人第一次開始行走在同一條邊上，此時甲走了400x米，

9、乙走了46×368x米于是368(x1)800400(x1)400，所以，12.5x13.5 故x13，此時 t104（9）解：因?yàn)?aaa2，所以a，a，a等于0或1由題設(shè)知，其中有18個等于1，所以aaa0，aaa1，所以 0a1 ，1a2故1830a19，于是610a，所以 10a6（10）解：設(shè)原來電話號碼的六位數(shù)為，則經(jīng)過兩次升位后電話號碼的八位數(shù)為根據(jù)題意，有81×記xb×104c×103d×102e×10f，于是81×a×10581x208×105a×106x解得x1250

10、5;(20871a) 因?yàn)?x105，所以01250×(20871a)105，故 a 因?yàn)閍為整數(shù)，所以a2于是x1250×(20871×2)82500所以，小明家原來的電話號碼為282500（11）解：（1）x 滿足條件 （2）因?yàn)閤，a，b為互質(zhì)的正整數(shù)，且a8，所以11， 即 (1)ab(1)a 當(dāng)a1時，(1)×1b(1)×1，這樣的正整數(shù)b不存在當(dāng)a2時，(1)×2b(1)×2，故b1，此時x當(dāng)a3時，(1)×3b(1)×3，故b2，此時x當(dāng)a4時，(1)×4b(1)×4，與

11、a互質(zhì)的正整數(shù)b不存在當(dāng)a5時，(1)×5b(1)×5，故b3，此時x當(dāng)a6時，(1)×6b(1)×6，與a互質(zhì)的正整數(shù)b不存在當(dāng)a7時，(1)×7b(1)×7，故b3，4，5此時x，當(dāng)a8時，(1)×8b(1)×8，故b5，此時x.所以，滿足條件的所有分?jǐn)?shù)為 ，.（12）解：由2×得 (bc) 224(a1)0，所以a1當(dāng)a1時， b2c22a216a142(a1)(a7)0 又當(dāng)ab時，由，得 c2a216a14 ， aca24a5 將兩邊平方，結(jié)合得a2 ( a216a14)(a24a5) 2化簡得

12、 24a38a240a250， 故(6a5)(4a22a5)0，解得a，或a所以，a的取值范圍為a1且a，aokecbap（13）證明：因?yàn)閍cpb，所以kpeace又pa是o的切線，所以kapace，故kpekap，于是kpekap，所以 ，即 kp2ke·ka 由切割線定理得 kb2ke·ka 所以kpkb因?yàn)閍cpb，kpeace，于是 故 ，即 pe·acce·kb（14）解：設(shè)10個學(xué)生為s1，s2，s10 ，n個課外小組g1，g2，gn 首先，每個學(xué)生至少參加兩個課外小組否則，若有一個學(xué)生只參加一個課外小組，設(shè)這個學(xué)生為s1，由于每兩個學(xué)生至少在某一個小組內(nèi)出現(xiàn)過，所以其它9個學(xué)生都與他在同一組出現(xiàn)，于是這一組就有10個人了，矛盾若有一學(xué)生恰好參加兩個課外小組，不妨設(shè)s1恰好參加g1，g2，由題設(shè)，對于這兩組，至少有兩個學(xué)生，他們沒有參加這兩組，于是他們與s1沒有同過組，矛盾所以，每一個學(xué)生至少參加三個課外小組于是n個課外小組g1，g2，gn 的人數(shù)之和不小于3×1030另一方面，每一課